自动平衡搜索车物理模型的控制系统分析以及对小偏差线性化方法的研究思考

郭振纬 王中豪

摘要：通过对自动平衡搜索车建立物理模型，建立物理方程式，在工作平衡点附近进行小偏差线性化。然后通过求解特征方程以及劳斯判据进行系统稳定性分析。结果发现系统是不稳定的。但实际系统是稳定的，得出结论系统线性化后可能会导致稳定性变化。但是该线性化系统在小偏差范围内是合理的。进而对小偏差线性化方法进行学习研究。

关键词：自动平衡搜索车;稳定性分析;小偏差线性化

1.自动平衡搜索车系统分析

1.1自动平衡搜索车系统物理模型图

1.2物理量

M-小车的质量，kg;

m-摆杆的质量，kg;

u（t）-外作用力，N;

z（t）-小车的移动距离，m;

θ（t）-摆杆相对于直立方向的偏离角，rad。

1.3系统原理介绍

自动平衡搜索车由小车以及车上的倒置摆杆组成，实际上是一个空间起飞助推器的姿态控制模型。姿态控制的目的是保持空间起飞助推器在垂直位置上。因此控制系统的作用是在施加控制作用u（t）后，使摆直立不倒。

1.4系统假设

假设1：小车与摆杆仅作平面运动，摆杆质量，风力，摩擦等略去不计。

假设2：摆杆只在垂直位置附近作微小的摆动。由于该系统的目的就是使摆杆保持直立不倒，因此该假设合理。

假设3：闭环系统反馈的作用是力图抑制或消除偏差，因此可以认为θ，dθ/dt接近于零，从而可以忽略微小的高次项，而保留θ，dθ/dt项。

1.5系统分析

1.5.1摆的运动可看作由牵引运动（小车平移）和相对运动（摆杆转动）的合成。摆的水平运动为： 。

1.5.2在垂直于摆杆的方向，摆的运动也由两部分合成;一部分为小车平移运动在该方向的投影 ;另一部分为摆的圆周运动 。

1.6系统方程式

1.6.1根据牛顿定律，沿水平方向：

根据牛顿定律，沿摆杆转动方向：

1.6.2在运动方程式中，有变量的乘积和三角函数，这是非线性方程，我们需要线性化方程

由假设2可知，θ很小，那么三角函数就可以简化。

则微分方程可近似为：

①  ②

1.6.3由①②两式可得θ与u以及z与u的数学模型

1.7系统稳定性分析

1.7.1传递函数：

1.7.2方法1：特征方程求解：

分析：由于均存在一个大于0的特征根，因此系统均不稳定。

1.7.3方法2：劳斯判据

劳斯阵列1

劳斯阵列2

分析：第一列的符号均发生了变化，系统均不稳定。

1.7.4那么问题来了，z（t）是不稳定的容易理解，随着u（t）的作用，z（t）是不断增大的，不会趋于一个稳定值。但是θ（t）应该是稳定的，那么问题出在哪里？

在上述的分析过程中，我们将原方程线性化了，而线性化需要一个前提条件，这个前提条件就是θ十分小。因此，该线性化方程只能在θ很小的条件下使用，当θ增大到一定角度时就不能使用该数学模型。所得的数学模型只有在所取的平衡工作点附近的小范围内才能保证线性化的准确性。

1.7.5由上述稳定性分析可知系统在平衡工作点小偏差线性化后可能会改变系统稳定性。

1.7.6由假设3可知当系统趋于稳定时，θ的高阶微分项可以消除，可以得到，当θ稳定时， 。

2.小偏差线性化

该模型是非线性系统，但是由于闭环反馈使得输出值是十分微小的，就可以通过小偏差线性化的方法将其线性化。非线性系统的线性化是控制系统中十分重要的部分，对系统的分析和设计起到十分重要的作用。通过思考和查阅资料，我更加深入地学習了小偏差线性化方法。

2.1小偏差线性化定义

自动控制系统通常情况下都有一个正常的工作状态，即稳态。我们想要研究的问题往往是系统在正常工作状态附近的行为。当系统的输入或输出相对于正常工作状态发生偏差时，即所谓的“小偏差”。因此，在这样的一个小偏差范围内，可以将非线性部分准确地用直线来代替，这就是小偏差线性化方法。

2.2泰勒级数展开

将非线性函数围绕平衡点展开成泰勒级数并保留其线性项的方法，是一种最基本的小偏差线性化方法。该方法广泛地应用于实际系统中[1]。

2.3泰勒展开局限性

一般认为只要对非线性方程采用泰勒展开式就是线性化，但是泰勒展开法只适用于原始的非线性函数。一般实际的非线性系统的方程式是经过许多复杂的推导而得到的，如果只根据推导出的方程式简单地采用泰勒展开法来进行线性化，那么所得的结果有可能是错误的[2]。

2.4取偏导数线性化

有些非线性方程在导出过程中包含有求偏导的过程，可以通过在工作点取偏导数得出线性化方程。

2.5平衡工作点

如果系统中非线性元件不只是一个，则必须依据实际系统中各元件所对应的平衡工作点建立线性化增量方程，才能反映系统在同一个平衡工作状态下的小偏差运动特性。

3.结语

通过对自动平衡搜索车的控制系统分析，了解到实际中很多系统都有非线性部分，在进行系统分析时，都需要进行线性化，而线性化最基本方法就是小偏差线性化。但是小偏差线性化可能会导致系统的稳定性变化，即线性化后的系统稳定性可能改变。但是在小偏差的范围内该线性系统是合理的。因此，小偏差线性化系统存在局限性。小偏差线性化方法最常用的是泰勒级数展开取线性部分，而实际系统十分复杂，该方法是不合理的，只能使用于一个非线性元件。实际中的系统线性化需要在同一个平衡工作点建立线性化增量方程。

参考文献：

[1]栾秀春，阳光，袁丽英等.一类非线性系统小偏差线性化的计算机求解[N].哈尔滨商业大学学报（自然科学版），2007-4 Vol.23 No.2.

[2]孟范伟，何朕，王毅等.非线性系统的线性化[N].电机与控制学报，2008-1 Vol.12 No.1.

作者简介：郭振纬（1993-），浙江大学控制科学与工程学系，指导老师：宋春跃、杨秦敏。