基于全最小一乘法下的灰色GM（1，1）模型在小变形量级情况下的应用

凤志敏 刘兆慧 张德林 白逸洁 羊群芳

摘 要：目前国内外已提出的利用观测资料进行沉降预测方法较多，主要有双曲线法（修正双曲线法）、指数曲线法、Asoaka法等，但这些沉降预测方法的研究，多是针对沉降变形量较大的数据进行预测分析，而对于沉降量级小，相对沉降波动较大的情形下的沉降预测方法的研究较少。本文主要是探討基于全最小一乘法下的灰色GM（1，1）模型在沉降量级小，数据波动大的情形下的应用情况。

关键词：沉降预测；沉降量级小；灰色GM（1，1）模型；全最小一乘法。

0 前言：

目前常用的沉降预测方法较多，但研究表明，每种预测方法均有一定的适用范围，如双曲线法对于典型断面的理想数据预测效果较好，而对于量级小，波动大的观测数据的适用性较差；三点法（固结度对数配合法）预测误差较小，对数据段选取的依赖性小，对异常数据的敏感性强，但对沉降曲线收敛后波动太敏感，适用性差；Asoaka法预测误差一般较小，但其在预测过程钱对原始数据的平滑处理过程影响了预测误差的稳定性；指数曲线法对沉降变形数据的单调性有严格的要求，局部数据的小幅起伏变化都可能导致无法进行预测计算。

而现在高层、超高层建筑物，尤其高速铁路对于沉降控制很高，沉降量级一般较小，沉降数据波动大，如武广高铁桥涵和隧道沉降变形小于5mm，同时观测数据出现跳跃或连续几个观测数据变化趋势与常规相反的情况较多[[1] 陈善雄.高速铁路沉降变形观测评估理论与实践[M].中国铁道出版社，2010，3.]。针对这些情况，目前高速铁路对桥涵和隧道进行沉降预测及评估时，目前通用的办法就是根据相应的地质条件、地基或桩基处理方式及目前发生沉降量直接判定是否满足沉降评估的要求，但判定条件很难把握，至今仍无法统一，故一种专门针对变形量级小，数据波动相对大的沉降预测方法具有十分重要的现实意义。

1 灰色GM（1，1）模型

灰色系统是一种综合运用数学方法对信息不完全的系统进行预测、预报的理论和方法。灰色预测的思路是：把随时间变化的随机正的数据列。通过适当的方式累加，使之变成非负递增的数据列，用适当的方式逼近，以此曲线作为预测模型，对系统进行预测[[2] 宋来中.高速铁路线下工程沉降评估方法[J].中国港湾建设，2010，12（6）：35-36.]2。

目前常用的有GM（1，1）、GM（1，N）模型，其中GM（1，N）模型适合于建立系统的状态模型，为高阶系统提供基础，不适合预测用，预测模型应选用单个变量的模型即预测量本身数据模型（GM（1，1）模型）[[3] 陈启华.灰色GM（1，1）模型在高铁线下工程沉降变形预测中的应用[J].地理空间信息，2012，6（3）：141-142.][3]。GM（1，1）模型通过使用某t时刻前的观测值，完成t时刻后状态量的预报工作。

设原始非负序列为

X（0）={x（0）（1），x（0）（2），…，x（0）（n）}， （1）

其一次累加生成序列为

X（1）={x（1）（1），x（1）（2），…，x（1）（n）}，

其中x（1）（k）=（i），i=1，2，…，n

均值生成序列为

Z（1）={z（1）（1），z（1）（2），…，z（1）（n）}， （2）

其中z（1）（k）=（ x（1）（k）+ x（1）（k-1）），k =2，3，…，n；

我们称

x（0）（k）+a z（1）（k）=b （3）

为灰色GM（1，1）模型的基本形式。

对X（1）建立一阶线性微分方程模型

（4）

称为GM（1，1）模型的白化形式。

若为参数列且

，

则GM（1，1）模型x（0）（k）+a z（1）（k）=b的最小二乘估计参数列满足：

（5）

其参数估计值可计算得出。

微分方程式（4）的解也称为时间响应函数：

GM（1，1）灰色微分方程x（0）（k）+a z（1）（k）=b的时间响应序列为

（6）

原始数据的拟合值为：

（7）

2 全最小一乘估计准则下的灰色GM（1，1）模型

2.1 全最小一乘准则参数估计理论

设有1组样本观测值（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn），若将它们展绘到平面上且位于一狭长区域内，那么，可以在某种准则下用直线方程 （y=ax+b）来拟合它们，最小一乘准则是指样本观测值到回归直线y=ax+b的纵向距离ε的绝对值之和为最小，即：

全最小一乘准则是在最小一乘准则的基础上认为每个偏差值的权重均为，则全最小一乘准则数学表达式为：

（8）

根据文献[[4] 朱春浩.最小一乘法与最小二乘法：历史与差异[J]. 统计与决策，2007，（6）：128.

][4]表明，全最小一乘有效地减少了回归方程系数对异常数据的敏感性，在稳健性方面明显优于最小二乘准则，而最小二乘的一个缺点，是它受特异值点数据的影响较大。

2.2 全最小一乘估计准则下灰色GM（1，1）模型的建立和求解

1）模型建立。根据GM（1，1）模型x（0）（k）+a z（1）（k）=b，结合全最小一乘准则即式（8）得全最小一乘准则下的灰色GM（1，1）模型为：

（9）

2）模型求解。由于全最小一乘问题所最小化的目标函数Q（a，b）是非线性且不光滑的[[5] 吴可法.关于加权全最小一乘的探讨[J]. 应用数学学报，2002，7（3）：439-447.

][5]，因此通常计算参数 a、b时，需要将其先转换为线性规划模型后进行计算[[6] 李杰.全最小一乘的灰色模型在变形监测中的应用[J]. 地理空间信息，2012，12（6）：136-138.

][6]。

本文用LINGO软件对参数a，b进行求解。LINGO的主要功能是求解大型线性、非线性和整数规划问题，在解决含有大量变量和约束条件的非线性规划问题时具有编程语言简单，使用方式灵活，适用性强的优点[[7] 桑杨阳.非线性规划建模与LINGO软件的编程应用[J]. 脑知识与技术，2012，4（10）][7]。得到参数a，b的值后，利用式（6）、（7）计算预测值。

2.3 模型适用范围

1）由于上述GM（1，1）模型是一阶微分方程，沉降不宜包括次固结沉降（即不适用于路基沉降预测），主要适用桥梁、隧道等结构物的沉降预测，若要包含次固结沉降应取二阶或更高阶次的微分方程。

2）由文献[[8] 刘思峰，邓聚龙.GM（1，1）模型的适用范围[J].系统工程理论与实践，2000，（5）：121-124.][8]可以知道，一般当|a|<2时，GM（1，1）模型有意义，当|a|≤1时可应用GM（1，1）模型进行预测，但随着|a|的值不同，预测效果也不相同。

3）由于该GM（1，1）模型的参数估计采用全最小一乘准则，故观测数据中的异常值对模型预测影响较小。更适合总体沉降量较小，但后期数据波动较明显的沉降预测。

2.4 模型的检验

相对误差：

平均相对误差： （10）

精度： （11）

通常使用平均相对误差、精度和关联度来检验模型精度。其级别见表1[][7]。

表1 模型精度级别分类表

级别 平均相对误差/% 精度/% 关联度

一级 1 99 0.90

二级 5 95 0.80

三级 10 90 0.70

四级 20 80 0.60

3 模型的可靠性验证

3.1 无异常值的情况

针对该模型的特点，本文选取某隧道的沉降变形监测数据，为客观反映隧道的沉降变形情况，我们布设了若干断面，每个断面布设2个观测点，通过二等精密水准并联测到测区2个水准点，采用往返测。目前已经观测21期，观测频次为2周/次，我们对1S1观测点的累计沉降量进行处理，用前17期观测成果来建立GM（1，1）预测模型，用后4期的观测成果进行预测检核。1S1观测点的累计沉降量见表：

表2 点1S1累计沉降量統计表/mm

期次 沉降量 期次 沉降量 期次 沉降量

1 0.00 8 1.10 15 1.84

2 0.55 9 1.31 16 1.55

3 1.37 10 1.57 17 1.84

4 1.14 11 1.31 18 1.75

5 0.48 12 1.62 19 2.15

6 0.89 13 1.93 20 1.88

7 1.39 14 1.51 21 2.03

根据上节介绍的建模原理，利用观测点1S1前17期观测数据（用第2期数据作为模型的起始数据）和LINGO软件的计算和分析功能，进行建模计算分析，得到参数估计值为，则该点的GM（1，1）模型的时间响应序列为：

对前17期数据进行拟合，并对后4期数据进行预测。

同时用双曲线预测模型，对该点数据进行拟合预测。

两种模型下的拟合和预测结果见表3、表4，并且通过图1可以直观的看出GM（1，1）与双曲线模型的预测结果比较接近：

表3 实测值与拟合预测值较差

期次 实测值 GM（1，1） 双曲线 期次 实测值 GM（1，1） 双曲线

拟合值 较差 拟合值 较差 拟合值 较差 拟合值 较差

1 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 12 1.62 1.54 0.08 1.53 0.09

2 0.55 0.55 0.00 0.36 0.20 13 1.93 1.60 0.33 1.57 0.36

3 1.37 1.09 0.28 0.59 0.78 14 1.51 1.67 0.15 1.65 0.14

4 1.14 1.13 0.01 0.78 0.36 15 1.84 1.73 0.11 1.72 0.12

5 0.48 1.17 0.70 0.93 0.45 16 1.55 1.80 0.26 1.77 0.23

6 0.89 1.22 0.33 1.06 0.16 17 1.84 1.87 0.04 1.82 0.01

7 1.39 1.27 0.12 1.16 0.23 期次 实测值 预测值 较差 预测值 较差

8 1.10 1.32 0.22 1.27 0.17 18 1.75 1.95 0.19 1.87 0.11

9 1.31 1.37 0.06 1.35 0.04 19 2.15 2.02 0.13 1.89 0.26

10 1.57 1.43 0.14 1.42 0.15 20 1.88 2.10 0.23 1.93 0.05

11 1.31 1.48 0.17 1.48 0.17 21 2.03 2.19 0.16 1.96 0.07

图1 实测与拟合预测图

3.2 存在异常值的情况

若第8期数据有异常情况，异常值为4.5mm（原值为1.1mm），根据上节介绍的建模原理，利用 LINGO软件的计算和分析功能，进行建模计算分析，得到参数估计值为， 可计算得拟合预测结果见表4，由表4可以看出，当数据出现较误差值时（相对误差为309%），两次预测结果较差介于0.00～0.22之间，说明该模型预测结果稳定。

表4 存在异常值情况下的拟合预测结果比较

期次 实测值 GM（1，1）模型拟合 较差 期次 实测值 GM（1，1）模型拟合 较差

无异常值 有异常值 无异常值 有异常值

1 0.00 0.00 0.00 0.00 12 1.62 1.47 1.54 0.07

2 0.55 0.55 0.55 0.00 13 1.93 1.52 1.60 0.08

3 1.37 1.09 1.09 0.00 14 1.51 1.57 1.67 0.10

4 1.14 1.13 1.13 0.00 15 1.84 1.62 1.73 0.11

5 0.48 1.17 1.17 0.00 16 1.55 1.67 1.80 0.13

6 0.89 1.21 1.22 0.01 17 1.84 1.73 1.87 0.14

7 1.39 1.25 1.27 0.02 期次 實测值 预测值 预测值 较差

8 1.1（4.5） 1.29 1.32 0.03 18 1.75 1.79 1.95 0.16

9 1.31 1.33 1.37 0.04 19 2.15 1.85 2.02 0.17

10 1.57 1.38 1.43 0.05 20 1.88 1.91 2.10 0.19

11 1.31 1.42 1.48 0.06 21 2.03 1.97 2.19 0.22

3.3 两种情况下的模型比较

针对有、无异常观测值的情况，分别对参数估计值和模型的精度进行分析。

1）参数估计值的稳定性。由式（6）可知，a和a/b的值直接影响GM（1，1）模型的时间响应序列值的结果，从而使拟合值与预测值发生变化，两种情况下的参数估计值计算如表5：

表5 GM（1，1）模型参数汇总表

a b -b/a 参数a的变化率 b/a变化率%

无异常值 -0.0389 1.0431 26.8149 15.9% 18.77%

有异常值 -0.0327 1.0585 32.3700

由表5可以看出，在第8期数据出现误差（相对误差为309%）情况下，a和b/a的变化率较小，说明有异常值时，该模型的参数有较高的稳定性。

2）模型精度比较。

通过对有、无异常观测值拟合后的数据进行分析，结果见表6

表6 GM（1，1）模型精度检验

检验指标 平均相对误差% 精度% 关联度

无异常值 6.72% 93.28 90.5

有异常值 6.74% 93.26 90.9

由表6可以看出，存在较大异常值的情况下，精度和关联度指标满足一级精度要求，平均相对误差指标满足三级精度要求，说明该模型整体精度良好。

4 结论：

通过以上讨论，基于全最小一乘法下的灰色GM（1，1）模型在无较大误差数据情况下，与常规双曲线法预测的结果很接近，说明该模型可以用于沉降预测，同时在存在较大误差值时（误差率为309%），误差值对模型的影响较小，有很好的稳定性。可以用于专门针对变形量级小，数据波动相对大的沉降预测方法的后续研究。

参考文献：