基于修正四阶Cole-Cole模型的太赫兹波段生物组织介电特性估算方法探索

彭 艳 逯 迈 陈小强 田 瑞

1(兰州交通大学自动化与电气工程学院，兰州 730070)2(兰州交通大学光电技术与智能控制教育部重点实验室,兰州 730070)3(兰州交通大学电子与信息工程学院,兰州 730070)

基于修正四阶Cole-Cole模型的太赫兹波段生物组织介电特性估算方法探索

彭 艳1逯 迈2*陈小强1田 瑞3

1(兰州交通大学自动化与电气工程学院，兰州 730070)2(兰州交通大学光电技术与智能控制教育部重点实验室,兰州 730070)3(兰州交通大学电子与信息工程学院,兰州 730070)

为了获得生物组织在太赫兹波段的相对介电常数和电导率，在四阶Cole-Cole模型基础上进行修正，使修正后的模型不仅能描述生物组织在10 Hz～100 GHz频段的介电特性，还能描述生物组织在太赫兹波段的介电特性。在四阶Cole-Cole模型上新增了一项ωk/i，对正常皮肤组织在10 Hz～20 GHz和0.15～1.95 THz频段的介电特性的实验数据按照文献方法进行处理，提取四阶Cole-Cole修正模型的参数。在10 Hz～100 GHz频段内，原有模型和修正模型计算值的相对误差在5%以内，并且在太赫兹波段正常皮肤组织修正模型的相对介电常数和电导率的计算值与实验数据的相对误差基本在10%以内，结果验证了四阶Cole-Cole修正模型的正确性。将该修正模型应用在脑白质和脑灰质太赫兹波段的介电特性的计算中，得到脑白质和脑灰质在0.15～1.95 THz频段的相对介电常数和电导率。所提出的四阶Cole-Cole修正模型还可以对其他生物组织在太赫兹波段的介电特性进行预测。

太赫兹；介电特性；四阶Cole-Cole模型；皮肤组织

引言

生物组织介电特性的研究是研究生物组织与电磁波相互作用的基础，即生物体电磁剂量研究的前提[1-2]。例如，手机辐射对脑部神经系统的影响、经颅磁刺激治疗神经与精神系统疾病等研究都需要生物组织介电特性的研究来作为其研究基础[3-4]。

太赫兹(THz)频段的生物组织介电特性的研究具有重要的医学应用价值。由于THz光源的产生技术和探测手段不成熟，直到近年来才使得THz技术在生物医学、无损检测等领域得到发展和应用[5-8]。

早在1941年，KS Cole 和RH Cole两位学者提出经验公式，描述电介质的介电特性[9]。1985年，Hurt提出用五阶德拜模型描述肌肉组织在频率范围为10 Hz～10 GHz的介电特性，这每一阶模型都分别代表一个色散区域[10]。1996年Gabriel根据17种生物组织在10 Hz～20 GHz频段的相对介电常数和电导率，提出四阶Cole-Cole模型，描述它们在该频段的介电特性，并预测20～100 GHz的相对介电常数和电导率[11-13]。2001年，Eleiwa将30 Hz～20 GHz划分为多个频段，分别采用二阶或者三阶德拜模型对16种生物组织在每一频率段的介电特性进行描述[14]。文献[15-17]介绍了蛙血细胞、大鼠骨骼肌细胞以及人血液细胞等一系列动物和人细胞的介电特性，实验频率达到100 MHz。

文献[18-19]采用二阶德拜模型，对水在THz波段的介电特性进行拟合。由于皮肤组织含水量高，Pickwell等也采用二阶德拜模型描述正常皮肤组织和癌变皮肤组织在0.1～2 THz频段的介电特性[20-21]。Truong等对皮肤组织太赫兹波段二阶德拜模型参数的提取算法进行了优化[22]。通过生物组织光学特性，可以计算出生物组织在THz波段的相对介电常数和电导率，但是目前只有皮肤、脂肪组织、横纹肌、静脉与神经等生物组织在THz频段的光学特性[23]。因此，提出能描述生物组织THz波段介电特性的模型来预测生物组织在太赫兹波段的相对介电常数和电导率是很有必要的。

1 Cole-Cole模型

(1)

其实部为

(2)

虚部为

(3)

复介电常数的虚部与电导率的关系为

σ=ωε0ε″

(4)

但是，相当部分的实验表明，式(2)和式(3)不能完全正确地描述复介电常数与频率的关系。因此KS Cole 和RH Cole两位学者提出了经验公式，即

(5)

式中，εs是静态介电常数，参数α取值范围为0～1。

当极性电介质结构复杂、电介质的Cole-Cole圆图为几段圆弧时，需采用多阶Cole-Cole模型来描述电介质的介电特性[24]。Gabriel描述17种人体组织在10 Hz～100 GHz频段介电特性的四阶Cole-Cole模型，即

(6)

式中，Δεn=εn-εn+1，ε1是静态介电常数，εn是中间频率介电常数，σ是由低频部分的电子漂移和低频极化产生的，βn=1-αn。

2 模型的修正及参数提取

将四阶Cole-Cole模型延伸到THz波段，该频段模型的计算值与实验值相对误差超过20%，电导率的计算值与实验值的相对误差大体随频率增大而增大。所以，对四阶Cole-Cole模型进行修正，得到的修正模型为

(7)

在原四阶Cole-Cole模型上增加了一项ωk/i，其中k为常数。ωk/i随着频率的增大而增大，当k取合适的值时，在低频段此项的计算值很小，几乎可以忽略不计。而在高频段时，该项的数值与原有模型的计算值相叠加，使得修正模型的计算值在THz波段与电导率的实验数据更接近。

提取模型参数，一般方法是利用最小二乘优化技术来估计参数值，但这种方法不适合当前状况。原因是要拟合的实验数据在10 Hz～1.95 THz频段跨越好几个数量级，低频部分相对介电常数数量级大，而高频部分的很小。若采用最小二乘优化降低残差平方和，有可能导致数量级大的低频部分残差平方和下降，其他频段拟合效果变差。

文献[13]提取修正模型的参数。在Excel中，将实验数据和模型计算值生成XY散点图，XY散点图要求数据在工作表中的组织方式是将X值放在一行或一列中，然后在相邻的行或者列中输入相关的Y值。因此，将单元格中第一行设为标识，分别为频率、相对介电常数实验数据、电导率实验数据、原有模型相对介电常数计算值、原有模型电导率计算值、修正模型相对介电常数计算值、修正模型电导率计算值，并把实验数据和原有模型计算值输入到相关列中。把修正模型方程转化成用Excel单元格地址表示的公式，即可在相关列得到修正模型的计算值。然后绘制图表，选中单元格数据，单击图表向导，选择XY散点图的子类型平滑线散点图，生成曲线[25]。在改变修正模型参数时，图中曲线会发生相应变化，当略微增大或减小修正模型参数而曲线不发生显著变化时，即可以将该参数作为模型最终参数[13]。

当改变修正模型中的ε∞以及参数的Δε1、τ1和β1时，高频段曲线变化较大，表明高频段的介电特性主要由第一阶模型和ε∞决定，其中ε∞只对高频部分的相对介电常数有影响，而对电导率无影响。输入正常皮肤组织10 Hz～20 GHz的实验数据，是在人体前臂腹侧活体测量的正常皮肤组织的相对介电常数和电导率[12]。0.15～1.95 THz频段的实验数据源自文献[21]，是在人体前臂掌侧活体测量的正常皮肤组织的相对介电常数和电导率。

3 结果

3.1正常皮肤组织修正模型参数提取结果

将正常皮肤组织10 Hz～20 GHz和0.15～1.95 THz频段的实验数据以及四阶Cole-Cole修正模型输入Excel电子表格，按上述方法提取正常皮肤组织的修正模型参数，结果如表1所示。

表1 正常皮肤组织四阶Cole-Cole修正模型参数Tab.1 The fourth Cole-Cole modified model parameters of normal skin

表2 正常皮肤组织10 Hz～100 GHz频段四阶Cole-Cole原有模型与修正模型相对介电常数计算值分析Tab.2 Relative permittivity of normal skin tissue between the fourth Cole-Cole and the fourth Cole-Cole modified models

表3 正常皮肤组织10 Hz～100 GHz频段四阶Cole-Cole原有模型与修正模型电导率计算值分析Tab.3 Conductivity of normal skin tissue between the fourth Cole-Cole and the fourth Cole-Cole modified model

表4 正常皮肤组织太赫兹波段相对介电常数和电导率误差分析Tab.4 Relative permittivity and conductivity error analysis of normal skin in terahertz band

3.2脑白质和脑灰质修正模型参数提取结果

由于脑白质和脑灰质在THz波段没有实验数据，无法直接得到模型参数。当频率高于100 MHz时，组织的介电特性主要反映细胞内外电解液的性质，并将产生与水偶极松弛相关的色散[24]。可以得知，THz波段生物组织的介电特性也主要是由组织中所含水分决定的。

[24]中可知，脑白质含水量为68%～73%，脑灰质含水量为82%～85%，皮肤组织含水量为60%～76%。这3种组织的含水量相近，因此假设THz波段这3种组织的介电特性也是相似的。由于前面已经验证了正常皮肤组织修正模型的正确性，因此根据正常皮肤组织修正模型，确定脑白质和脑灰质修正模型的部分参数。脑白质和脑灰质在10 Hz～20 GHz的实验数据取自文献[13]，修正模型参数的提取结果如表5所示。表6为脑白质和脑灰质的四阶Cole-Cole修正模型计算得到的THz波段相对介电常数和电导率。

表5 脑白质、脑灰质的四阶Cole-Cole修正模型参数Tab.5 The parareters of the fourth Code-cde madified for white matter and grey matter

4 讨论和结论

THz波段生物组织介电特性的研究受到实验条件的束缚，很多生物组织对THz波段的介电特性是未知的。而生物组织在低频段介电特性的研究很全面，有大量的实验数据，并且四阶Cole-Cole模型能描述生物组织在10 Hz～100 GHz频段的介电特性。因此，本研究对四阶Cole-Cole原有模型进行了修正，使四阶Cole-Cole修正模型不仅能描述生物组织在低频段的介电特性，也能描述生物组织在THz波段的介电特性。在四阶Cole-Cole原有模型的基础上新增ωk/i，解决了原有模型电导率计算数据与实验数据在THz频段相对误差百分比较大的问题。

文献[12-13]中在20～100 GHz频段之间没有实验数据，无法得到原有模型和修正模型的计算值与实验数据的误差。从表3、4中可以看出，修正模型和原有模型的计算值都非常接近，两者的相对误差在5%以内；但四阶cole-cole原有模型和四阶Cole-Cole修正模型的计算值在低频段与实验数据相对误差都较大。

表6 脑白质和脑灰质THz波段相对介电常数和电导率的计算值Tab.6 The relative permittivity and conductivity of white matter and grey matter in terahertz band

本研究尚未解决四阶Cole-Cole模型的计算数据与实验数据在低频段误差大的问题，将在以后工作中对模型本身进一步修正，或者找到最优算法对模型参数进行优化，使低频段实验数据与模型计算值更接近。

通过对四阶Cole-Cole模型进行修正，使其能描述正常皮肤组织在10 Hz～1.95 THz频段的介电特性，并计算脑白质和脑灰质在0.15～1.95 THz的介电特性。采用四阶Cole-Cole修正模型描述10 Hz～1.95 THz频段的介电特性，对今后描述其他组织从低频段到THz波段的介电特性有一定的参考作用，并可对生物组织在实验数据匮乏的THz频段的相对介电常数和电导率进行大致的预测。

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ExplorationResearchofEstimationMethodontheDielectricPropertiesofBiologicalTissueinTerahertzBasedontheModifiedFourthCole-ColeModel

Peng Yan1Lu Mai2*Chen Xiaoqiang1Tian Rui3

1(SchoolofAutomationandElectricalEngineeringLanzhouJiaotongUniversity,Lanzhou730070,China)2(KeyLabofOptoelectronicTechnologyandIntelligentControl,MinistryofEducation,LanzhouJiaotongUniversity,Lanzhou730070,China)3(SchoolofElectronicInformationandEngineeringLanzhouJiaotongUniversity,Lanzhou730070,China)

THz; dielectric properties; fourth Cole-Cole model; skin tissue

10.3969/j.issn.0258-8021.2015.02.016

2014-05-05，录用日期:2014-12-10

国家自然科学基金(51267010)；甘肃省杰出青年基金(1308RJDA013)

Q64

D

0258-8021(2015) 02-0243-06

*通信作者(Corresponding author)，E-mail:mai.lu@hotmail.com