例谈高中数学解题中的“法宝”——构造法

文/江门市新会华侨中学 吴悦彩

例谈高中数学解题中的“法宝”
——构造法

文/江门市新会华侨中学 吴悦彩

高中数学教学课程标准中明确规定了学习数学不仅包括数学内容、数学语言，更重要的是数学思想、方法。在数学解题过程中，某些数学问题用常规方法是难以解决的，这时可以根据题目的条件和结论的特征，从新的角度，用新的观点去观察分析，用已知的数学关系为“支架”构造出满足条件或结论的数学对象，使原问题中隐晦不清的关系在新构造的数学对象中清楚地表现出来，从而借助该数学对象解决数学问题。这种解决数学问题的方法就是构造法。

一、构造法解题的思路

构造法解题的基本思想方法是“转化”思想。用构造法解题的巧妙之处在于不是直接去解决所给的问题，而是把它转化成一个与原问题有关的辅助新问题，然后通过新问题的解决帮助解决原问题。

二、构造法的思维方式

构造法是一种简捷、快速，灵活变通的解题方法，这些特点，特别是简捷的特点会大大提高学生的求知欲，他们会有一种跃跃欲试的渴望，但却无从知道什么样的问题适合用构造法去解，如何构造？

应用构造法解题的关键一是要明确的解题方向，即要明确为了解决什么样的问题面建立一个相应的构造；二是要弄清条件的本质特点，以便重新进行逻辑整合。构造法的思维方式是多样的，主要有类比构造，即所研究问题对象之间或这些对象与已学过的知识间存在着形式上、本质上的相同或相似性的可考虑类比构造；联想构造、转换构造、归纳构造、直觉构造、逆向构造，即按逆向思维方式，向原有数学形式的相反方向去思考，通过构造对立的数学形式来解决问题。

三、构造法在中学数学解题中的应用

1.构造函数

函数在整个中学数学是占有相当的内容，学生对于函数的性质也比较熟悉。选择烂熟于胸的内容来解决棘手问题，会大大提高学生解决问题的能力。

分析：所求证的不等式无论采用分析、反证、放缩法进行证明都相当困难。观察结论的特点，构造函数通过求导数判定函数的单调性可证。

原不等式等价于lnt＜t-1.

∵t∈（1，+∞），∴f′（t）＞0.

∴t∈（1，+∞），函数f（t）单调递增，

∴f（t）＞f（t）=0，∴t-1＞ln t.

2.构造一元二次方程

方程作为中学数学的重要内容之一，它与代数式、函数、不等式等知识密切不可分。依据方程理论，能使许多的问题得以转化从而得到解决，这对学生的数学思想的培养具有重要意义。

有些数学题，经过观察可以构造一个方程，从而得到巧妙简捷的解答。

例2若（z-x）2-4（x-y）（y-z）= 0，求证：x，y，z成等差数列。

分析：拿到题目感到无从下手，思路受阻。但我们细看，题目条件酷似一元二次方程根的判别式。

证明：令a=x-y，b=z-x，c=yz，于是可构造方程ax2+bx+c=0.

由已知条件可知方程有两个相等根x=1，所以根据根与系数的关系有y-z=x-y，即x+z=2y.得证x，y，z成等差数列。

通过上面的例子我们在解题的过程中要善于观察，善于发现，在解题过程中不墨守成规，要大胆去探求解题的最佳途径。

3.构造几何图形

借助几何图形来解决问题是构造法的一种重要方式。对于本身不具备图形的一些数学问题，由于它的条件中数量关系有明显的几何意义或某些方面可以将问题转化成几何图形，借助几何图形的性质来研究，从而实现解题的目标。

4.构造数列

在高中数学教材中，有很多已知等差数列的首项、公比或公差（或者通过计算可以求出数列的首项、公比），来求数列的通项公式，但实际上有些数列并不是等差、等比数列，给出数列的首项和递推公式，要求出数列的通项公式。而这些题目往往可以用构造法，根据递推公式构造出一个新数列，从而间接地求出原数列的通项公式。

构造法远不只是本文指出的这几种方法，还有其他方法，在此不一一列举。在解题过程中，只有善于多观察，多对比分析，才能更容易找到要创造的对象。在教学中，若能有意识地培养学生在学习研究的过程中创新意识，使学生体会知识间的内在联系和相互转化，则能为学生解决问题创造出构造解决问题的有利条件。

责任编辑 罗 峰