Wigner固体平均势的计算

张跃



Wigner固体平均势的计算

张跃

(湖南师范大学物理与信息科学学院, 湖南长沙, 410081)

修正了Callaway J计算Wigner固体的平均势理论中出现的错误。以单原子的bcc和fcc结构的金属为例, 建立了计算Wigner固体的平均势的理论。理论结果表明: 金属晶体的平均势与晶体的晶格常数的倒数1/成正比。对一些常用的bcc和fcc结构的金属晶体的平均势进行了数值计算, 获得了大量具有应用价值的计算结果。

Wigner固体; 泊松方程; 平均势; 晶格常数

晶体的平均势是计算晶体的能带结构、晶体的静电势能或者静电束缚能不可缺少的要素, 它可以作为晶体中电子哈密顿量的零级微扰近似。对于计算晶体的静电势能未计入平均势或者认为平均势等于0的计算结果, 其贡献可以导致20%甚至更大的修正值[1]。因而计算晶体的平均势是固体理论研究领域中具有重要价值的课题之一[2–5]。有关晶体的计算很复杂, 人们希望探索和建立能够简化计算的理论。Wigner固体是一种理论模型, 它类似于等离子体形态。由于Wigner固体可以应用于许多物理现象, 诸如: 半导体表面附近的反演层; 液态氦受到垂直方向外电场作用时, 在略高于其自由表面处呈现的电子晶体; 白矮星; 脉冲星的外壳等[1, 5]。Wigner固体模型适合应用于金属晶体, 因为金属中的电子处于游离状态, 有可能趋向于负电荷均匀分布。Callaway J利用这种模型计算过单原子体心立方结构金属中电子在布里渊区的点的电势, 实际上, 它等同于晶体的平均势[3–4]。但该计算理论存在错误, 在文献[2, 5]中, Callaway J等人误将泊松方程中的电势函数()解释成了电势能函数。此外, 在计算过程中, Callaway J错误地直接引用了文献[1]中对的积分计算结果, 因为文献[1]中选取的该积分区域为紧邻晶胞(proximity cell), 其体积为23, 而Callaway J选取的积分区域为一般原胞, 其体积为3/2, 两者的积分区域不一样, 因而必须重新计算积分。鉴于常用的金属大多数是体心立方(bcc)和面心立方(fcc)晶格结构, 本文将限于讨论计算bcc和fcc金属晶体的平均势。

1 Wigner固体

为了便于计算, 本文仅考虑单原子bcc和fcc结构的金属。所谓的Wigner固体[1–2], 对于离子点阵的晶体, 指晶体由带正电量|e|(e是电子的电量)并静止在晶格格点上的点电荷(正离子)和带有均匀的负电荷分布的背景构成, 每个晶胞内带负电量为-|e|, 整个晶体保持电中性。为原子的电荷序数与原子实中的电子数之差。晶体内一个电子的电势函数由泊松方程确定[6]:

式中()表示晶体内的电荷密度,0和r分别为真空的介电常数和金属的相对介电常数, 对于一般的金属, 相对介电常数r＜10。()和()都是周期函数, 可以利用傅里叶展开式:

;。 (2)

()和()的傅里叶展开系数分别为:

。 (4)

采用原胞为基本单位, 式中为任意一个倒格矢,c()表示一个原胞内的电荷密度,为一个原胞的体积。c()是以每个晶胞为中心的电势项。由于晶体具有平移对称性,()可以表示为。类似地, 晶体的电荷密度()也可以表示为各晶胞的项之和。将(2)式代入(1)式, 得到

理论计算对于布里渊区内的各特殊点是类似的, 本文仅考虑布里渊区的点(= 0)。当= 0时, (3)式表示的是晶体的平均势[2–4], 这也是利用微扰理论计算晶体的能带结构或者静电势时需要单独计算的一项。本文定义(0)为(7)式中的, 视其为连续变量, 当→0时可以免去的下标。根据(5)式有

。 (6)

式中表示与之间的夹角。因为晶体中一个原胞内的电荷分布是中性, 故(7)式中的第1项积分等于0。此外, 在一个原胞内, 电荷分布具有空间反演对称, 第2项积分也为0, 实际上(0)应为实数, 可以不考虑(7)式中的第2项。将(7)式代入(6)式, 当→0时, 得到

, (8)

2 计算bcc结构

晶体的原胞内电荷均匀分布, 具有球对称性, 整个原胞保持电中性。因此, 对于bcc结构的金属晶体, 可以将一个原胞内的电荷密度表示为[3, 5]

c()具有立方对称性, 如果代入(9)式计算, 对含2(cos)项的积分等于0, 因而有

。 (11)

(12)式表明, 晶体的平均势与晶体的晶格常数的倒数成正比, 这一点与有关文献中的结论一致[5]。本文对一些常用的bcc金属(超导元素)进行了数值计算, 计算结果如表1所示。

表1 一些bcc金属(超导元素)晶体的平均势的数值计算结果

*为晶格常数数据右边注明的78 K及5 K是指测量实验的温度, 未注明的是在室温下测量的[7], †.r是根据文献[7]中的Clausius-Mossotti公式以及金属离子的电极化率计算出的理论值。下表同。

3 计算fcc结构

对于fcc结构的金属,=3/4, 采用等体积球形近似计算(11)式中的积分, 通过计算得到球形的半径s≈ 0.390 669 4。由此计算出。根据(11)式最后得到

本文对一些常用的fcc金属[9–10]进行了数值计算,计算结果如表2中所示。

表2 一些fcc结构金属晶体的平均势的数值计算结果

4 结论

Wigner固体作为一种假设模型而广泛应用于固体理论研究领域。文章中对于单原子的bcc和fcc结构的金属, 计算并推导出了可以分别直接应用于计算bcc和fcc金属晶体的平均势的公式, 即(12)式和(11)式。并且, 对一些常用的bcc和fcc金属晶体的平均势进行了数值计算, 计算结果如表格1和表格2所示。本文虽然没有找到实验数据和他人的理论计算数据进行比较, 但从(12)和(13)两式可知, 晶体的平均势与晶格常数的倒数成正比例, 这个结果与文献[5]中的结论一致。对于其它晶格点阵结构的金属, 也可以利用本文建立的理论进行类似的计算。

参考文献：

[1] Hall G L. Correction to Fuchs’ calculation of the electrostatic energy of a Wigner solid [J]. Phys Rev B, 1979, 19(8): 3 921 –3 932.

[2] Callaway J, Glasser M L. Fourier Coefficients of Crystal Potentials [J]. Phys Rev, 1958, 112(1): 73–77.

[3] Kleinman L. Comment on the average potential of a Wigner solid [J]. Phys Rev B, 1981, 24(12): 7 412–7 414.

[4] Hall G L. Response to “Comment on the average potential of a Wigner solid” [J]. Phys Rev B, 1981, 24(12): 7 415–7 418.

[5] Callaway J. Quantum Theory of the Solid State [M]. 2nd Edition. San Diego: Academic Press, INC, 1991: 16–19.

[6] Bradbury T C. Mathematical Methods with Applications to Problems in Physical Sciences [M]. New York: John Wiley & Sons, 1984: 109–110.

[7] Ashcroft N W, Mermin N D. Solid State Physics [M]. San Francisco: Holt, Rinehart and Winston, 1976.

[8] 游效曾. 离子的极化率[J]. 科学通报, 1974, 19(9): 419–423.

[9] 张跃. 关于晶体制约定理的一个严格证明[J]. 湖南文理学院学报: 自然科学版, 2015, 27(1): 14–16.

[10] Kittel C. Introduction to Solid State Physics [M]. 6th Edition. New York: John Wiley & Sons, Inc, 1986.

(责任编校:刘刚毅)

Calculating the average potential of a Wigner solid

Zhang Yue

(College of Physics and Information Science, Hunan Normal University, Changsha 410081, China)

A few errors occurring in the calculations of Callaway J on the average potential of a Wigner solid are corrected. With respect to the monoatomic bcc and fcc metals, a theory of calculating the average potentials of them is established, and the theoretical results demonstrate that the average potential is directly proportional to 1/(is the lattice constant of the crystal). Moreover, a great deal of calculations of the average potentials of various bcc and fcc metals are performed, and a lot of numerical results which are valuable for applications are obtained.

Wigner solid; Poisson’s equation; average potential; lattice constant

10.3969/j.issn.1672–6146.2015.03.005

TG 111.1; O 481

1672–6146(2015)03–0019–03

张跃, phys_zhangyue@126.com。

2015–05–07

湖南师范大学科学研究项目(29000631)。