发散式思维在积分教学中的应用

赵海青

所谓发散式思维是指信息处理的途径灵活多变，寻求结果的丰富多样，它是一种开放性的立体思维，即围绕某一问题，沿着不同方向去思考探索，重组眼前和记忆中的信息，产生新的信息并获得解决问题的多种方案。因此，发散思维也称为求异思维，是一种重要的创造性思维。用“一题多解”，“一题多变”等方式，发散式地思考问题十分必要。本文仅就积分教学中的两方面进行说明。

一、发散式思维在积分运算中的应用

积分运算是高等数学课堂教学的重点和难点，当积分问题不能直接使用基本积分公式解决时，应引导学生灵活运用各种换元积分方法，尝试一题多解，鼓励学生在实践中不断探究总结换元积分技巧，对于提高学生积分水平非常关键。

由以上的几种解法可以看出，当被积函数不能由基本积分公式直接得出时，通常可利用换元法，对被积函数进行变形，如化去根号、削去分母等再利用分部积分公式予以解决。

这样对积分的运算原理和方法有了更深入的理解。

二、发散式思维在积分不等式证明中的应用

例2：设f（x）在[0，1]上单调减小，0<α<β<1

上述几种证明方法，使学生关于积分对区间的可加性，定積分中值定理，定积分换元法，函数单调性等相关知识有了更好的理解。数学教学中应注重发散思维的训练，不仅可以使学生的解题思路开阔，妙法顿生，而且对于改善学生思维品质，提高学生思维能力有着积极的作用。

（作者单位：华北电力大学数理系 保定）