巧用数学思想 提高解题效率

李成军

方程（组）与不等式（组）是初中数学的基础知识，也是每年中考必考的内容. 题目的呈现方式比较多，其中包含了一些重要的数学思想方法，为同学们的解题提供了一定的思考空间. 下面以几道近年来的中考题为例，谈谈如何巧用数学思想解决方程（组）和不等式（组）中的问题，供同学们复习时参考.

一、 整体思想

例1 （2014·内蒙古呼和浩特）已知m、n是方程x2+2x-5=0的两个实数根，则m2-mn+3m+n=______.

【分析】本题可以通过解一元二次方程x2+2x-5=0得到m和n的值，然后代入代数式求值. 由于m和n的值都带根号，代入计算时，较麻烦. 如果我们仔细观察所求代数式的特点，将3m转换为m+2m，便可把代数式变形为m2+2m-mn+m+n，然后利用方程的根的意义和根与系数的关系，便可以整体代入，从而达到简便计算的目的.

解：因为m是方程x2+2x-5=0的实数根，所以m2+2m-5=0，即m2+2m=5，又因为m+n=-2，mn=-5，所以m2-mn+3m+n=m2+2m-mn+m+n=5-（-5）+（-2）=8.

例2 （2013·湖北鄂州）若关于x，y的二元一次方程组3x+y=1+a，x+3y=3的解满足x+y<2，则a的取值范围为______.

【点评】解决此类问题时，要善于观察，通过适当的转化，充分利用整体思想进行巧解.

二、 数形结合思想

【分析】本题可以先分别求出各不等式的解集，得到不等式组的解集，再根据解集中恰有三个整数解，得出关于a的不等式，进而求出a的取值范围. 此题在得到不等式组的解集后，如能利用数轴分析解集中的整数解，从而确定a的取值范围，则既准确直观，又可以提高解题的效率.

【分析】此题在解不等式组得出两个不等式的解集后，根据不等式组的解集的确定方法“小大大小中间找”，可以求出a的取值范围. 但有些同学可能在通过不等式组有解去确定a的取值范围时有困难，如果能通过数轴去分析，利用数形结合的思想，会更直观简便.

解：两个不等式的解集分别为x-37，∴a>-36.

【点评】此类通过不等式组的条件求相关字母的取值范围的问题，通常可以借助数轴，利用数形结合的数学思想进行转化，达到巧解的目的.

三、 分类讨论思想

例5 （2014·山东潍坊）等腰三角形一条边的长为3，它的另两条边的长是关于x的一元二次方程x2-12x+k=0的两个根，则k的值是（ ）.

A. 27 B. 36

C. 27或36 D. 18

【分析】由于等腰三角形的边有腰和底之分，所以题中给出边长为3的一条边不确定是腰还是底，因此要进行分类讨论.

解：当边长为3的边是底时，另两条边是腰应该相等，即方程有两个相等的实数根，根据b2-4ac=（-12）2-4k=0，得k=36，此时方程的两根是x1=x2=6，即三边为3、6、6，符合题意；当边长为3的边是腰时，则它的另两条边中有一条边长为腰等于3，即方程有一个根是3，∴32-12×3+k=0，从而求出k=27，x2-12x+27=（x-3）（x-9）=0，此时三数为3、3、9，不构成三角形，因此不符合题意. 所以k的值为36.

【点评】分类讨论后的结果要看是否符合题中的条件.

【分析】把此分式方程转化为整式方程（a-1）x=2 后，原分式方程无解的情况可能是方程出现增根x=2，也有可能是所化成的整式方程（a-1）x=2本身无解，因此要进行讨论.

解：方程两边同时乘x-2，得：ax=4+x-2，化简，得：（a-1）x=2. 若原方程无解，则有两种情形：①当a-1=0，即a=1时，原分式方程无解；②方程（a-1）x=2的解恰好是原分式方程的增根x=2，代入得a=2. 因此a的值为1或2.

【点评】增根不适合分式方程，但是满足并来源于整式方程，将增根代入整式方程成立. 同时要注意理解分式方程无解和有增根的区别和联系，特别是不要忘记考虑分式方程转化成的整式方程本身无解的情况.

（作者单位：江苏省丰县初级中学）