对一道轻杆弹力问题的思考

王喜

在高一年级的一次诊断性测试中，一道有关轻杆弹力的试题引起了笔者的一点思考，并总结得出了规律，在这里与大家共同分享。

题目：如图1所示，AB为一轻杆，一端插入墙中，一根轻绳BC的一端固定在墙上的C点，另一端系在杆的B端;已知AB=5 cm，BC=3 cm，AC=4 cm，在杆的B端挂一重40 N的物体P，系统静止时，在结点B处绳BC、杆AB受力各为多少？

图1

原解析：由几何知识知，△ABC为直角三角形，∠BCA=90°，∠BAC=37°，以结点B为研究对象，受到水平绳的拉力FT1，竖直绳的拉力FT2和沿着杆斜向上的支持力FN，如图2所示，则三力围成了一个直角三角形，因此：

FT1=FT2tan37°=Gtan37°=30 N

FN===50 N

提出问题：杆AB的A端固定，“固定杆”上的弹力为什么一定是沿杆的？绳BC为什么会有弹力？

问题分析：（1）若没有轻绳BC，其他条件不变;此时杆为“固定杆”，弹力不一定沿杆方向。

图3

以结点B为研究对象，受到竖直绳的拉力FT2，此拉力使杆发生微小形变，从而产生被动力——支持力，使B点处于平衡状态，因此杆对B点有沿竖直向上的支持力，如图3所示，则FN=FT2=G=50 N。

（2）若轻杆的B端有一光滑轻质滑轮（活结），其他条件不变;杆为“固定杆”，弹力不一定沿杆方向。

以结点B为研究对象，受到绳水平向左和竖直向下的拉力FT1，FT2;且FT1=FT2。这两个拉力使桿发生微小形变从而产生被动力——支持力，使B点处于平衡状态，所以杆对B点的支持力FN与FT1、FT2的合力是等大反向的，即与水平方向成45°斜向右上方，如图4所示：

图4

因此：FN=FT2=G=40N

（3）若轻杆A端有水平铰链，其他条件不变;杆为“自由杆”，弹力一定沿杆方向。

以结点B为研究对象，受到竖直绳的拉力FT2，此力使自由杆有顺时针转动的趋势，从而使水平绳发生微小形变产生水平向左的拉力FT1，拉力FT1、FT2的力矩使杆处于平衡状态，因此杆对结点B只产生沿着杆斜向上的支持力FN，受力情况如图所示：

图5

故：FT1=30N FN=50 N

对原题分析：以结点B为研究对象，受到竖直绳的拉力FT2，此力使固定杆发生微小形变从而使B端有顺时针转动的趋势，同时使水平绳发生微小形变产生水平向左的拉力FT1，拉力FT1、FT2的力矩使杆处于平衡状态，因此杆对结点B只产生沿着杆斜向上的支持力FN，与第（3）种情况（自由杆）的情境相似，受力情况如图6所示：

故：FT1=30N FN=50N

通过以上实例的分析我们可以总结出下列的规律：

1.轻杆如果可以绕一端在竖直平面内自由转动，称为“自由杆”。另一端用绳子连接物体，不论结点是“活结”还是“死结”轻杆上的弹力一定沿杆的方向。

2.轻杆的一端如果固定，称为“固定杆”。

①若另一端只用绳子连接物体，杆上的弹力遵从二力平衡;

②另一端通过滑轮（活结）连接物体，杆上的弹力一定与两段绳上张力的合力等大而反向。

③另一端用绳固定（死结），用另一段绳连接物体，杆上的弹力方向一定沿杆的方向。

？誗编辑 温雪莲