关于麦克斯韦方程组教学研究探讨

田硕 丁佩

摘    要： 本文对麦克斯韦方程组教学进行研究探讨，对其诞生的背景、形式、推导、理解等情况进行分析，并阐述了其物理内涵和物理学史的意义，讨论了麦克斯韦方程组教学中注意的问题，分析了其建立过程对我们的启迪意义。

关键词： 麦克斯韦方程组    电磁场    散度    旋度    电磁波

麦克斯韦方程组是电磁学中的基本物理公式，是整个电磁学大厦的基石。这在电磁学、电动力学等大学物理基础课程里都有深入的讲解，但还有不少同学对麦克斯韦方程组的理解不够深刻，不能熟练利用其解决电磁学问题。笔者结合多年教学经验和科研工作的体会，从教学内容，教学方法及应用等方面给出了麦克斯韦方程组研究性教学的体会。

一、了解麦克斯韦方程组诞生的背景

麦克斯韦方程组是英国物理学家麦克斯韦总结电磁场基本规律的一组方程，是19世纪物理学领域最瞩目的科学成果之一，虽然历史赋予麦克斯韦完成这一科学历史使命，但从整个科学界的发展环境来看，麦克斯韦方程组的诞生也具有历史发展的必然性。库仑定律、毕奥—萨伐尔定律、安培定律、欧姆定律及法拉第电磁感应定律的相继建立，并表明电磁学各个局部的规律已经发现，同时意味着建立普遍的电磁理论，对各种电磁现象提供统一解释的条件已经成熟。此外，在关于电磁作用的机制和本质解释上，超距说和近距说有过激烈的斗争和交锋，但最终以麦克斯韦和法拉第为代表的近距说，能更好地解释实验事实，并最终导致了近距作用的电磁理论——麦克斯韦电磁场理论的诞生，而麦克斯韦方程组就是麦克斯韦理论中的重要部分。1864年12月8日，麦克斯韦在英国皇家学会宣读了关于电磁场理论的总结性论文《电磁学动力学理论》，并于1865年在英国《皇家学会学报》上发表。在该论文的第三部分“电磁场的普遍方程组”中，第一次提出了麦克斯韦方程组，这是该论文的核心和主要成果。

二、掌握麦克斯韦方程组在不同情况下的形式

麦克斯韦方程组是指下列的一组方程组：

（1）真空情况下

上面第一组方程反映了电荷电流激发电磁场及电磁场内部的运动规律，上面第二组方程表示的是，不存在自由电荷和电流，电磁场的相互激发，通常称作无源麦氏方程组。

（2）介质中的麦克斯韦方程组

很明显可以证明，真空中麦克斯韦方程只是介质中麦克斯韦方程的特殊形式。

（3）麦克斯韦方程的积分形式

以介质中麦克斯韦方程为例：

（4）介质表面的麦克斯韦方程——边值关系：

三、关于麦克斯韦方程组的最初推演过程

麦克斯韦在《电磁学动力学理论》中建立的电磁场普遍方程组，是用直角坐标分量形式给出的，共20个标量方程，其中包括20个变量（标量），它与教科书中的麦克斯韦方程很接近，只是它是以标量形式表示的，并且给出了8组方程，但这个方程显得很繁杂，写成矢量形式更简洁，即下面8个方程：

可以指出，（2）式是磁场高斯定理，（1）和（3）是安培环路定理，（4）是电磁感应定律，（7）式是电场中的高斯定理，（5）、（6）=μ分别描述介质极化、导电、磁化性质，（8）是电荷守恒规律。经过公式的综合和推理，进一步简化即可得麦克斯韦方程现在的形式。

此外，根据能量原理和近距原理，根据库仑定律和洛伦兹变换、根据变分原理也可以从不同角度建立麦克斯韦方程式，大家可以参阅相关参考书。

三、关于麦克斯韦方程组的理解

麦克斯韦方程由四个方程组成，每个方程的物理意义都很明确，其不包括电流连续性方程，是因为该方程可以由方程中的另外两个方程导出。根据亥姆霍兹定理，矢量场的旋度和散度都表示矢量场的源，所以麦克斯韦方程表明了电磁场和它们的源之间的全部关系，即除了真实电流外，变化的电场（位移电流）也是磁场的源;除电荷外，变化的磁场也是电场的源。麦克斯韦方程组是宏观电磁现象的总规律，静电场和恒定磁场的基本方程都是麦克斯韦方程的特例。电磁理论的研究对象通常包括两个物质场，即电磁场和带电电流场，两者之间存在相互作用，麦克斯韦方程组就是电磁场的演化（运动）方程组，通过求解麦克斯韦方程组的微分方程，可以得到许多解都表示以光速传播的波动方程，称为电磁波，这也表明光是一种电磁波，进而把光学和电磁学统一起来，正是麦克斯韦最早最敏锐地发现了这一点。麦克斯韦方程组不仅揭示了电磁场的运动规律，更揭示了电磁场可以独立于电荷之外而存在，这样就加深了我们对电磁场物质性的认识。

四、麦克斯韦方程组教学过程中要注意的一些问题

在麦克斯韦方程和介质方程的教学中，还有一些值得注意的问题，容易引起困惑和误解，需要进一步地分析、说明和解释。

1.建立麦克斯韦方程组，提供了一个很好机会，系统回顾比较静电场、涡旋电场、恒定磁场，变化电场产生的磁场的性质和特质，认清异同，有助于理解方程中各量的含义与适用范围。更重要的是，由于电磁场的内在联系，使各方程整合成麦克斯韦方程组，不仅描绘了电磁场的性质，更成了电磁场运动变化所遵循的规律，实现了质的飞跃。

2.介质方程的建立，提供了全面考察电磁场与实物相互作用的机会，可以详尽讨论电荷的划分、电流的划分，准确阐述感应、极化、磁化及线性介质的含义，使学生得到比较全面的认识。

3.电位移与磁场强度的理解，知道它们的引入是为了消除麦克斯韦方程中未知或无法测量的极化电荷、磁化电流或极化电流。如果自由电荷和传导电流中也包括未知的部分，就涉及场源的分解方式是否唯一，以及不同分解方式下怎样重建麦克斯韦方程的问题。

五、麦克斯韦方程的建立过程带给我们的启迪

以麦克斯韦方程为标志的电磁场理论，形式简洁，内容广泛，影响深远，物理思想极其深刻。作为重要的教学内容，适当地进行物理思想和研究方法的教育是必要的。从麦克斯韦方程的建立过程，我们可以得到以下启示：

1.寻求联系，发现规律，揭示本质，建立统一理论。无论牛顿对天与地的统一，麦克斯韦理论对电、磁、光的统一，以及以后的爱因斯坦狭义相对论将电磁学与力学实现统一，都标志物理学发展的历史，就是在不断地寻求共性，寻求统一的过程。

2.善用类比方法。麦克斯韦通过电磁场与流速场的类比研究，并引入了电力线的概念，引入了流体力学里的通量与环流，从而打开了局面，澄清了思想，取得了有效进展。

3.渊博的学识、深刻的洞察力和严谨精确的表达。渊博的学识、深刻的洞察力和严谨精确的表达是一位优秀伟大的物理学家所要具备的素质，而麦克斯韦正是这些优秀素质的综合体现者。能够发现电磁学局部理论之间的联系，需要知识和洞察力，而麦克斯韦方程式的严谨和精确是物理学趋于成熟的重要标志，也是麦克斯韦对物理规律的深刻理解和数学能力的重要体现。

4.和谐意境。自然界是一个相互关联、相互制约的和谐整体，描述自然界基本规律的物理理论，也应该是和谐的。麦克斯韦方程就体现处一种对称美、和谐美、简洁美，也是自然界和谐意境的重要体现。

六、麦克斯韦电磁场理论的历史意义

麦克斯韦电磁场理论是一个完整的理论体系，不仅对电磁学领域已有的研究成果作了很好的总结，而且为进一步的研究提供了理论基础，从而迎来了电磁学全面蓬勃发展的新时期。麦克斯韦电磁场理论的建立开辟了许多新的研究课题和方向，如通讯、广播、电视事业的发展，材料电磁性质的研究等，对技术进步和文化生活繁荣起了重要作用。

光的电磁理论是麦克斯韦电磁场理论的重大成果，实现了光学与电磁学的统一。麦克斯韦电磁场理论的历史意义还在于引起了物理实在观念的深刻变革，电磁场是一种不同于实物粒子的客观存在，对人类的世界观和物质观加深了认识，同时印证了电磁作用的近距观点，电磁作用变化遵循麦克斯韦方程，非接触的电磁物体之间，以电磁场传递电磁作用，传递是需要时间的，即是近距的。

当然，麦克斯韦的电磁场观念还不够彻底，它没有摆脱以太观点的影响，在一定程度上还有机械论的色彩，同时，麦克斯韦方程、伽利略变换、相对性原理三者不能共存，直接导致了狭义相对论的诞生。

总之，麦克斯韦方程组的教学是大学物理、电磁学、电动力学等学科教学中的重要部分，本文对麦克斯韦方程组的诞生、形式、教学注意事项、理解、物理意义及历史意义分别进行了探讨，希望能给教育一线的同行有所启示。

参考文献：

[1]陈秉乾，舒幼生，胡望雨.电磁学专题研究[M].北京：高等教育出版社，2003.

[2]谢处方，饶克瑾.电磁场与电磁波[M].北京：高等教育出版社，2004.

[3]梁灿彬.电磁学[M].北京：高等教育出版社，2012.

[4]郭硕鸿.电动力学[M].北京：高等教育出版社，1998.