注重模型变式的“植树问题”教学探索

林霞

2014年的人教版教材把原来四年级下的“植树问题”移到了五年级上册，原因是四年级下的学生接受“植树问题”太困难了。“植树问题”真有那么难吗？笔者先对学生的原有认知进行了梳理，发现在一年级下册教材中就出现了有关“间隔”的问题。新教材安排在第12页中：我们一共有10个男生，老师让相邻两个男生之间站一个女生。一共可以站进多少个女生？又在学习“9的乘法口诀”后的练习二（第82页）中安排了一道“已知相邻两棵树之间长度与棵数，求总长度”的题，原教材也都有相应的习题。从这两道题可以看出，教材对两端都栽的植树问题中“棵数”与“间隔数”的关系早已有渗透，四年级的学生对“棵数-1=间隔数”已深有体会，而对数量关系式“间隔数×间隔长度=总长度”的理解就是乘法意义的基础了。同样，“总长度÷间隔长度=间隔数”也只是除法中“包含除”含义的拓展运用。通过调查测试，笔者发现，已知相邻两棵树之间长度与棵数求总长度及每个间隔的长度的准确率是100%，已知总长度求棵数的准确率也高达91.5%，错误的4个学生中有2个学生是认为“两端都栽”就要用间隔数加两端的2棵求出总棵数，另2个学生则是不加也不减，直接算出间隔数就以为是树的棵数。

基于以上分析，笔者将“植树问题”第一课时设计如下。

一、直观引入，唤起旧知

师出示图：

引导学生说出从图中获得的信息，并试着提出一个数学问题。对于二年级下册学习“9的乘法口诀”时练习中的这张图，学生能清楚说出“每两棵树之间相隔5米”“从第一棵到最后一棵共有多少米”。学生解决问题，反馈发现，学生不但能正确列式，还能清楚说出每一个算式所表示的意思，很自然地说出“棵数-1=间隔数”。这在每一次的试教中学生都能出色完成。

二、探究新知，建立模型

1. 学习例1

题目：同学们要在长100米的小路一边栽树（两端都栽），一共要准备多少棵树苗？

（1）学生读题，发现缺少信息。补上：每隔5米栽一棵。这一环节没有直接给出全部信息，增加了学生的思考性，使学生进一步认识了植树问题的结构。

（2）理解题意，“两端都栽”是什么意思？通过对题意的理解，扫清障碍，有利于学生尝试解决。

（3）尝试解答。这是个具有挑战性的学习任务，通过学生的独立思考、尝试探究，有利于培养学生主动探究学习的精神与能力。

（4）验证。你有什么办法能验证自己的办法是正确的？引导学生先尝试后验证，这是个解决数学问题常用的思维方式，经常让学生这样做，自然就成了习惯。

预设方法一：画图。学生可能会画图如下：

师追问：能清楚地看出有几棵吗？引导学生说出化繁为简的解题策略。（“化繁为简”的策略在数学学习中经常会用到，如计算器计算“111111111×111111111=？”、运算定律的探索等都可以渗透这种思想）

先画两个简单数据的图，然后列式计算；再给出数据35米，要求学生不画图，直接计算得出结果。这样，通过一些较小数据和直观形象的图示来验证自己的办法是否正确，同时也完成了植树问题的模型建立。

预设方法二：把算出来的21棵树当作信息，算一算小路总长是不是100米。这是个思维水平较高的验证方法，如有学生想到，则以课件呈现直观图，帮助中下生理解此验证方法的意思。

2. 研究“棵数”与“间隔数”的关系

解决植树问题需要注意什么？引导学生说出搞清“棵数”与“间隔数”的关系是解决植树问题的关键。

学生解决了两个问题后，对植树问题已有进一步感知，此时，帮助学生理清“棵数”与“间隔数”的关系显得特别有必要。引导学生用圆点表示树，用线段表示相邻两棵树之间的间隔，画图观察。指名用圆形磁铁和磁性小棒摆出两端都栽的情形：

你有办法能让别人一眼看出是棵数多还是间隔数多吗？引导学生用“一一对应”的方法去比较棵数与间隔数：

从而得出棵数与间隔数的关系：

3. 举例

学生举例，师课件演示。

借助电线杆、路灯理解“两端都架设”与“两边都安装”的意思。借助彩旗图进一步明白“棵数”与“间隔数”的关系。为解决基本的植树问题扫除文字方面的障碍，有利于学生正确解决相应的问题。

三、巩固新知，拓展提高

1. 应用练习

一方面巩固植树问题的模型，另一方面开始作模型变式，促使学生灵活运用所建立的植树问题模型思想解决生活中的实际问题，体会数学的应用性。

（1）工人们在架设电线杆（两端都架设），相邻两根间的距离是50米。在总长3500米的笔直马路上，一共要架设多少根电线杆？

各自练习，以选择题形式反馈。选项分别为：①69；②70；③71；④142。完成练习后师追问：如果要使“④142”成为正确选项，信息可以怎么改？充分利用已有素材作变式练习，提高学生的思考能力。

（2）路桥客运西站从早上6：00 开始发车，每10分钟发出一辆，到7：00止共发出几辆车？（请画图表示发车情况）

学生投影反馈，解释自己所画图的意思。此题贴近学生的生活实际，用画图的形式能表达自己的思考结果，特别能体会到与植树问题的相通之处。

2. 小结

从解决刚才这两个问题中，你获得了哪些经验？引导学生说出“虽然这两道题没有在植树，但解决问题的方法和植树问题是一样的”。注重解题方法的总结，对学生的数学学习是有很大帮助的。

3.拓展练习

在四年级下册第三单元“运算定律”教学中，教材编排了两道基本的等差数列求和的习题：①1+2+3+4+…+99+100；②2+4+6+…+16+18+20。这两道题的项数比较容易求，运用加法交换律和结合律，再结合“配对求和”的方法不难求出和。而在一般的等差数列求和中，学生最难掌握的往往是求数列的项数，如14+17+20+…+83+86+89这个数列，有多少个数相加是不容易得知的。如果引导学生把植树问题（两端都栽）求棵数的方法迁移到等差数列求项数中来，那么求项数不就有了表象的依托吗？由此，笔者把等差数列求项数也与植树问题求棵数沟通起来，从而帮助学生理解求项数的方法，此时植树问题的模型发挥出了它最高的应用价值。

（1）快速抢答：下面这个数列中共有几个数？

1，2，3 … 99，100 （ ）个数

2，4，6 … 98，100 （ ）个数

（2）思考：数列15，20，25 … 75，80，85中有几个数？

引导学生把这个问题与植树问题建立联系再解决：每次加5，相当于相邻两棵树之间相隔5米，15与85的总差相当于第一棵树到最后一棵树的总长度，那么求数的个数的方法就和求树的棵数是一样的。

在学生完成求个数后，师追问：求出数列的项数有什么用？（可以求和，也可以解决实际问题，自然引出电影院算座位的问题）

4.机动题

（根据教学时间及学生基础确定这道题是否呈现以及如何解决）

某电影院的一个影厅每一排都比前一排多2个座位，文文数了第一排有16个座位，最后一排有36个座位，这个影厅的座位有几排？这个影厅共有多少个座位？

引出这道题，能促使学生进一步感受植树问题的广泛应用性，体会学习数学的价值。

四、回顾总结，方法提升

回顾这节课，我们学习了两端都栽的植树问题，借助植树问题的方法，还解决了电线杆问题、发车问题和等差数列求项数问题，真正做到了触类旁通，举一隅以三隅反！

此教学设计在前不久的课堂教学中得以展示，学生在充分经历与感受了植树问题的模型建立与模型变式后，有一位学生在总结经验时还发出了“植树问题只是个幌子嘛”的感悟。这节课以两端都栽这一个模型思想贯穿始终，学生的潜在能力也得以充分展现，取得了非常好的教学效果。

（注：作者系朱乐平数学名师工作站“一课研究”组成员）

（浙江省台州市路桥小学 318000）