高考数学新定义型试题赏析

张汉宇

2015年全国高考数学新定义型试题异彩纷呈，主要体现在新定义的概念，引入新的符号和定义新的运算.这些题在全面考查学生的数学知识、方法及数学思想的基础上，还着力考查学生的创新研究能力与学习潜力等综合素质.本文对高考新定义型试题的三种题型进行解析，揭秘其解题策略.

一、定义新的概念

例1.（2015湖北，理6）已知符号函数sgnx=1，x>0，0，x=0，-1，x<0.f（x）是R上的增函数，g（x）=f（x）-f（ax）（a>1），则（        ）

A.sgn[g（x）]=sgnx             B.sgn[g（x）]=-sgnx

C.sgn[g（x）]=sgn[f（x）]    D.sgn[g（x）]=-sgn[f（x）]

解析：不妨令f（x）=x+1，a=2，则g（x）=f（x）-f（2x）=-x，则sgn[g（x）]=sgn（-x），排除A;sgn[f（x）]=sgn（x+1）是把x+1与0比较，排除C，D，故选B.

赏析：此题选自高等数学中“符号函数”编拟适合高中生的试题，体现了高等数学与中学数学的和谐美.以高等数学知识为背景，定义一个新函数，要求学生深刻理解新函数的内涵及本质，并能合理迁移运用已学的知识加以解决.此类问题较好地考查了学生的知识迁移能力、转化能力，开发了学生探究性学习的潜能，是备受高考命题者青睐的题型，例如2009年湖南理科第8题，2008年湖南文科第15题.

二、引入新的符号

例2.（2015山东，文14）定义运算“？茚”：x？茚y=x，y∈R，xy≠0）.当x>0，y>0时，x？茚y+（2y）？茚x的最小值为？摇  ？摇？摇？摇.

解析：由已知定义可得x？茚y+（2y）？茚x=+=+，利用基本不等式可得x？茚y+（2y）？茚x的最小值为，当且仅当x=y时等号成立.

赏析：在高考试题中引入新的符号，通过定义一种新的运算，考查学生的自学能力和探究能力，而这类题目给中学教师一种启发，就是在实际教学中要注意培养学生的独立思考能力及自主探索的能力.

三、定义新的运算

例3.（2015福建卷，理15）一个二元码是由和组成的数字串x，x…x（n∈N），其中x（k=1，2，…，n）称为第k位元码.二元码是通信中常用的码，但在通信过程中有时会发生元码错误（即元码由0变为1，或由1变为0）.

已知某种二元码xx…x的元码满足如下校验方程组：

x？茌x？茌x？茌x=0，x？茌x？茌x？茌x=0，x？茌x？茌x？茌x=0

其中运算定义为：0？茌0=0，0？茌1=1，1？茌0=1，1？茌1=0.

现已知一个这种二元码在通信过程中仅在第k为发生码元错误后变成了1101101，那么利用上述校验方程组可判定k等于？摇？摇？摇  ？摇.

解析：将代入校验方程组依次验证，发现x有误，即k=5.

赏析：本题所定义的运算法则实质上是计算机中的二进制运算，引导学生关注生活，注重应用意识，掌握计算机知识已成为现代公民的基本素养，对于新运算应该紧扣新运算法则，通过推导判断，从而获得正确的结论.定义一种新的运算，运用新的运算法则展开计算，考查學生现学现用的能力，体现了高考命题指出的“由知识立意向能力立意过渡”的指导思想.2008陕西理科第12题，2011湖南理科第16题均涉及二进制.

解题策略：

首先要对新定义型试题进行信息提取，明确新定义的符号和名称;

其次仔细品味新定义的概念，运算法则，对新定义型试题所提取出的信息进行加工，探求解决方法，必要时可寻找相近知识点，然后明确他们的共同点及不同点;

最后对新定义型试题中提出的知识进行转换，有效的输出，其中对定义信息中的提取和化归转化是解此类题的关键，也是解题的难点.