高中数学中证明不等式

吴方跃

摘要：研究不等式的方法可谓众多，本文主要从利用定义、利用导数、这两个数学中比较重要的证明不等式方法着手.首先简明扼要地介绍用定义法如何解决不等式证明问题，接着将不等式当作一类特殊的函数去研究，从另一个角度出发，利用导数作为研究工具或手段，具体结合微分中值定理、最值，将不等式问题化难为易.

关键词：不等式;导数

不等式是高中数学中非常重要的课题之一，在高中数学中占有极其重要的地位。因此，对不等式作一些必要的研究具有重大的意义，同时，也为我们如何证明不等式问题提供了必要的理论指导。

研究不等式问题，方法众多，本文将着重以高中数学中几个比较重要的方法为理论基础，探讨如何解决不等式问题。

一、 利用定义法证明不等式

用定义法是常用的解决不等式问题的基本方法之一，它的原理是

若[A-B≥0]，则有[A≥B];若[A-B≤0]，则有[A≤B];反之亦然，下面给出利用定义法解决不等式问题的例子。

例1 已知：[a，b∈R+，n∈N，]求证：[a+ban+bn≤2an+1+bn+1]

证明： [a+ban+bn-2an+1+bn+1]

[=an+1+anb+abn+bn+1-2an+1-2bn+1]

[=abn+ban-an+1-bn+1]

[=abn-an+ban-bn]

[=a-bbn-an]

Ⅰ）当[a>b>0]时，[bn-an<0，a-b>0]

[bn-ana-b<0]

Ⅱ）当[b>a>0]时，[bn-an>0，a-b<0]

[bn-ana-b<0]

Ⅲ）当[a=b>0]时，[bn-ana-b=0]

[bn-ana-b=0]

综上Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ有[a-ban+bn-2an+1+bn+1]

[a-ban+bn≤2an+1+bn+1]

二、利用导数证明不等式。

1.利用函数单调性证明不等式

定理1 设函数[f（x）]在[（a，b）]內可导，则[f（x）]在[（a，b）]内递增（递减）的充分必要条件是

[f'（x）≥0] [（f'（x）≤0）]，[x∈（a，b）]        （*）

定理2 若函数[f（x）]在[（a，b）]内可导，则[f（x）]在[（a，b）]内严格递增（递减）的充分必要条件是：

（1）对一切[x∈（a，b）]，有[f'（x）≥0][f'（x）≤0];

（2）在[（a，b）]内的任何子区间上[f'（x）]恒不等于0

该法适用于在某区间上成立的函数不等式，对于数值不等式，通常是通过作辅助函数完成的。

证题程序：

①移项（有时需要作简单的恒等变形），使不等式一端为“0”，另一端即为所作辅助函数[f（x）]

②求[f'（x）]并验证[f（x）]在指定区间的增减性

③求出区间的端点的函数值，作比较得证。

例2：证明 当[0

证：要证[sinx>2πx]，显然[sinx>2πx?sinxx>2π]，令

[f（x）=sinxx-2π]

[∵f'（x）=xcosx-sinxx2=cosxx2（x-tanx）<0] [（∵tanx>x）]

[∴f（x）]在[0

[f（π2）=sinπ2π2-2π=2π-2π=0]

故当[0f（π2）=0] 即[sinxx-2π>0]

于是[sinx>2πx]

一般讲，文字不等式的证明是化为函数不等式，通过函数的单调性来证明得出结果。

例3：设[b>a>0]，证明：[lnba>2（b-a）a+b]

分析：当[b>a>0]时，

[lnba>2（b-a）a+b][?（lnb-lna）（a+b）>2（b-a）]

证：令[f（x）=（lnx-lna）（a+x）-2（x-a）]，[（x>a）]

[∵f'（x）=1x（a+x）+（lnx-lna）-2]。

[f"（x）=-ax2+1x=x-ax2>0]，[（x>a）]

[∴f'（x）]在[（a，b）]严格单调递增，且[f'（x）]在[[a，b]]连续，又[f'（a）=0]，于是[f'（x）>0] [（x>a）]

因而[f（x）]在[（a，b）]严格单调递增，且[f（x）]在[[a，b]]连续，又[f（a）=0]，故当[b>a>0]时，有[f（b）>f（a）=0]。

即[（lnb-lna）（a+b）-2（b-a）>0] 从而[lnba>2（b-a）a+b]

但是辅助函数[f（x）]的作法也不是千篇一律的，对于具体问题还要具体对待。

2.用极值与最大（小）值方法证明不等式

首先，我们把极值和最值的概念区分一下。

定义1：设函数[y=f（x）]在点[x0]的某空心邻域[U0（x0）]内有定义，若对任意[x∈][U0（x0）]，[f（x）f（x0））]，则称[f（x0）]为[f（x）]的一个极大值（极小值），[x0]为[f（x）]的一个极大值点（极小值点）。

定义2：设函数[y=f（x）]在闭区间[[a，b]]上有定义，[x0∈[a，b]]，若对任意[x∈[a，b]]，恒有[f（x）≤f（x0）][（f（x）≥f（x0））]，则称[f（x0）]为函数[y=f（x）]在闭区间[[a，b]]上的最大（小）值，称点[x0]为[f（x）]在[[a，b]]上的最大（小）值点。

从定义上可看出：极值是一个局部性概念，它仅讨论极值点[x0]附近的函数值[f（x）]与[f（x0）]之间的大小关系，而最值是针对函数给定区间上所有的函数值而言的，它是一个整体性概念。

判别极大值或极小值方法如下：设函数[y=f（x）]在[x0]的某邻域[U（x0）]内连续，并在该邻域的空心邻域内可导，则（1）当[x]在该邻域内取[x0]左侧邻近的值时，[f'（x）>0];当[x]在该邻域内取[x0]右侧邻近的值时，[f'（x）<0]，则函数[f（x）]在点[x0]处取的极大值[f（x0）]，[x0]为极大值点。（2）当[x]在该邻域内取[x0]左侧邻近的值时，[f'（x）<0];当[x]在该邻域内取得[x0]右侧邻近的值时，[f'（x）>0]，则函数[f（x）]在点[x0]取得极小值[f（x0）]，[x0]为极小值点。对于可求导的函数[f（x）]，取得极值的点[x0]必有[f'（x）=0]。但并不是使[f'（x）=0]的点都能取得极值。

对于存在二阶导数的函数，还可用二阶导数来判断极值：设函数[y=f（x）]在[x0]的某邻域[U（x0）]内一阶可导，在[x0]處二阶可导，且[f'（x0）=0]，[f"（x0）≠0]则：（1）当[f"（x0）>0]时，[f（x0）]为极小值，[x0]为极小值点;（2）当[f"（x0）<0]时，[f（x0）]为极大值，[x0]为极大值点

求函数[f（x）]最大（小）值时，若函数在闭区间上连续，可先求出所有极大（小）值，以及区间端点的函数值，将这些函数值作比较后。其中最大的就是最大值，最小的就是最小值。求函数[f（x）]最大（小）值时，若函数[f（x）]在一个区间（有限或无限，开或闭）内可导且只有一个驻点[x0]，而且这个驻点[x0]是函数[f（x）]的极值点，那么，当[f（x0）]是极大值时，[f（x0）]就是[f（x）]在该区间上的最大值;当[f（x0）]是极小值时，[f（x0）]就是[f（x）]在该区间上的最小值。

在某些实际问题中，往往根据问题的性质就可以断定可导函数[f（x）]确有最大（小）值。而且一定在定义区间内部取得。这时如果[f（x）]在定义内部只有一个驻点[x0]，那么不必讨论[f（x0）]是不是极值，就可以判断[f（x0）]是最大（小）值。

例5：  设[0≤x≤1，p>1]，证明：不等式[12p-1≤xp+（1-x）p≤1]

证：令 [F（x）=xp+（1-x）p]

[F'（x）=pxp-1+p（1-x）p-1（-1）=p[xp-1-（1-x）p-1]]

[F″（x）=p（p-1）xp-2+p（p-1）（1-x）p-2]

令[F′（x）=0]，得[x=12]

[F″（12）=p（p-1）[（12）p-2+（12）p-2]>0，（∵p>1）]

故[F（x）]在[x=12]处取极小值，

[∵F（0）=F（1）=1，F（12）=12p-1]

故[F（x）]在[[0，1]]上的最大值为1，最小值[12p-1]

故[12p-1≤xp+（1-x）p≤1]

参考文献：

[1]裴礼文.数学分析中的典型问题与方法[M]。北京：高等教育出版社，1993。

[2]钱吉林.数学分析解题精粹[M].北京：崇文书局，2003

[3]徐利治.大学数学解题法诠释[M].合肥：安徽教育出版社，2001

[4]洁米诺唯奇.数学分析题解[M].高等教育出版社，1975