构建数学模型解析一元一次方程应用题

陆喜芳

初中阶段的应用题，总是令学生特别头疼。对于七年级的学生来说，用方程解决问题无疑是第一学年的难点。根据多年的教学经验，在解决常规应用题时，我采用构建数学模型的方法进行分析，以此提高学生的解题能力。以下是我在教授一元一次方程的应用时经常采用的分析方法，与大家共同探讨。

一、线段分析法

有些应用题可以用构建线段模型的方法，直观地找到题中的等量关系，从而更容易地利用方程解决问题。

如行程问题之相遇问题：

A、B两地相距1260千米，慢车以50千米/小时的速度从A地出发，同时一列快车以70千米/小时的速度从B地出发相向而行，两车经过多长时间在途中相遇？

分析：

图中最粗线表示慢车相遇前的行程，较粗线表示快车相遇前的行程，细线表示A、B两地间的距离，即快慢车的初距离。由图可得等量关系：慢车行程+快车行程=初距离。

上题拓展：

A、B两地相距1260千米，慢车以50千米/小时的速度从A地出发，同时一列快车以70千米/小时的速度从B地出发相向而行，经过多长时间两车相距60千米？

分析：

图中虚线表示两车间的距离60千米，由图可以看出，此题有两种情况，发生在相遇前和相遇后：

情况I等量关系：慢车行程+快车行程=初距离-60千米

情况II等量关系：慢车行程+快车行程=初距离+60千米

如行程问题之追及问题：

A、B两地相距1260千米，慢车以50千米/小时的速度从A地出发，同时一列快车以70千米/小时的速度从B地出发同向而行，经过多长时间快车追上慢车？

分析：

由图可得等量关系：快车行程-慢车行程=初距离

如分配问题之余缺问题：

隔墙听得客分银，不知人数不知银；七两分之多四两，九两分之少半斤。请同学们想想有几人，几两银？（1斤=16两）

分析：首先考虑设x人还是设x两银子？若设银子则表示人数时会出现分数，故权衡下来设人数简单。故设有x人。

图中细线表示总银两，最粗线表示分法1所需的银两，较粗线表示分法2所需的银两，由图可得等量关系：分法1所分银两+4两=分法2所分银两-8两。

二、射线分析法

对于分段收费的题型，构建射线模型有利于用代数式表示各种情况下的费用。

如生活常见题：

某种出租车的收费标准为：起步价为10元，即行驶不超过3千米需付10元车费；超过3千米后每增加1千米，加收1.8元（不足1千米按1千米计）。若苗苗乘坐这种出租车从甲地到乙地共支付车费19元，求甲地到乙地的距离。

分析：设甲乙两地相距x千米，由费用可知x>10，图中粗线表示3千米，细线部分表示超过3千米的部分。

等量关系：3千米费用+超过部分费用=19元

上题拓展：

为增强市民的节水意识，某市对居民用水实行“阶梯收费”：规定每户每月不超过月用水标准部分的水价为1.5元/吨，超过月用水标准量部分的水价为2.5元/吨。该市小明家5月份用水12吨，交水费20元。请问：该市规定的每户月用水标准量是多少吨？

分析：该市规定的每户月用水标准量是x吨，由于费用20元用水12吨，平均每吨费用>1.5元，可得x<12。

等量关系：标准用水部分水费+超过标准部分水费=20元

上题延伸：

中国现行的个人所得税法自2011年9月1日起施行，其中规定个人所得税纳税办法如下：

一、以个人每月工资收入额减去3500元后的余额作为其每月应纳税所得额。

二、个人所得税纳税率如下：个人每月应纳税所得及所对应的纳税税率分别为：不超过1500元的部分，税率为3%；超过1500元至4500元部分，税率为10%；超过4500元至9000元的部分，税率为20%……超过80000元的部分为45%。

（1）若甲、乙两人的每月工资收入额分别为4000元和6000元，请分别求出甲、乙两人每月应缴纳的个人所得税；

（2）若丙每月缴纳的个人所得税为95元，则丙每月工资收入额应为多少？

分析：这题显然是分段收费问题中的“战斗机”，纳税的层次较多，分析时容易出错且容易让学生感到烦躁。这一类的题目作为考试题时，第2小题的得分率会偏低，现在我们试着构建射线模型来分析。

由图，个人所得税为95元，则每月应纳税所得额介于1500元到4500元之间，设每月应纳税所得额为x元，前1500元纳税45元，超过部分（x-1500）元纳税10%（x-1500）元，列方程即可。

利用射线模型，面对如此琐碎的分段收费难题，我们也能清晰地理清收费标准，罗列出每个关键点的费用，从而有一个明显的着手点解决问题。

三、列表分析法

对于调配问题的应用题，我们可以列表格帮助分析。如：

温州和杭州某厂同时生产某种型号的机器若干台，温州厂可支援外地10台，杭州厂可支援外地4台。现在决定给武汉8台，南昌6台。每台机器的运费为：温州厂到南昌是4百元每台，到武汉8百元每台；杭州厂到南昌3百元每台，到武汉是5百元每台。设杭州运往南昌的机器为x台。若总运费为8400元，则杭州运往南昌的机器应为多少台？

分析：要解决这一问题，我们既要关注调配机器的台数，又要关注调配机器运输的费用，故可列如下表格。

完成上表，题目也就迎刃而解了。

总之，应用题包罗万象，分析方法不胜枚举。构建数学模型分析并解决一元一次方程的应用题，简单说就是在学生精读题目的前提下，将题中的信息进行整合，使信息直观清晰地展现在模型中，便于确定各种量之间的关系，找到解题思路，提高学生解题能力。