数列、集合、逻辑学起码常识暴露课本一系列重大错误

【摘 要】人类自识自然数5千多年来一直认定无最大自然数。然而数列、逻辑学起码常识凸显各有首项的无穷数列都有末项使标准分析之前2千多年的数学一直“非法”使用的无穷大整数及其倒数一下子暴露出来，否定这类用而不知、名亡实存的无穷数使对无穷数列的认识一直存在极重大缺陷与错误而将各假自然数列误为自然数列，自然就使级数论有重大错误。集合起码常识暴露中学几百年重大错误：搞错一系列函数的值域而将两异集误为同一集。揭示“各元可排为一无穷序列的集就是可数集”是错误定义。

【关键词】最大及无穷大自然数及其倒数；假自然数集；推翻百年自然数公理和百年集论；级数论；著名数学家朱梧槚

“科学”共识：数学，尤其是“非常成熟”的初等数学领域绝不可有颠覆性创新，数学的公理、定理绝不会被推翻。有一种“两个凡是”：“凡是试图推翻某些举世公认的科学理论的人必是搞伪科学，凡是连‘小人物也谈不上的‘草根绝不能有重大科学发现”。小学生都会说：无最大自然数。“反科学”的“连小学生都不如”的“太无知”发现来自于太浅显的：①集合起码常识c：所谓数集A=B是说A的元x与B的元y可一一对应相等即有x？圮y=x（表A各元x均有与之对应相等的数y∈B且B各元y均有与之对应相等的数x∈A），故A=B的必要条件是有x？圮y。②下述数列、逻辑学起码常识。

1 集合起码常识暴露中学几百年重大错误：将两异数列误为同一数列——百年病态集论的症结

数列起码常识：无穷数列A={an}（其中没相等的数）各数an均有序号数n与之配对而均在第n号位置。A各数任意改变前后位置后就形成≠A的数列了，故A是由数与容纳数的位置两部分组成，A一个项有两要素：一个数与其所在位置，缺少哪一要素都不能构成一个项。所以相应各数与各位置序号数n一一配对才能构成一数列；相应各位置与各位置序号数n一一配对才能构成一位置序列。

定义：若A可是由B各数分别变为一对“新”数（各“新”数互不相等）组成的集就称A为偶型数集，否则称A为奇型数集；相应有奇、偶型级数与数列。注！由一对对数组成的数集同时也是由一个个数组成，但反之就不一定了。详论见[1]。

自然数集N={n}一切偶数n=2p组成E={2p}？奂N，E各元2p变为p组成V={0，1，2，...，p，…}， V={p}各数p一增为二地变为一对数2p、2p+1组成偶型N={n}={0，1，...，2p，2p+1，...}。

数列V={0，1，2，...，p，…}各数p变为数偶（2p，2p+1） （即一个数p用一对数来替换）就形成数偶序列A={（2p，2p+1）}={（0，1）（2，3）（4，5）…}包含N一切数n，各数偶（2p，2p+1）均在第p号位（两个数占领一个位置），将A全部数偶挖去就得空位序列0号位，1号位，2号位，...，p号位，...（p的变域是V）；第p（=0，1，2，...）号位内有两个数（2p，2p+1）从而有：p号位？圮（2p，2p+1）——这种“一对二”的对应使A中数偶与位置一样多，从而使A中数2p、2p+1多于位置序号数p∈V，即A包含的自然数n=2p、2p+1多于V={p}包含的自然数p使V是假自然数列。显然数列增数不增位后就数比位置多从而就打破数与位置可一一配对的格局。下述表明否定此结论的“理由”是不能成立的。

设两不交且非空D、H的并集记为D+H=C。N={2p，2p+1}={2p}+{2p+1}各数分别都由2p或2p+1代表，因p>0时p<2p<2p+1故各p>0代表的数均是0与2p=p+p之间的数p∈N。N中可由2p代表的数的全体组成的{2p}=N吗？这须研究{2p}各元2p与N各元2p、2p+1能否一一对应相等？同样，N中可由p=0，1，2，...∈V代表的数的全体组成的集记为I={p}（=V），I=N吗？即N各数也都可由p代表吗？这须研究I（=V）各元p与N各元2p、2p+1能否一一对应相等？上述已阐明I=V各元p与N各元2p、2p+1不可一一配对，据集合常识cN≠I。所以正如N各数并非都能由2p代表一样，N各数也并非都能由p∈I代表。有人证明了I各元p与V各元p能一一对应相等就断定V=N，这是错误的，因这只说明I=V而不能说明V=N。没人能证I={p}与N={2p，2p+1}的元可一一对应相等的原因非常简单：当p>0时说2p+1>2p>p>0中的p>0可一个不漏地遍取N一切正数就是说式中2p+1、2p可>N一切正数而取N外数——与2p+1、2p∈N矛盾！故p>0不可遍取N一切正数使I≠N；p>0被限制只能代表区间j=（0，2p+1）（2p>0可遍取N一切正偶数）内的自然数，显然j内能由p<2p<2p+1代表的数p>0的全体是不能包含N一切正数n=2p、2p+1的。极显然：N各正偶数点x=2p<2p+1沿x轴负向后移成点x+△x=p<2p组成的集≠正自然数点集。

故自有函数概念几百年来一直公认的中学“值域为E={2p}的y=2p 的定义域V={p}=N”是被假自然数列迷惑。

同理可证：V各元p变为三个数3p、3p+1、3p+2组成{3p，3p+1，3p+2}的元多于V的元p；N各元n变为两个数2n、2n+1组成N′的元多于N的元n使N′≠N是假N；E各元2p变为两个偶数4p、4p+2组成E′的元多于E的元2p——说明数列E={0，2，4，...，2p，...}各数2p变为两数（4p，4p+2）形成偶型数列E′={（0，2）（4，6）...（4p，4p+2）...}包含的偶数多于E包含的偶数；...。

N各元n变为偶数2n组成{2n}各元2n与N各元n显然不可一一对应相等。同样：N各元n变为2n、2n+1组成N′={0，1；2，3；…；2n，2n+1；...}各元2n、2n+1与N各元n更显然不可一一对应相等；N各元n变为3n、3n+1、3n+2组成N″各元3n、3n+1、3n+2与N各n更更显然不可一一对应相等；...。以上说明集合常识c使持续几百年的将无穷多假N误为N的重大错误“N=V=N′=N″=....”一下子暴露出来。建立在此错误之上的理论必是错上加错的更重大错误。

N各元n=2p、2p+1变为2n=4p、4p+2组成E′={2n}={4p，4p+2}～N。E各元2p变为一对数2p、2p+1组成N={2p}+{2p+1}中的{2p}各元2p与E各元2p能一一对应相等，鲜明对比的是无人能证E各元2p与E′各元4p、4p+2能一一对应相等；故中学几百年“E={2p}=E′={2n}”是违反集合常识c的重大错误——使康脱误以为E （？奂N）～N。...。

可将A={an}比喻为一列“坐”满数的只有单排座位的无穷长列车，各数an均“坐”在n号座位上。将数列N={0，1，2，…}的奇数都挖去得有无穷多空位的序列X={0，1号空位，2，3号空位，4，…}，N各数n变为2n形成没空位的数列E′={2n}={0，2，4，…}显然≠X。因“拆东补西”地让X中一数移到空位的同时其原座位也变空故X中数与座位是不可一一配对的，原因是数比座位少——说明没空位的E′包含的偶数多于X包含的偶数——说明E′中必有偶数2n=t>X一切偶数n=2p，不识这类用而不知的N外偶数t使中学一直将两异数列误为同一数列。因X任一非0数n前移一格到空位内的同时必生一新空位在n的后面故n前移一格就使一空位也“移”到n后面，所以X各非0数均前移一格到空位内得Y={0，2，4，…}中必有与前移数一样多的空位均在一切前移数的后面；目光太短浅的“肉眼”数学无法正确认识无穷远处的情况而有肉眼直观错觉：Y中没空位。肉眼不能将Y的项都看到，但人有逻辑推理能力，“拆东补西”不能使有空位的序列中的空位有任何减少；慧眼能洞察Y中有空位项而不被肉眼所骗。

2 数列、逻辑学起码常识让5千年都无人能识的N={n}的最大自然数一下子暴露出来——级数论有重大错误

挖去R轴一点x就空出一位置“洞”x说明R轴由点与容纳点的位置洞两部分组成。R轴的自然数点序列N={n}无非是各点n各就各位地进入各指定位置“座位”排成的一行点（将N全部点n挖去就得空位序列：0号位，1号位，2号位，...），“无穷旅馆”N的数n都“住”在n号“房间”内，一n前移“夺占”n′的座位的同时其原座位也变空，故被夺位的数都可后移到空位上。级数论的“黎曼更序定理”说明人们早就知道数列N={0，1，2，3，...}各数可任意改变前后位置，例其偶数n=2p均与奇数n=2p+1交换位置就得还是由N全部数与全部位置组成的B={1，0，3，2，...}，显然B各数都在N的位置内；同样...。故据数列起码常识有

h逻辑学常识1：数列A各数任意改变前后位置形成的数列（还由A全部数与位置组成）的各数与位置座位还是已一一配对；所以无论怎样改配对方案，在各新配对方案下构成的新数列的各数都在旧数列的位置内。

所以N各奇数n=2p+1可保序前移到p（=0，1，2，...）号位（即各2p+1改与p号位配对），而各偶数n=2p可保序后移到空位内得数列K：1，3，5，…；0，2，4，…。（注：不是所有数列都能写出通项式）据h逻辑学常识1K各数都在N的位置内：1在0号位，3在1号位，…，0排在各奇数的后面而处在第w号位，2在w+1号位，...。不能想当然地简单认定后移的各偶数2p不在N的位置内，对无穷现象须特别小心谨慎、过细，否则就要出错。人们可定义K不是数列但不可否认K中有N的第w号位处在K各奇数后面，因h逻辑学常识1和下述改偶定理表明K各数与N各位置已一一配对；而有w号位就必有w-1号位。K各奇数2p+1（p=0，1，2，...）在p号位，所有序号数p组成V，显然w号位中的w与w+1等等都是V={0，1，2，...，p，…}外标准无穷大自然数从而>V一切数p（V有上界就必有上确界）——推翻中学5千年“常识”：无自然数能>V一切数。显然用而不知的w的倒数1/w<任何有穷正数ε是用而不知的无穷小正数。“标准分析之前2千多年的数学一直使用未经严格证明的无穷数进行推理计算轻而易举地攻克了不用无穷数就无法解决的一系列世界难题，只不过对这类举足轻重的‘更无理数一直无力实现由感性认识跃升到理性认识罢了[2]；”“欧拉毫不犹豫地承认无穷小的数和无穷大的数都是客观存在的，并且如此纯熟地应用这些概念…[3]”。显然K中偶数2p都处在K一切奇数2p+1的后面而都与1相隔无穷多个数，故K中有无穷多首项的数是1，末项的数是2p的无穷数列（各数列互不相等）。

同上理，如[4]所述N={n}各非0数1，2，3，…可保序前移一格，而0可后移到空位内从而得数列1，2，3，...，0；（可否认这是数列但不可否认...）即各n≥1改与n-1号位配对后，0就移到各非0数的后面而处在第Ω号位，显然Ω是N的最大自然数（下节更有力地证明Ω的客观存在性）——推翻百年自然数公理。同理可证V={0，1，2，...，p，…}有末项，可证各有首项的固定无穷数列都有末项。可见V？奂N（下节还要作更有力证明），形如{0，1，2，...，p，…}的集不一定是N，正如“有胡子的不一定是爹”一样。所以许多书都有的“定理：集A是可数集的充要条件是：A各元可排为一无穷序列：...。”其实是百年错误。文[5]有一改天换地的改偶定理：

h定理1：各x与各y一一配对成一无穷“夫妻”数偶集F={（x，y）}内“男、女”双方中有“人”“喜新厌旧另结新欢”改配偶使有的人变成“单身”后，一方出多少个单身，对方也只能出多少个单身。

证：F中任一非“单身”改与另一非单身配为新夫妻的各自原配偶x0与y0就成一对单身，一单身x0“再婚”就或使对方一单身也再婚或拆散一对夫妻（x1，y1）而生一新单身x1，...，没别的可能。故F中非单身任意改配偶（新配偶必是F中人）后一方出n个单身的同时对方也只能出n个单身。

例两N成二重集N∪N由一对对二重元（n，n）组成集{（0，0）（1，1）（2，2）…}=N，其中一N各非0数n≥1改与n-1（∈另一N）配对而形成{（0，1）（1，2）（2，3）…}还=N；显然其中的两个0都可有非0配偶，虽然两0之间相隔无穷远。这说明不论在何配对法则下两N的数都必可一一配对而不是只有按某特殊配对法则（例n？圮n）才可，只不过各数不一定都按同一配对法则进行配对罢了。某人说：我能跳高5米但只能通过特殊途径例电影来间接“证明”此“事实”。这显然是骗子。同样若G=N则G=N各元y与N各元x不论在何配对法则下都必可一一配对而不是只有按...才可，否则“一样多”是不合逻辑的假象；所以在G各非0数y′≥1都分到配偶x=y′-1∈N的同时G的0也必可按另一配对法则有配偶（Ω）∈N。为迷惑敌人将第3团改名为“第3团第3营”但其实还是改名前所有人与武器组成的集体，敌人误认其仅是3团的1/3部分是犯致命错误。同样“无穷旅馆”N各房间与各数n已一一配对：n号房？圮n，将各房间的房号数n都涂改为2n而改称是2n号房就得百年假象：N一部分房间可与N全部数n一一配对——“幼稚小孩”阶段的数学以为“魔术师”真能将奇数号房给变没了。证毕。

此定理表明h逻辑学常识1是正确的。应有

h逻辑学常识2：偶型数列N={0，1，2，3，4，...}中偶数与奇数可一一配对，因这性质与各数在哪一位置无关故这性质不因N中各数的位置的改变而改变。显然应有

h逻辑学常识3：凡满足“其各项可两两配对且每对项的数的代数和都是0”的级数必=0，不论其是否发散。

将数列N中偶数都用-1置换，奇数都用1置换就得{-1，1，-1，1，-1，1，…}，相应有偶型s=-1+1-1+1-1+1-...=0；s是否=0完全取决于s中的-1和+1是否可一一配对而与某极限是否存在无关，与各-1和+1所处位置无关。数列K={1，3，5，…；0，2，4，…}中奇数都用-1置换，偶数都用1置换就相应有偶型级数g=（-1-1-1-...）+（1+1+1+...）=0，因K中偶数与奇数可一一配对。所以级数论断定s≠0和g≠0是违反h逻辑学常识的几百年重大错误，症结是几百年来一直不知级数与数列是有奇、偶型之分的，不知：不存在没末项的无穷级数。世界数学大师欧拉在一片反对声中超越前、后人地“顽固”坚信：任何级数不管是否发散都有一个确定的和或值。（张文修《数林漫步》25页，陕西科技出版社，1984）应有起码逻辑学常识：固定的无穷数列{an}各数f（n）变号为-f（n）形成新数列，两数列所有数f（n）、-f（n）的代数和：∑f（n）-∑f（n）必=0，因各正、负数可一一配对且此性质不因各数在级数中的位置的改变而改变。所以“无穷多个数相加是不能完成的”是片面认识。凡不合逻辑的理论必是不符合实际的错误理论。

3 再证N有最大元推翻百年集论——朱梧槚等4位数学家的“怪论”其实是重大发现

h定理2：若非空A～B？奂无穷集C=（C-B）+B则A不可～C。

证：用反证法。假设A～C成立则在A、C双方的元一一配对后再令A各元x都改与C=（C-B）+B中B～A的元y配对从而有x？圮y∈B后，A～B？奂C就有0个单身，据h定理1（改偶定理）C=（C-B）+B也只有0个单身，然而事实上（C-B）各元都是单身，故假设不成立。证毕。

据h定理2无穷集W的任何真子集A～A？奂W都不可～W。所以“可～其真子集”的“无穷集”确如朱梧槚、肖奚安、杜国平、宫宁生4位数学家所说“都是自相矛盾的非集[6]”，正如不存在既跑得快而又绝了食的马一样。以非集为集的理论必是错上加错的更重大错误。

V={0，1，2，...p，…}各数p变为2p、2p+1组成N={2p}+{2p+1}。据h定理2由V={p}～{2p}？奂N知V不可～N，据集合常识cV≠N。同样...。

N各数n≥0的后继y=n+1≥1的全体组成H={1，2，...，n+1，...}～N， 中学一直认定H=N+=N-{0}={1，2，...，n≥1，...}？奂N；其实这是将两异数列误为同一数列。据h定理2～N的H不是N的真子集N+？奂N。因N+各数n≥1都是n-1∈N的后继n∈后继集H，故H包含N+；包含N+的H≠N+说明H中必至少有一N+外的正整数y0=n0+1>n0∈N，显然n0=Ω是N的最大元——其后继Ω+1是N+？奂N外即N外数。人类由认识自然数到发现Ω竟须历时5千多年！

不断增元的集是变集。其项不断由n个增加到n+1个的数列是变数列B：由{0}变到{0，1}变到{0，1，2}变到…，当且仅当其项不再增加而有末项时B才成固定数列N。“潜无穷”观认为不可有包含无穷多个项的固定数列，“实无穷”观认为可有此类无穷数列，但又断定其没末项；这是不合逻辑的自相矛盾。设x轴包含N一切点，能将N全部点取出的x必使轴内∈N的点不断变少，最后使轴内无∈N的点；显然当且仅当此x取到某点∈N后，轴内就无∈N的点了，才能说x的变域可是N。说由小到大取值且变域为N的n每取一数n∈N后总还有后续数n+1∈N要取而总不能取到无数∈N可取，显然就是说n不可取光N一切数——与“n的变域为N”矛盾！由小到大取值且变域为无穷有序集T=[a， b]的x必有最后一次的取值：取至b后就无数可取了，即其取数过程是有完有了、有始有终的（“潜无穷”观认为不可有包含无穷多个元的集）。这是“无穷”与“有穷”的对立统一性在数学中的生动体现。关键：对人而言T内数多得取之不尽，但人所创立的符合实际的抽象理论中的变数却能一个不漏地遍取其变域T的一切数，正如人造的机器人等能干人所不能干的事一样。所以无人能将无穷级数的项都写出来≠其没末项。

与x相异或相等的数均可表为y=x+△x（△x可=0也可≠0）。

h定理3：集随元的变换而变换。不含负数的有序数集A各元x保序变为y（x）=x+△x组成元为y的B，若B=A则此变换只能是恒等变换即必是x？圮y=x。

证1：保序变换可分为恒等变换与非恒等变换两种。比x大（小）的数y可称是在x前（后）面的数y。A={0，1，2 }各元x保序变为y=x+△x=2x组成{0，2，4 }各元2x与A 各x不可一一对应（下转第36页）（上接第6页）相等，各x=0，1，2只可与各2x=x+x中的x=0，1，2一一对应相等。同样，…。这说明任何有序数集A各元x保序变为y=x+△x不≡x组成B各元x+△x与A各x不可一一对应相等（各x只可与各x+△x∈B中的x一一对应相等），因≠x的各x+△x都在x的前（后）面。在x？圮y=x+△x（△x≡0时x不≡0）中显然当且仅当△x≡0时才可有x？圮y=x。注：式中若△x≡0时x也≡0则有0？圮0。

证2：A各元x到0的距离就是x本身。若B=A则不含负数的A（B）各元x（y）到0的距离是变量x（y），显然因A与B是同一集故x与y必是同一距离变量即y=x——恒等变换式（注：y是由x变为y=x+△x而来的）。证毕。

设R所有非负元x≥0组成R+，R+各元x≥0保序变为kx（正常数k≠1）≥0（从而有x？圮y=kx）组成的集可记为kR+。据h定理3kR+≠R+。R？劢D=[0，1]各元x（非负数）保序变为y=xn≥2组成J，据h定理3J≠D（据h定理3，R+各元x≥0保序变为y=xn≥2≥0组成L≠R+）；...。所以中学几百年函数“常识”：kR+=R+，J=D等等，其实是违反集合常识c的一系列重大错误。

Z′=[0，2]？奂R+的子部D=[0，1]？奂Z′各元x变为X=2x∈Z′生成元为X=2x的Z=[0，2]（～D）？奂2R+≠R+。据h定理2，Z～D？奂Z′不可～Z′，据集合常识cZ′≠Z。故中学几百年“Z=Z′”其实是将两异集误为同一集的肉眼直观错觉。用h定理2检验知课本上类似这样将不“等势”的两异集误为同一集的错误比比皆是，没能及时发现使康脱推出康健离脱的病态理论。

4 结束语

错误的基础教育会使受教育者打歪成才的基础。破除迷信、解放思想、实事求是才能创造几千载难逢的神话般世界奇迹使数学发生革命飞跃：一下子飞跃进认识Ω的时代从而不再被违反集合常识c的假无穷集迷惑。百年集论百年来浪费了亿万学生（包括物理、哲学、逻辑学专业的学生）大量宝贵时间（“时间就是金钱，…”）与精力以及亿万元宝贵学费。育人课本的重大错误造成的重大经济损失一点也不亚于经济建设的重大错误造成的经济损失，是否及时纠正与每一人的切身利益息息相关。

备注：已对本文采取法律公证等法律保护措施。

【参考文献】

[1]黄小宁.证明数偶集{（1，2）（3，4）...（2n-1，2n）...}有最大数元——反复论证集有奇、偶型之分纠正课本重大错误[J].科技视界，2014（24）：362.

[2]黄小宁.极限论总极难学真因：人有抵制思想混乱学说本能——为伟大科学家远超后人地使用无穷数光辉实践正名[J].科技信息，2010（33）：61.

[3][美]爱德华.微积分发展史[M].张鸿林，译.北京：北京出版社：1987：368.

[4]黄小宁.真正科学常识否定5千年“常识”：没最大自然数——证实庞加莱百年前伟大科学预见推翻百年集论[J].科技信息，20011（27）：24.

[5]黄小宁.著名数学家朱梧槚的发现揭示课本有一系列重大错误——发现最小、大正数推翻百年集论破解2500年芝诺著名世界难题[J].科技视界，2014（10）：70.

[6]朱梧槚，肖奚安，杜国平，宫宁生.关于无穷集合概念的不相容性问题的研究[J].南京邮电大学学报：自然版，2006（6）.

[7]黄小宁.两集相等概念推翻百年集论和几百年函数“常识”——课本重大错误：定义域=[0，1]的y=2x的值域=[0，2][J].数学学习与研究，2015（3）：117.

[8]黄小宁.课本一系列重大根本错误：将两异图形（数列）误为同一图形（数列）——书中x轴确如朱梧槚等4位数学家所说“是自相矛盾的非集”[J].科技视界，2015（3）：332.

[9]黄小宁.中学极重大根本错误：无穷数列必无末项——“一对一”常识推翻五千年科学“常识”：无最大自然数[J].科技信息，2011（1）：51.

[责任编辑：曹明明]