巧用角角探究相似构建

朱华庆

相似是我们初中数学图形世界中重要的研究图形关系的方法，没有它，很多数学问题无法解决.相似更是我们初中升学考试的必考点，而且一定会在最后的综合题中应用到.

本章的难点在于：如何在复杂的背景条件下找到相似三角形.而最大的困难在于：如果其中一个相似三角形不存在，或者两个三角形都不存在，这时候，我们如何通过辅助线构建一个或者两个三角形相似呢？今天我们就通过几道例题，一起来寻找它的蛛丝马迹，一一破解.

我们先来回忆一下，作为判定三角形相似的四种方法：方法（1）平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例；方法（2）判定定理1：两组角对应相等的两个三角形相似；方法（3）判定定理2：有两组边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似；方法（4）判定定理3：三边对应成比例的两个三角形相似.

对于第一种判定方法，我们也把它看成是角角判定一类方法.首先，平行也能得到角相等，有两组角相等了是不是也相似呢？其次，平行有助于我们发现相似，如果在一个问题中一旦出现了平行这个条件，我们马上要警觉起来，在解题陷入僵局的时候，是否考虑相似呢？就是说，平行可以看成寻找发现相似三角形的一个工具.最后，利用平行来解决相似问题，可以节省步骤.不过，由本质看，依然可以看成是角角的判定方法.本文重在探讨如何构建三角形相似，并利用角角证明.

一、 通过作平行构建相似

例1 在△ABC中，CD是∠C的平分线，AD∶BD=2∶3，AC=10，求BC的长.

【分析】题意中主要条件是角平分线，在进行探究后发现，要么利用角平分线定理解决问题，要么利用三角形相似解决问题，而考虑到题意给出的线段成比例，便应该确定使用相似来解决问题，而图形中不存在相似，自然想到构造相似三角形.

解：作DE∥BC交AC于点E，△ADE∽△ABC，易得 = = = ，把AC=10代入得AE=4，∴EC=AC-AE=6，又由已知易求DE=EC，∴DE=6，再次代入 = = 得到BC=15.

【点评】通过作一条平行线构建三角形相似，这是构建相似的基本方法.

二、 通过作中位线构建相似

例2 在△ABC中，AE、CD分别是BC边和AB边的中线，求DF∶FC的比值.

【分析】首先分析要求的解是线段的比，可以考虑相似，但是条件中中点比较多，这里是否是作平行线呢？中点比较多时能联想到中位线，中位线又有平行，虽然不是直接作平行，其实是隐藏的平行线.

解：连接DE，由已知条件得到DE是中位线，于是DE∥AC，

∴△EDF∽△ACF，

∴DF∶FC=DE∶AC=1∶2.

【点评】构建相似三角形要看具体的已知条件，综合来考虑.当已知中出现多处中点时，应该考虑三角形中位线.

三、 通过作直角三角形构建相似

例3 △ABC是圆O的内接三角形，BC边上的高AD=3，AB=9，AC=5，求圆O的直径.

【分析】此题初读后会有困难，但从要求解的直径出发，就会考虑先把直径作出来，接着考虑，直径有什么用处呢？常作的辅助性是体现直径所对的圆周角是90°.因为圆中有“等对等”定理、圆周角定理，这就导致了很多角相等，很容易产生相似.

解：过点A作直径AE，连接BE，

∵∠ACD=∠E，∠ADC=∠ABE=90°，

∴△ADC∽△ABE，∴AD∶AC=AB∶AE，代入已知条件得，AE=15.

【点评】这里通过作辅助线构建一个直角三角形和已知的直角三角形相似，这种方法比较少见，但是，也是有规律的，例如在圆中涉及直径的问题，很有可能会出现直角三角形，其次，圆周角定理及其推论会出现很多的角相等，不经意间就出现了相似.

以上3个例题都是已知了一个三角形，需要构建另外一个三角形和已知三角形相似，还有些问题，需要构建两个三角形相似.

四、 利用三角形外角的性质构建相似

例4 在圆C中，∠ACB=120°，△DEF是边长为2的等边三角形，E、F在AB上运动，当D点落在劣弧AB上时，求AE×BF的积.

【分析】 在读题时，首先想到∠ACB=120°有何用处，这是一个难点.第二，探究线段的积，也有难度，但通常都是转换为线段的比来解决.对于第一个难点，圆心角的度数知道了，可以求哪些角呢？抓住圆心角是主要的突破方向.其次，这里是有模型的，有的老师称之为“三角一线”.我画两个模型图，简要说明，本文不作重点介绍.

当∠1=∠2=∠3时，就能证到两个三角形相似.现在你了解为什么叫“三角一线”了吗？知道它的规律了吗？

解：连接AD、BD，∵∠ACB=120°，

∴劣弧AB度数为120°，

∴优弧AB度数为240°，∴∠ADB=120°，

∵∠EDF=60°，∴∠ADE+∠BDF=60°，

∵∠DEF=60°，∴∠ADE+∠DAE=60°，

∴∠DAE=∠BDF，

又∵∠DEF=∠DFE=60°，

∴∠DEA=∠DFB=120°，

∴△DAE∽△BDF，∴ = ，

∴AE×FB=DF×DE=2×2=4.（积为定值）

【点评】这个题型不能完全看成是“三角一线”问题，但是，如果我们熟悉了“三角一线”模型，在连接了线段AD、BD后，很容易联想到证明左右两个位置的三角形相似，所以说，“三角一线”的模型对我们解题是很有帮助的.

五、 通过作垂直构建相似

例5 已知二次函数y=-2x2+4x+1的图像如图6，与y轴交于点A，与对称轴相交于点C，射线AB与线段AC的夹角为45°，AB与对称轴相交于点D，求点A、点C、点D的坐标.

【分析】已知二次函数解析式，易求与y轴的交点A的坐标和顶点C的坐标.在求点D坐标时，容易陷入困惑，没关系，我们继续来关注已知条件，发现有一个45°条件没有使用，根据我们的所学知识，只有构建直角三角形，才能充分发挥45°的作用，但是从哪里作垂直构建直角三角形呢？其实，可以从点C、点B、点D分别尝试，其中，点B、点C容易排除.继续思考：我们要求的是点D坐标，因此希望求出关于点D的线段的长度，特别是CD的长，显然Rt△ADF是等腰直角三角形，但是Rt△CDF还没有探究，能否找到线索呢？在已知的条件中，C点坐标还没有使用.于是围绕点C开始思考，发现这里有平行啊，是否暗示我们可以构造出相似呢？再次整合信息，我们发现有AE∥CD，是否有三角形与Rt△CDF相似？

解：作CE⊥y轴垂足为E，作DF⊥AC垂足为F，当x=0时，y=1，即：A点坐标（0，1），由顶点坐标公式得：C点坐标（1，3），∴AE=2，EC=1，

由勾股定理得AC= ，在Rt△ADF中，

∵∠CAD=45°，∠AFD=90°，

∴∠ADF=45°，∴AF=FD，

在Rt△ACE和Rt△CDF中，

∵AE∥CD，∴∠FCD=∠EAC，

又∵∠CEA=∠CFD=90°，

∴Rt△ACE∽Rt△CDF，

∴ = = ，∴CF=2FD，

∵AF=FD，∴CF=2AF，∴AF=FD= AC，

∵AC= ，∴AF=FD= ，

∴FC= ，在Rt△CDF中，由勾股定理得CD= ，

∵点C坐标为（1，3），

∴点D的坐标为1， .

【点评】通过此题，我们至少有3个收获：以后看到平行，要警觉是否要寻找相似，或者构造相似；关于特殊角要特别关注能否构建含有特殊角的直角三角形；最后，平面直角坐标系横坐标轴与纵坐标轴是互相垂直的，所以作垂直构造直角三角形相似非常有效，应该引起足够的重视.

以上5个例题，包括提到的“三角一线”问题，不管是添加平行线、作垂直、连接中点、作两条垂直，还是连接直径等等，它们的本质都是通过角角判定来证明三角形相似.在我们学习的过程中，大家会发现通过角角证明相似是最常见的方法，其次辅助线的添加，是有规律可以寻的，在作辅助线的时候，需要综合题意，结合要求解的信息，才能在面对复杂相似问题的时候做出准确的判断.

（作者单位：江苏省常州市金坛区尧塘中学）