浅析函数在某点处的极限及其在该点的连续性、可导性的判断

何冬梅

摘    要： 极限、连续、导数是高等数学的重要章节，也是高等数学的奠基石，而高等数学是大学很多专业的必修课.所以，极限、连续、导数的概念的教学显得尤为重要，但在教学过程中，作者发现学生对于判断或证明函数在某点处的极限是否存在，在某点处是否连续及是否可导时，很是纠结，往往含糊不清.本文针对此问题作了阐述，希望能给学生有所启发.

关键词： 函数    极限    连续    可导

一、学生在学习高等数学的相关内容中遇到的问题

在判断一函数在某点处的极限是否存在及在该点处是否连续或可导的问题时，学生往往很纠结，经常混为一谈，甚至会出现指鹿为马的现象.

二、如何处理好学生所遇到的相关问题

要想避免把三个不同的问题混为一谈，就必须弄清以下两个充要条件和一个必要条件及导数的定义.

1.函数f（x）当x→x 时极限存在的充要条件是左极限、右极限存在且相等，即

f（x）=A？圳 f（x）= f（x）=A

注：当左、右极限都存在，但不相等，或者二者至少有一个条件不存在时，就可以断言函数f（x）在x 处的极限不存在.

2.函数f（x）在点x 处连续的充要条件是函数在该点处的左、右极限存在、相等且等于该点处的函数值，即函数f（x）在点x 处连续？圳 f（x）= f（x）=f（x ）.

注：当函数在点x 存在下列三种情形之一：

（1）在x=x 处无定义;

（2）在x=x 处有定义，但 f（x）不存在;

（3）在x=x 处有定义，且 存在，但 f（x）≠f（x ），则函数f（x）在点x 处不连续.

3.函数y=f（x）在点x 处可导的必要条件是：f（x）在点x 处的左、右导数存在且相等，即f′ （x ）=f′ （x ）.

4.导数的定义

设函数y=f（x）在点x 的某一领域内有定义，如果极限

=  存在，则称此极限为函数y=f（x）在点x 处的导数，记作

f′（x ）或y′| ，即：

f′（x ）=  =

此时也称函数f（x）在点x 处可导;若极限不存在，则称函数f（x）在点x 处不可导或导数不存在.

例1：设函数

f（x）=x·sin     x>01    x=0x     x<0

判断函数f（x）在x=0处的极限是否存在及函数在x=0处是否连续？

解：因为 f（x）= x =0， f（x）= x·sin =0

即 f（x）= f（x）=0，故函数f（x）在x=0处的极限存在.

又因为f（0）=1，即： f（x）= f（x）≠f（0），故函数f（x）在x=0处不连续.

例2：选择适当的a、b值，使函数

f（x）=2x        x≤1ax+b    x>1在点x=1处既连续又可导.

解： f（x）= 2x =2， f（x）= （ax+b）=a+b

因f（x）在点x=1处连续，即： f（x）= f（x）=f（1）

故a+b=2

f′ （1）=  =  = 2（x+1）=4

f′ （1）=  =  = a=a

因f（x）在x=1处可导，即f′ （1）=f′ （1）

故a=4，于是b=-2.

所以，当a=4，b=-2时，函数f（x）在x=1处既连续又可导.

例3：判断函数

f（x）=x +1    x≤22x+3    x>2在x=2处的极限是否存在，且在x=2处是否连续、可导？

解：因 f（x）= （x +1）=5， f（x）= （2x+3）=7

即 f（x）≠ f（x）

故函数在x=2处的极限不存在，从而函数在x=2处也不连续.

因f′ （2）=  =  =  =4

f′ （2）=  =  =2

即f′ （2）≠f′ （2）

故函数f（x）在x=2处不可导.

三、结论

一般地，判断函数在某点处的极限是否存在或在该点处是否连续，所讨论的函数都是分段函数，因为一切基本初等函数、初等函数在其定义域内都是连续的，而分段函数一般不是初等函数.

综上所述，要做到能熟练解决以上所提到的问题，不至于将三者混淆起来，只需明确三者之间的共同点都是求极限的问题，而连续的条件比极限存在的条件要多加强一个，不能把只要满足了左、右极限存在且相等就看成是函数在该点处连续.判断函数在某点处是否可导，只需看是否满足左、右导数是否存在且相等即可.

参考文献：

[1]姚孟臣.大学文科高等数学.高教出版社，2010.5.

[2]薛桂兰.高等数学学习指导.高教出版社，2005.6.

[3]沈聪.高等数学.首都经济贸易大学出版社，2010.5.

[4]同济大学应用数学系.高等数学.高教出版社，2008.4.