漫谈绝对值

吴龙杰

绝对值，是苏科版七年级上册“有理数”这一章的一个重点. 课本中给绝对值下的定义为：数轴上表示一个数的点与原点的距离叫作这个数的绝对值. 如果同学们觉得文字性的表述有些抽象，那么我们不妨使这句话具体一些.

如图1，点A，B，C，D，E分别表示数轴上的有理数-5，-3.5，0，2.5，5. 通过图可以得到，点A到原点（0）的距离为5，即-5的绝对值为5，用符号语言表示为-5=5，以此类推，-3.5=3.5，0=0，2.5=2.5，5=5. 特别地，点C表示的数0到原点的距离为0，即0=0.

通过上述推论我们得到：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0.

那么，有没有这样一个数，它的绝对值是负数呢？

因为距离不可能是负数，所以a≥0（a为一切实数），即绝对值具有非负性，那么请看下题：

例1 若x-1与y+2互为相反数，试求（x+y）2002的值.

【分析】因为x-1与y+2互为相反数，即x-1+y+2=0.

又因为x-1≥0，y+2≥0，所以必有

x-1=0，y+2=0，

即x=1，y=-2.

于是得到：（x+y）2002=（1-2）2002=（-1）2002=1.

通过上题的分析，我们得到若两个或两个以上的非负数的和为0，则每一个非负数都为0.目前我们学过的非负数，主要是绝对值和偶次幂（主要是平方）两种. 所以，如果今后遇到含绝对值或偶次幂的代数式，我们要尽量考虑整体代入.

例2 若a=b，则a=b（a，b为一切实数），这句话是否正确？

【分析】如果a，b同号，即a≥0，b≥0，或a≤0，b≤0，上述判断正确，但如果a，b异号，则可能出现以下情况：

若a=2，b=-2，由绝对值定义，得a=b=2，但是a≠b，即上述判断不成立.

由上题可知，互为相反数的两个数绝对值相等. 因此在一些带有绝对值符号的题目中，往往要通过两数的符号（同号或异号）进行分类讨论.

例3 数轴上有两个点. 已知它们到原点的距离分别是2，3，那么这两个点之间的距离是多少？

【分析】这道题并不难. 但是许多人在解答这道题目的时候，容易直接想到“3-2=1”，从而得到答案1.但实际上这只是其中的一种答案.

我们可以设这两个点表示的数分别为a，b，则有以下情况：

a>0，b>0 1

a<0，b<0 2

a>0，b<0 3

a<0，b>0 4

当情况为1，2（即a，b同号）时，可得到a-b=1；

但是如果情况为3，4（即a，b异号）时，那么两点之间的距离就是

3-（-2）=2-（-3）=5.

所以，在今后做题时，如果遇到牵涉绝对值的题目，我们最好多留意一下：这道题目是否需要分类讨论.

同学们，绝对值是有理数中最基本的一个知识点. 我们在今后的学习中会发现，很多地方都会运用到绝对值. 所以，将绝对值这一小节吃透就显得尤为重要. 希望这篇文章能够给大家带来一些帮助.

教师点评：绝对值是学生进入初中面对数学的第一个拦路虎，特别是含字母的代数式的绝对值，初学者对这个问题很头疼. 这个知识点掌握得好与坏，不仅对后面有理数的加减法定义的理解有帮助，对以后二次根式的一些应用都非常重要，是增强学习数学兴趣的一个重要的突破口.

（指导老师：孙中兴）