“图形的认识”中常见错误例析

杭静

下面是收集的同学们在完成中考试题中有关图形的认识这方面的错误，你出现过吗？希望你能从这些错误中汲取教训，提高免疫力，不犯或少犯类似错误.

一、 概念不清

例1 （2014·广西桂林）下列命题中，是真命题的是（ ）.

A. 等腰三角形都相似

B. 等边三角形都相似

C. 锐角三角形都相似

D. 直角三角形都相似

【错解】选A或D.

【分析】错解没有理解三角形相似的条件，误认为等腰三角形或直角三角形一定相似.其实，等腰三角形的顶角和底角不一定对应相等，所以命题A是假命题；任何等边三角形的每个内角都是60°，所以等边三角形都相似，命题B是真命题；锐角三角形中的三个内角都小于90°，但不一定对应相等，所以命题C是假命题；直角三角形的直角对应相等，但两组锐角不一定对应相等，所以命题D也是假命题.

【正解】选B.

【点评】本题考查命题的判定和相似三角形的判定，解题的关键是找出选项中假命题的反例，然后确定真命题. 判断一个命题是真命题要给出证明，假命题只要举出反例.

二、 审题不细

【点评】本题考查了扇形弧长的计算，解题的关键是掌握扇形的弧长公式和准确理解扇形周长的含义. 利用弧长公式进行计算一般有三种类型：①已知r、n，代入公式直接求l；②已知n，l，代入公式借助方程求r；③已知r，l，代入公式借助方程求n.

三、 弄错前提

例3 （2014·广东汕尾）如图1，能判定EB∥AC的条件是（ ）.

A. ∠C=∠ABE

B. ∠A=∠EBD

C. ∠C=∠ABC

D. ∠A=∠ABE

【错解】选A、B、C.

【分析】要判定EB∥AC，就必须找出由直线EB、AC被第三条直线CD所截形成的同位角或内错角或同旁内角.错解是由于找不准与要证的两条平行直线有关的同位角、内错角、同旁内角造成的.

【正解】要判定EB∥AC，必须找出满足判定定理的前提条件，即同位角相等或内错角相等或同旁内角互补.选项A和B中的角不是三线八角中的角，选项C中的角是同一三角形中的角，故不能判定两直线平行. 选项D中内错角∠A=∠ABE，则EB∥AC，故选D.

【点评】本题考查了平行线的判定，解题的关键是正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角. 在复杂的图形中具有相等关系的两角首先要判断它们是否同位角或内错角，被判断平行的两直线是否“三线八角”而产生的被截直线.

四、 思考不周

例4 （2014·江苏宿迁）如图2，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=8，AD=3，BC=4，点P为AB边上一动点，若△PAD与△PBC是相似三角形，则满足条件的点P的个数是（ ）.

【点评】本题考查了圆柱的侧面展开图和最短路径，解题的关键是要能将立体图形转化为平面图形.这类问题常常可以归结为求路径最短的问题，解题时可画出侧面展开图形，再利用勾股定理来求解.

六、 推理混乱

例6 （2014·江苏淮安）如图5，在三角形纸片ABC中，AD平分∠BAC，将△ABC折叠，使点A与点D重合，展开后折痕分别交AB、AC于点E、F，连接DE、DF. 求证：四边形AEDF是菱形.

【错解】连接EF交AD于点O.

∵AD平分∠BAC，

∴∠BAD=∠CAD.

又∵EF⊥AD，∴∠AOE=∠AOF=90°.

在△AEO和△AFO中，

∵∠EAO=∠FAO，AO=AO，∠AOE=∠AOF，

∴△AEO≌△AFO（ASA），

∴EO=FO，即EF、AD相互平分，

∴四边形AEDF是平行四边形，

∴DE=AF，DF=AE. 又AE=DE，AF=DF，∴AE=DE=AF=DF，四边形AEDF是菱形.

【分析】要证明四边形AEDF是菱形，思路有两种：一种是先证明四边形AEDF是平行四边形，再证明它的一组邻边相等（由折叠知已具备）或证明它的对角线垂直即可；二是证明四边形AEDF的四边都相等. 错解推理思路混乱，在证明了四边形AEDF是平行四边形后，又证明四边形AEDF的四边都相等，使解题过程变得十分复杂.

【正解】方法1：连接EF交AD于点O. ∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD.

又∵EF⊥AD，∴∠AOE=∠AOF=90°.

在△AEO和△AFO中，∵∠EAO=∠FAO，AO=AO，∠AOE=∠AOF，∴△AEO≌△AFO（ASA），∴EO=FO，即EF、AD相互平分，∴四边形AEDF是平行四边形. 又AE=ED，∴平行四边形AEDF为菱形.

方法2：同方法1有四边形AEDF是平行四边形. 又EF⊥AD，∴平行四边形AEDF为菱形.

方法3：连接EF交AD于点O.

∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD.

又∵EF⊥AD，∴∠AOE=∠AOF=90°.

在△AEO和△AFO中，∵∠EAO=∠FAO，AO=AO，∠AOE=∠AOF，∴△AEO≌△AFO（ASA），∴AE=AF. 又AE=DE，AF=DF，∴AE=DE=AF=DF，四边形AEDF是菱形.

【点评】本题的证明方法很多，请你再给出两种证明方法，并与你的同伴进行交流.

（作者单位：江苏省兴化市第一中学）