常微分方程数值方法在运动问题中的应用

巨进化

摘 要： 针对常微分方程组的解的存在唯一性定理，本文提出了Lipschitz常数的确定方法.将推导出的三阶Runge-Kutta公式应用于一维直线运动中速度的计算，分析了步长的变化及待定参数的变化对整体误差的影响.对于二维曲线运动的情形，先用解的存在唯一性定理进行解的判断，再用三阶Runge-Kutta方法进行求解，实验结果与实际相符.

关键词： 解的存在唯一性定理 Lipschitz常数 Runge-Kutta方法 整体误差

1.引言

空中飞行的物体在运动时会受到重力与空气阻力的作用，通过受力分析我们可以建立相应的常微分方程初值问题.但事实上对于某些情况，比如当物体曲线运动时，很难获得速度关于时间的解析表达式.此时我们希望通过寻找高效的数值方法，从而找到尽可能符合实际的近似值.因此研究常微分方程初值问题的数值方法十分重要.

常微分方程数值解可采用导数化差商的方法，数值积分法，以及Taylor展开法，通过不同的途径所得结果大体一样.比如显示Euler方法、改进的Euler方法、Runge-Kutta方法[1]等.

本文研究了常微分方程组的解的存在唯一性定理在运动问题中的应用，利用三阶Runge-Kutta方法对运动问题进行数值实验，通过误差分析，证明了该方法的有效性.

2.常微分方程组的解的存在唯一性定理

在常微分方程不能用初等方法求出它的通解时，一方面，我们应确定该方程是否有解，如果没有解，数值方法的求解将毫无意义.另一方面，如果有解，解是否唯一；如果不唯一，求解是不明确的.下面的解的存在唯一性定理给出了判断依据.

2.1定理描述

5.结语

本文将常微分方程组的解的存在唯一性定理及Runge-Kutta数值方法应用于运动问题的计算，取得了较准确的结果，如何根据具体问题调整待定参数以获得较小的误差没有特定规律，需要做进一步研究.

参考文献：

[1]张平文，李铁军.数值分析.北京：北京大学出版社，2007.

[2]王高雄，周之铭，朱思铭，王寿松.常微分方程.北京：高等教育出版社，2006.