趣味数学题选粹

陈娟

趣味数学题（一）

1. 过桥

今有a、b、c、d四人在晚上都要从桥的左边到右边. 此桥一次最多只能走两人，而且只有一只手电筒，过桥时一定要用手电筒. 四人过桥最快所需时间为：a：2 分；b：3 分；c：8 分；d：10分. 走得快的人要等走得慢的人，请问何种走法才能在 21 分 钟内让所有的人都过桥？

【解析】先是a和b一起过桥，然后将b留在对岸，a独自返回. a返回后将手电筒交给c和d，让c和d一起过桥，c和d到达对岸后，将手电筒交给b，让b将手电筒带回，最后a和b再次一起过桥. 则所需时间为：3+2+10+3+3=21（分钟）.

2. 巧插数字

125×4×3=2 000

这个式子显然不等，可是如果在算式中巧妙地插入两个数字“7”，这个等式便可以成立，你知道这两个7应该插在哪儿吗？

【解析】 插入数字后的式子为：1 725×4×3=20 700.

3. 温馨四季

春夏 × 秋冬 = 夏秋春冬

春冬 × 秋夏 = 春夏秋冬

式中 春、夏、秋、冬 各代表四个不同的数字，你能指出它们各代表什么数字吗？

【解析】春=2；夏=1；秋=8；冬=7.

4. 破车下山

一个破车要走两英里的路，上山及下山各一英里，上山时平均速度每小时15英里，问当它下山走第二个一英里的路时要多快才能达到平均速度为每小时30英里？是45英里吗？你可要考虑清楚了呦！

【解析】无论如何破车的平均速度也不可能达到30英里/小时. 因为当平均速度为30英里/小时时，破车上、下山的总时间应为小时. 而破车上山就用了小时. 所以说破车的平均速度是达不到30英里/小时的.

5. 共卖多少鸡蛋

王老太上集市去卖鸡蛋，第一个人买走篮子里鸡蛋的一半又一个，第二个人买走剩下鸡蛋的一半又一个，这时篮子里还剩一个鸡蛋，请问王老太共卖出多少个鸡蛋？

【解析】王老太共卖了10个鸡蛋.

6. 有多少人参加考试

试卷上有6道选择题，每题有3个选项，结果阅卷老师发现，在所有卷子中任选3张答卷，都有一道题的选择互不相同，请问最多有多少人参加了这次考试？

【解析】最多有13人参加考试.

趣味数学题（二）

1. 丢番图的墓志铭

古希腊数学家丢番图的墓志铭里包含一个有趣的一元一次方程问题： 过路人！这儿埋葬着丢番图，他生命的六分之一是童年；再过了一生的十二分之一后，他开始长胡须；又过了一生的七分之一后他结了婚；婚后五年他有了儿子，但可惜儿子的寿命只有父亲的一半；儿子死后，老人再活了四年就结束了余生.

根据这个墓志铭，请计算出丢番图的寿命.

【解析】设丢番图寿命为x岁，由题意得+++5++4=x，化简这个方程，得+9=x. 解之，得x=84. 就是说，丢番图的寿命是84岁.

2. 怎样合算

小李班里的45个同学在石老师的带领下到一个风景点春游. 他们准备买票时，看见一块牌子上写着：“请游客购票：每张票票价2元；50人或50人以上可以购买团体票，票价按八折优惠. ”很多同学提出：“我们应该怎样买票比较合算？”石老师说：“这个问题问得好，看谁能计算出来. ”

【解析】买46张个人票应付钱：2×46=92（元）. 买50张团体票应付钱：2×50×80%=80（元）. 买团体票比买个人票少付：92-80=12（元）. 所以，应该买团体票.

3. 分苹果

秋天到了，小猴征征种的苹果都成熟了，他挑了最好的苹果装在6个箱子中，准备送给好朋友童童和欣欣，6个箱子中分别装有11、12、14、16、17、20个苹果. 因为童童小，吃东西少一些，所以他准备只把1/3的苹果分给童童，其余的分给欣欣，箱子不能拆分，你知道征征是怎么分的吗？

【解析】6个箱子中共有苹果11+12+14+16+17+20=90（个），所以童童应分苹果90×=30（个）. 因为14+16=30（个），所以应该把装有14、16个苹果的两箱苹果分给童童，其余的分给欣欣.

4. 谁将取胜

第三届动物运动会上，老虎和狮子在1 200米的长跑比赛中成绩相同. 为最后决出胜负，裁判老猴让老虎和狮子举行附加赛. 这两头猛兽最后赛的是百米来回跑，共计200米远. 老虎每跨一步为2米，狮子一步为3米，但老虎每跨三步，狮子却只能跨两步.

据以上的“情报”，你能提前判断出谁将取胜吗？

【解析】老虎跨三步，跑2×3=6（米）；狮子跨两步，跑3×2=6（米）. 所以老虎和狮子跑的速度是一样的. 但老虎正好以五十步跑完100米，而狮子则在跑到99米之处后还须再跨一步，到达102米处，然后往回跑. 这样，狮子比老虎要多跑4米，故老虎取胜.

5. 学生的编号

某学校为每个学生编号，设定末尾用1表示男生，用2表示女生；199713321表示“1997年入学的一年级三班的32号同学，该同学是男生”，那么，199532012表示的学生是哪一年入学的，几年级几班的，学号是多少，是男生还是女生？

【解析】199532012表示的学生是1995年入学的三年级二班的，学号是1号，该生是女生.

小结：解决趣味数学问题的方法很多，下面总结一些常用方法：

1. 函数思想： 把某一数学问题用函数表示出来，并且利用函数探究这个问题的一般规律.这是最基本、最常用的数学方法.

2. 数形结合思想： 把代数和几何相结合，例如对几何问题用代数方法解答，对代数问题用几何方法解答，这种方法在解析几何里最常用.

3. 分类讨论思想： 当一个问题因为某种量的情况不同而有可能引起问题的结果不同时，需要对这个量的各种情况进行分类讨论.

例 今天，数学老师给兴趣小组带来了一道趣题.他给每个同学发了一张方格纸，说道：“发给大家的纸横竖都有8个方格，是共有64个方格的方格纸，请在这64个方格内随意填上64个各不相同的但都不超过100的正整数.”大家照老师的话做了.老师接着说：“现在请找出每一行中的最大的数，再在这8个最大的数中找出最小的，不妨记为m；类似地，找出每一列中的最小的数，再在8个最小的数中找出最大的，不妨记为n.你们各人得到的m彼此是不同的，各人得到的n也是不同的.若比较同一个人得到的m和n，除去个别同学会得到m=n以外，大部分都是m≠n.现在，请大家考虑一下：在所有这些不相等的m和n之间，m和n是否有同一个大小关系？也就是说，会不会对某些人是m>n，而对另一些人是m

同学们都开始紧张地思索，你也想一想吧.

答：如果m和n是同一个方格中的数，则m=n.

如果m≠n，则m与n是两个不同方格中的数，这两个不同方格彼此的位置关系有且仅有三种可能：

（1） m和n所在的方格位于同一行，由于m是该行中最大的数，故m>n；

（2） m和n所在的方格位于同一列，由于n是该列中最小的数，故m>n；

（3） m和n所在的方格既不同行也不同列，设与m同行与n同列的数为p，则由m、p同行知m>p，p、n同列知p>n，所以m>n.

于是，只要m≠n，则必定m>n.

4. 方程思想：当一个问题可能与某个方程建立关联时，可以构造方程并对方程的性质进行研究以解决这个问题.例如证明柯西不等式的时候，就可以把柯西不等式转化成一个二次方程的判别式.

例 鸡兔同笼是中国古代的数学名题之一.大约在1500年前，《孙子算经》中就记载了这个有趣的问题.书中是这样叙述的：“今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？”这四句话的意思是：有若干只鸡兔同在一个笼子里，从上面数，有35个头，从下面数，有94只脚.问笼中各有几只鸡和兔？

答：（1） 假设法

假设全是鸡：2×35=70（条）

鸡脚比总脚数少：94-70=24 （条）

少算的脚数：4-2=2（条）

兔：24÷2=12 （只）

鸡：35-12=23（只）

假设法（通俗）

假设鸡和兔子都抬起一只脚，笼中站立的脚：94-35=59（只）

然后再抬起一只脚，这时候鸡两只脚都抬起来就摔倒了，只剩下用两只脚站立的兔子，站立脚：59-35=24（只）

兔：24÷2=12（只）

鸡：35-12=23（只）

假设全是兔：4×35=140（条）

如果假设全是兔，那么兔脚比总数多：140-94=46（条）

多算的脚数：4-2=2（条）

鸡：46÷2=23（只）

兔：35-23=12（只）

（2） 方程法

一元一次方程

解：设兔有x只，则鸡有（35-x）只.

4x+2（35-x）=94，x=12

鸡：35-12=23（只）

答：兔子有12只，鸡有23只.

（3） 抬腿法

方法一：假如让鸡抬起一只脚，兔子抬起2只脚，还有94÷2=47（只）脚.笼子里的兔就比鸡的脚数多1，这时，脚与头的总数之差47-35=12，就是兔子的只数.

方法二：假如鸡与兔子都抬起两只脚，还剩下94-35×2=24（只）脚，这时鸡是屁股坐在地上，地上只有兔子的脚，而且每只兔子有两只脚在地上，所以有24÷2=12（只）兔子，就有35-12=23（只）鸡.

方法三：我们可以先让兔子都抬起2只脚，那么就有35×2=70（只）脚，脚数和原来差94-70=24（只），这些都是每只兔子抬起2只脚导致，一共抬起24只脚，用24÷2得到兔子有12只，用35-12得到鸡有23只.

5. 概率统计思想：概率统计思想是指通过概率统计解决一些实际问题.

6. 归纳类比思想：利用归纳类比思想可以对某种相类似的问题进行研究而得出它们的共同点，从而得出解决这些问题的一般方法.

7. 转化归纳思想：转化归纳思想是把一个较复杂问题转化为另一个较简单的问题并且对其方法进行归纳.

（作者单位：江苏省如皋市实验初级中学）