数字变化引发的思考

余婷婷

摘    要： 数学的学习离不开数字，数字是学习数学的基础。教学中经常会通过不改变题意，只改变数字大小出题考查学生，以此了解学生对某个知识点的掌握情况。然而有些情况下，数字大小的变化，会让情况发生不同的变化。

关键词： 数字变化    次品    次数

有些情况下，数字的变化会使解题变复杂，如从35÷7变成36÷7，计算量变大了;有些情况下数字的变化会使解题思路发生变化，如一个长8m，宽5m，高2m的水池中注满水，然后把两条长3m，宽2m，高1m的石柱放入池中，水池溢出水的体积是多少？把石柱高改成5m，解题思路就要发生改变。所以数学上很多题目并不是随意改变数字大小就可以的，还要结合题意。

数学广角“找次品”的内容在新旧人教版小学数学教材中都出现了，然而在数字编排上却有所不同。

2005人教版（文中称为旧人教版）：

例1：这里有5瓶钙片，其中1瓶少了3片，设法把它找出来。

例2：有一些零件里有1个次品（次品重一些），用天平秤，至少称几次就一定能找出次品来？（咱们从9个零件开始试验吧！）

2015人教版（文中称为新人教版）：

例1：有3瓶钙片，其中1瓶少了3片。你能设法把它找出来吗？

例2：8个零件里有1个是次品（次品重一些）。假如用天平秤，至少称几次能保证找出次品？

从对比中可以看出，旧人教版例题给出的数字是5和9，而新人教版例题给出的数字是3和8，看似简单的两个数字变化，却让我在教学设计过程中产生了以下思考。

一、数字“3”是探究的起点

旧人教版例1给的是数字“5”，首次探究就给出5瓶，学生可能会出现这几种情况：（1，1，1，1，1）、（1，1，3）和（2，2，1）。这些情况分析稍复杂，不便于学生初步理解“找次品”的含义。新人教版例1给的数字“3”出现的情况只有（1，1，1）一种，让学生从最简单的问题入手，分析思路清晰，易于学生初步感知用天平“找次品”的基本思路。

5瓶中找一个次品，出现的三种情况：（1，1，1，1，1）、（1，1，3）、（2，2，1），都是至少称两次才能保证找出次品，这样无规律的尝试会让学生感觉不管用什么方法都能得出一样的答案，致使学生没有寻找最优化方法的意识。在分析（1，1，3）这种情况的时候，如果天平平衡，次品在剩下的3个零件中，那么我们也要分析从“3个零件中找一个次品”的过程。所以笔者认为直接从数字“3”入手，思路清晰，便于理解和感知。

二、数字“8”是探究的突破口

不论是8个零件、5个零件还是9个零件中有一个是次品都是至少需要称2次才能保证找出次品，然而从“8个零件中找一个次品”是探究的突破口。

1.“8个零件中找一个次品”，放手让学生自己动手探究，学生会出现（1，1，1，1，1，1，1，1）、（2，2，2，2）、（4，4）和（3，3，2）等情况，这些情况分的份数不一样，学生探究后发现保证找出次品称的次数也有所不同。由此通过对比发现（3，3，2）用的次数最少，并与例1中3瓶的分法（1，1，1）结合起来分析，发现旁边要有待测物品的时候用的次数最少，再让学生思考：“为什么有待测物品的时候用到次数最少呢？”即如果天平平衡时，次品在待测物品中;如果天平不平衡，次品在轻的那一边，那么待测物品就是正品。可见待测物品在旁边是有起到作用的，由此加深学生对分成3份的理解。

2.8个零件是偶数，学生在探究中会出现（4，4）分成两份的情况，而旧人教版中的5和9都是奇数，不可能会出现平均分成两份的情况，这样学生的认知就少了一种可能性的冲突。后面遇到总数是偶数的时候，或许就有学生会认为：我是不是平均分成两份，份数越少次数就越少呢？

3.通过“8个零件中找一个次品”对比中感知分成3份能保证找出次品用的次数最少，进而让学生用分成3份的方法找“9个零件中有一个次品”的情况。学生通常会出现（4，4，1）、（2，2，5）和（3，3，3），从不同结果对比中发现，（3，3，3）用的次数最少，由此引导学生发现，分成3份也不是随便分的，而是要平均分。通过思考为什么要平均分？让学生理解平均分是为了使每一份分得的数量最少。再次对比8个零件的（3，3，2）与9个零件的（3，3，3），追问：“如果像8个零件这样不能平均分怎么办？”让学生发现如果不能平均分的就要尽量平均分——使得多的一份与少的一份只相差1。再次让学生思考为什么会使“多的一份与少的一份只相差1”？从整数除法中可知，除数是3的余数只能是1或2，如果余数是1就让待测物品多1，如果余数是2就让天平两边各多1，这样就能使多的一份比少的一份只相差1。如果没有8个零件这个环节，直接过渡到9个零件，学生没有对比和分析，就不容易理解“尽量平均分”的含义。

4.为什么不选择用数字“6”或“7”作为探究的突破口呢？数字“6”也有（1，1，1，1，1，1）、（1，1，4）、（2，2，2，）和（3，3）这几种情况，然而数字“6”分成三份是平均分，与数字“9”的情况类似，不能出现“尽量平均分”的情况。而数字“7”是奇数，在分的过程中没有出现平均分成两份的情况，不利于学生对比分析。

5.那么数字“10”是不是也很适合呢？既满足是偶数，又有不能平均分的情况。我们不要忘了我们现在是在寻找一种最优的“找次品”的方法，探究问题通常是要“化繁为简”，有个更小更适合的数字8，又何必要用数字10呢？从简单数据入手，是数学上常用的一种研究问题的方法。

一个看不起眼的数字变化，却让我在教学设计过程中产生了这么多的思考。数字作为数学学习的基础，鞭策我们数学老师在平时的教学中慎用数字，不能轻易改变数字的大小;巧用数字，让数字成为孩子学好数学的阶梯;妙用数字，激发孩子学习数学的兴趣。让我们一起努力，成为尊重数学、重视数字的合格的数学老师。