高职院校中常微分方程求解的教学设计

钱志良

摘    要： 高职院校《高等数学》中的常微分方程既是学生感到比较困难，又是应用比较广泛的十分重要的内容.为了解决这一矛盾，在教学设计时必须做到：概念要清、分类要准、思路要明、方法要活、过程要全，在此基础上使学生形成一个整体框架，从而真正领悟常微分方程.

关键词： 概念    分类    思路    方法    过程

1.概念要讲清

任何一门学科都会有新的概念，从而再产生新的知识，如果学生对新的概念一知半解，那么就很难学好和掌握新的知识，因此在讲解《常微分方程》时务必将概念讲清、讲透，有些概念始终贯穿整个《常微分方程》，必须重点讲解.

必须重点讲清、讲透的概念：微分方程中的未知量（自变量）、未知函数、未知函数的导数、微分方程的阶数、微分方程的通解、微分方程的特解、线性性等.

2.分类要准

不同类型的方程其解法是各不相同的，同样不同的微分方程的解法也是不同的，因此教会学生正确分类便是教学设计时要注意的问题，也是正确求解微分方程的关键之一.那么如何讲解微分方程的分类呢？要求学生遵循一看“阶数”，二看“次数”的步骤.具体来说，就是首先判别出微分方程的“阶数”（微分方程中的最高导数是几阶），再看是否为线性（未知函数及未知函数的导数的次数都是一次的，且没有y·y′这样的混合项），是否是齐次的，其系数是否为常数等.现举例说明如下：如果是一阶微分方程，则优先看是否符合线性性，因为在判别是否符合线性性时，不必对原方程作恒等变形，仅看未知函数及未知函数的导数的次数是否都是一次的.如果不满足线性性，再接着判断是否是可分离变量的微分方程.教会学生遵循这样的流程，有助于学生掌握判别方法，从而正确确定方程的类型.

3.思路要明

教学中一定要强调“求解微分方程时必须首先判别出方程的类型，然后再确定其求解方法”这样一个思路，并养成这样一个习惯，如果不遵循这样的思路必将走弯路，甚至找不到求解方法.具体解法归纳如下：

（1）一阶微分方程的解法

①可分离变量的微分方程：M（x）N（y）dy=M （x）N （y）dx，解法是先分离变量，再两边积分.

②一阶齐次线性微分方程：y′+P（x）y=0，利用公式y=Ce 进行求解.

③一阶非齐次线性微分方程：y′+P（x）y=Q（x），利用公式y=e [Q（x）e dx+C]进行求解.

（2）二阶常系数线性微分方程的解法

①二阶常系数齐次线性微分方程：y″+py′+qy=0，先写出特征方程，求出特征根，根据特征根的不同情况，写出方程的通解.

②二阶常系数非齐次线性微分方程：y″+p（x）y′+q（x）y= f（x），先写出特征方程，求出特征根，写出对应的齐次微分方程的通解Y（x），然后利用待定系数法求出原方程的一个特解y （x），最后写出原方程的解y=Y（x）+y （x）.

例：求微分方程y″+y′=2x -3的通解.

分析：该方程是二阶常系数非齐次线性微分方程

求解：写出特征方程：r +r=0

求出特征根r =-1，r =0.

从而Y（x）=C +C e

利用待定系数法求原方程的一个特解.

设y （x）=x（Ax +Bx+C）=Ax +Bx +Cx

则y ′（x）=3Ax +2BX+C，y ″（x）=6Ax+2B，

代入方程得3Ax +（6A+2B）x+2B+C=2x -3

比较系数可知：3A=26A+2B=02B+C=-3？圯A= B=-2C=1

所以所求的特解为y （x）= x -2x +x.

从而原方程的通解为：y=Y（x）+y （x）=C +C e + x -2x +x.

4.方法要活

例如求微分方程（y -6x） +2y=0满足条件y| =1的特解，首先该方程是一阶的，如果将y作为未知函数，则不满足“线性”性，因为出现y ，但是如果将x作为未知函数，则又满足“线性”性，从而可将原方程改写为

- x=- ，P （y）=- ，Q （y）=- .

从而通解为

x=e [Q （y）e dy+C]=e [（- ）e dy+C]

=e [（- ）e dy+C]=y [（- ）y dy+C]=Cy + y .

将条件y| =1代入上式，得C= .方程的特解为x= y （y+1）.

从此例可以发现，微分方程中将哪个字母定义为“自变量”，哪个字母定义为“未知函数”是可以根据需要来定的，因此要具体问题具体分析，灵活运用.

5.过程要全

完整的解答过程能够体现出完整的思维过程，因此教学中在要求学生规范解题过程的同时，也要养成书写完整的良好习惯.