求解恒不等式中参数的取值范围

张建军

摘 要： 有关恒不等式中参数的取值范围问题，常常涉及函数与不等式等诸多知识，综合性强，解法灵活，在高考题中多有体现.如何巧妙快速求解此类题，从是否分离变量的角度看，有函数一体化与参变分离法；从是否需要分情况讨论的角度看，有整体情况分析推演与分情况讨论法.

关键词： 恒不等式 函数一体化 参变分离

有关恒不等式中参数的取值范围问题，能够联通函数与不等式等诸多知识，综合性强，解法灵活，在高考题中多有体现.求解恒不等式中参数的取值范围，关键是要利用好相关函数值域区间的非无穷大端点值（即函数的最值或“类最值”）或其单调性.求解的方法，从是否分离变量的角度看，有函数一体化与参变分离法；从是否需要分情况讨论的角度看，有整体情况分析推演与分情况讨论法.在整体情况分析推演法中，最常用的是利用函数值域区间的非无穷大端点值求解.在分情况讨论法中，①可按不等式恒成立的要求分情况讨论分析推演，然后对各情况下的结果求交或归并；②可对参数的某些情况验证不等式恒成立（有时可结合必要性引路，充分性验证），对另外一些情况举反例说明或运用反证法证明不等式不恒成立（有时可证明不等式恒不成立），由此筛选归并出参数的取值范围.此时，如果可求得使恒不等式中等号成立时自变量的值，则此“临界值”及以该临界值为端点的一个区间上函数的单调性或许就是问题的突破口，可以试探之.当然，也可组合利用方法①、②求解.

例1.已知当|m|≤2时，mx -2x-m+1<0恒成立，求x的取值范围.

解：令f（m）=mx -2x-m+1=（x -1）m-（2x-1）.按函数一体化方法处理，得x -1≥0f（m） =f（2）<0或x -1<0f（m） =f（-2）<0，则1≤x< ，或

故x的取值范围为（ ， ）.

例2.已知不等式|x+a|+|x-2|≤|x-6|的解集包含区间[1，2]，求实数m的取值范围.

解：不等式|x+a|+|x-2|≤|x-6|的解集包含区间[1，2]，就是当x∈[1，2]时，不等式|x+a|+（2-x）≤6-x，即-4≤x+a≤4恒成立.按函数一体化方法处理，有（x+a） =1+a≥-4，（x+a） =2+a≤4，-5≤a≤2.所以实数m的取值范围为[-5，2].

例3.已知不等式3ax +6ax-1≤0对x∈R恒成立，求实数a的取值范围.

简解：原不等式就是3ax（x+2）≤1，参变分离，并按x（x+2）的符号分情况讨论，得

（1）当x（x+2）>0时，a≤ ，由 ∈（0，+∞），得a≤0；

（2）当x（x+2）=0时，a∈R；

（3）当x（x+2）<0时，a≥ ，由 ∈（-∞，- ]，得a≥- .

对以上各情况下的结果求交，得实数a的取值范围为（-∞，0]∩R∩[- ，+∞）=[- ，0].

例4.已知奇函数f（x）在R上单调递增，是否存在t∈R，使不等式f（x-t）+f（x -t ）≥0对一切x∈R都成立.

解：若存在这样的t∈R，则f（x -t ）≥-f（x-t）=f（t-x），即x -t ≥t-x对一切x∈R都成立，参变分离，得t +t≤x +x，所以t +t≤（x +x） =- ，即（t+ ） ≤0，t=- .故存在t=- ，使不等式f（x-t）+f（x -t ）≥0对一切x∈R都成立.

例5.已知关于x的不等式log x>x 在（0， ）内恒成立，求实数m的取值范围.

解：f（x）=log x-x ->0在（0， ）内恒成立.

当0f（ ），则log -（ ） ≥0，解得 ≤m<1；

当m>1时，对于x∈（0， ），恒有log x<0，x >0，从而f（x）>0不成立.

综上，m的取值范围为[ ，1）.

例6.已知函数f（x）=x（e -1）-mx ，当x≥0时，f（x）≥0恒成立，求实数m的取值范围.

思路一：f（x）=x（e -mx-1）.令g（x）=e -mx-1，则当x≥0时，g（x）≥0恒成立.又g（0）=0（临界值），g′（x）=e -m.

对g（x）按函数一体化方法处理：注意到e ≥1，按是否有m>1，分两种情况讨论求解.

方法一（按不等式恒成立的要求分情况讨论后归并）：（1）若m≤1，则当x>0时，g′（x）>0，所以，g（x）为[0，+∞）上的增函数，由此应有g（x） =g（0）=0≥0，则m≤1.（2）若m>1，则lnm>0.当x∈（0，lnm）时，g′（x）<0，g（x）单调递减，当x∈（lnm，+∞）时，g′（x）>0，g（x）单调递增，从而，当x≥0时，应有g（x） =g（lnm）=m-m -1≥0，m∈？覫.

归并（1），（2）的结果，得实数m的取值范围为（-∞，1]∪=（-∞，1].

方法二（对参数m分情况验证不等式恒成立和举反例说明不等式不恒成立，由此筛选得出参数的取值范围）：（1）若m≤1，易知g（x）在[0，+∞）上为增函数，则当x≥0时，g（x）≥g（0）=0，f（x）≥0.（2）若m>1，则g′（x）>0对x∈（0，+∞）不恒成立，于是可构造使g（x）<0的例证：

当x∈（0，lnm）时，g′（x）<0，则在（0，lnm）内，g（x）单调递减，g（x）

从情况（1），（2）的结果，筛选得实数m的取值范围为（-∞，1].

思路二：（1）当x=0时，f（x）=0，则m∈R.

（2）当x>0时，由f（x）=x（e -1）-mx ≥0，参变分离，得m≤ .

令k（x）= ，则k′（x）= ，令h（x）=（x-1）e +1，由h′（x）=xe >0，得h（x）在（0，+∞）上为增函数，h（x）>h（0）=0，则k′（x）>0，所以k（x）在（0，+∞）上为增函数，又由 k（x）= e =1，得k（x）>1，从而，当x>0时，m≤1.

对情况（1），（2）的结果求交，得当x≥0时，实数m的取值范围为R∩（-∞，1]=（-∞，1].

例7.在函数f（x）=alnx-（1+a）x+ x 的定义域内，已知f（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围.

解：由f′（x）= ，按函数一体化方法，并将分情况讨论法的措施①、②结合起来对参数m分情况讨论，有：

（1）若a≤0，则在（0，1）上，f（x）单调递减；在（1，+∞）上， f（x）单调递增，从而，在（0，+∞）上，f（x） =f（1）=- -a≥0，解得a≤- .

（2）若a>0，由f（1）=- -a<0，得f（x）≥0在（0，+∞）上不恒成立.

从情况（1），（2）的结果，筛选得所求a的取值范围为（-∞，- ].

注：在情形（2）中，难以找到使f（x）=0的临界值，因而所举反例具有一定的试探性.反例f（1）<0最简明；由当x→0 时，f（x）→-∞，也可在x∈（0，1）时，举出f（x）<0的较一般性反例或其他具体反例，如f（ ）=-aln2-aln2- a- <0等；如以f（a）<0为反例，又需分01两种情况，其推演较繁难.

上面介绍了含参不等式中恒成立问题的几种解法，在解题中要灵活应用题设条件综合分析，选择适当方法准确而快速地解题.

参考文献：

[1]丁智成.例说恒成立条件下不等式参数的取值范围.

[2]商爱平.例析求恒成立不等式中参变量取值范围的方法.