正弦稳态电路的分析为何选择复数法

张立新

(江苏省如皋高等师范学校)

0 引言

交流电是人类智慧的创造发明，人创有序运动与自然界有序运动一样蕴含着数学关系.交流电动势、电压、电流均用正弦函数表示，描述电路的基本定律是基尔霍夫方程.第一定律指出:流进与流出节点的电流代数和等于零，数学形式即是对正弦函数的电流求和.第二定律表述是:沿任意回路的电动势和电压的代数和等于零，对应数学形式就是对正弦函数的电动势和电压求和.显然三角函数的方法应该是交流电路的主体数学工具.但是，为什么求解正弦稳态电路的基尔霍夫方程时，一般不选择三角函数法也不选择旋转矢量法而选择复数法.

1 三角函数法与正弦交流电路

在寻找交流电路的数学工具的过程中，人们肯定不会首先考虑旋转矢量法与复数法.交流电是时间的正弦函数，优先考虑的应该是直接运用三角函数计算.

首先看正弦函数的加法.设交流电频率恒定，当两条支路电流汇合到总路时需要对正弦函数求和，现令

运用三角函数有关公式可求出总电流

其中电流有效值由下式确定

电流的初相位由正弦或余弦函数确定

显然两个同频率正弦电流相加之后，结果仍然是相同频率的正弦函数，仅幅值与初相角发生了变化，该规律可推广到若干个正弦函数的迭加.由于电源电动势、电流电压都是正弦函数，所以基尔霍夫定律可以用正弦函数的迭加表述如下

关键是运用第二定律计算时，各元件电压需要以元件的瞬时伏安关系式来代入，且这种伏安关系不能通过三角函数的加减乘除等运算来反映，必须采用微积分方法来描述.其中电阻的伏安关系式是

电感的伏安关系式为di

电容的伏安关系式是

根据元件伏安式可列出第二定律的微分方程.通常将上述第一第二定律组成的方程组称为“时域”方程组.可见，所谓“三角函数法”准确地说应该是——“三角函数运算+微分积分运算+求解微分－积分方程组”的综合数学方法.

微分－积分方程的解函数是暂态解与稳态解之和.暂态解(通解)表示电路刚接通电源而未到达稳定状态的过渡电流函数，它由齐次方程求出，再用初始条件确定待定常数.暂态解的特点是:随着时间的推移，电流按指数规律衰减最终归于0.稳态解(特解)表示电路接通电源一定时间后电路进入稳态的电流函数，稳态解由非齐次方程确定，一般根据方程右端的函数类型去猜想特解的函数.对正弦稳态电路而言其特解仍然是正弦函数，采用待定系数法可以确定稳态解的有效值与初相角.

总之，就理论而言三角函数法完全能够与交流电路建立全面而系统的数学联系，是求解正弦交流电路的所谓“正宗”数学工具.交流电路的暂态解与稳态解理论上都可通过微分–积分方程组解出.但求解微分－积分方程的过程非常复杂，即使放弃暂态解仅求稳态解，从微分方程来确定各正弦量的幅值与初相角还是非常困难.因此，求解正弦稳态电路最终没有选择“三角函数法”.

2 旋转矢量法与正弦稳态电路

求解微分方程的繁琐促使人们去寻找较为简便的数学方法.为解决问题方便人们将暂态过程与稳态过程分开考虑，专门研究电路的稳态解.一般说来工频交流电路的频率不变，可用有效值与相位两个物理量来描述交流电.联想到平面矢量也包含两个要素:大小和方向，那么是否可以用矢量替代正弦函数呢?

科学家正是沿着这样的思路做了探索.人们用矢量的“长度”表示正弦量的有效值，用矢量的“方向角”表示正弦量的相位(ωt+φ)，这样的矢量是长度不变且匀速转动的所谓——“旋转矢量”.不难理解:旋转矢量在t时刻向y轴的投影恰好就是正弦函数;旋转矢量在t=0时刻的方向角就是正弦函数的初相角.若将两个电流用旋转矢量表示，由于它们以相同的角速度旋转，它们之间保持相对静止.因此计算两个旋转矢量的合成时，可用t=0时各个矢量的初相位代替相位，求出结果后再还原成(ωt+φ)形式.

现在证明:频率恒定时正弦函数加法与旋转矢量加法具有等价性.如图1所示，根据平行四边形法则总电流矢量为

I=I1+I2

图1 两个电流矢量的加法

矢量的大小由余弦定理给出

矢量的方向角是

根据旋转矢量与正弦量之间的对应关系，将其还原为正弦函数，故总电流是

可见旋转矢量加法(包括减法)与正弦函数加法存在严格的一一对应关系，高等代数称两种元素集合是“同构”关系.于是可用旋转矢量的加减法代替正弦函数的加减法.电源电动势、电流、电压都是正弦函数，它们均可由旋转矢量替代，因此基尔霍夫定律用旋转矢量法表述如下

该表述在数学形式上是正确的，全部的困难在于具体计算.与前面的三角函数法类似，第二定律运用于电路计算时，各电压矢量必须用各元件的伏安关系代入.反映到数学上的困难是:我们不能用矢量代数来表达元件的这种伏安关系!即矢量的标积、矢积、混合积等代数运算规则与这里的交流电路测量实践风马牛不相及.因此，旋转矢量法表述的电路定律仅具有矢量代数形式而不具备矢量代数的本质，这就决定了矢量法有限的实用价值.

对简单的串联并联电路而言，不需要求解基尔霍夫方程组，此时旋转矢量法可以派上用场，具体计算时需要依靠直观的矢量几何图展开.对纯串联电路而言只有单一回路，根据第二定律可画出电压矢量三角形和阻抗三角形;对纯并联电路而言可取一节点作研究对象，并根据第一定律绘出电流矢量三角形和导纳三角形;且标量形式的欧姆定律全部蕴含在矢量图之中.因此这种方法具有鲜明的“矢量图解”特征［1］.矢量的直观性使得目前还有教材介绍该种方法.由于矢量法对复杂电路的无能为力，因此它不能成为交流电路完全彻底的数学工具.专业性较强的电路原理和电工学教材都不选择这种数学方法.

3 复数法与正弦稳态电路

3.1 虚数的起源

有人说在求解二次方程x2+1=0的过程中诞生了虚数.笔者认为这种解释缺乏说服力.就实践方面看，该方程与实际应用无联系，它不能提供任何感性认识来帮助人们理解虚数的存在.从理论方面看，这个简单方程无法使我们从整个复数域的逻辑统一性来理解方程的虚数解，所以在人们对虚数完全无知的情况下，执著地求解这个方程很容易陷入的矛盾困境，而暂时认为该方程无解并不违背既有的实数运算规则.总之，单独的这个二次方程不能使代数学内部产生尖锐的矛盾，因而不能产生足够强大的动力导致虚数的诞生.

然而，在求解三次方程过程中暴露出的实数域的局限性使人们再也无法回避负数开方的问题了.许多数学家对三次方程做了研究，其中以卡丹求根公式最为著名，不妨简要回顾一下卡丹公式推导过程.我们知道三次方程一般形式为

对未知量做适当变换可消去二次项成为

求解这个缺项的三次方程等价于求解一般形式的三次方程.运用纯数技术推导出卡丹公式为

且有

早期，人们还没有建立“复数范围开三次方必有三个方根以及三次方程必有三个解”的清晰概念，可理解卡丹公式表述了三次方程的一个实根，不妨称为“实数域卡丹公式”.然而就在求解这个实根的过程中暴露了实数域的局限性，暴露了因式分解与卡丹公式的数值计算之间存在着逻辑障碍.

现在求解一个具体的三次方程

将原方程分解因式

求得三个实根

人们自然想到用卡丹公式来求解.对于上述三次方程显然有

代入公式求出α和β

这里遇到前所未有的困难:负数需要开平方!当时的数学家大惑不解:为什么用因式分解很容易求解的三次方程用卡丹公式却不可以呢?为何两种方法不能做到殊途同归呢?此时不正视负数开方问题就不能解决代数变换与数值计算之间的尴尬局面.在求解三次方程的尖锐矛盾推动下终于导致虚数诞生，并建立了复数集以及包含复数运算规则的复数域.且卡丹公式表述为［2］

称为“复数域卡丹公式”.其中ω1和ω2是1的三个立方根中的两个

过去，采用因式分解法只能求出那些容易分解因式的三次方程的根，不能求解所有的三次方程.采用“实数域卡丹公式”同样不能尽如人意，实数域施行数值计算会碰到种种限制，所以卡丹公式充其量也只能求解少数方程的实根.复数域建立后，人们终于能够畅通无阻地求解所有三次方程了.在复数范围内，我们继续顺着前面的计算思路求出α和β，并将α与β的数值代入“复数域卡丹公式”得到

至此，因式分解法与卡丹公式法终于到达殊途同归的完美境界.在求解三次方程过程中我们走进了虚数世界和无理数世界，但最终仍回归到有理数世界，得到三个整数解与因式分解的结果完全相同.总之，虚数的诞生首先不是起源于工程技术而是求解三次代数方程的逻辑需要.实践是检验理论的标准，对于纯代数方程来说，所谓实践检验就是将解出的根代入原方程，若左边 =右边，则表明所求方程的根满足逻辑要求.事实上在复数范围内，所求三次方程的三个根均满足:左边 =右边.

确实人为因素.然而从欧拉公式蕴含的几何意义来理解，这个开方真是开出来了:－1=±i它开天辟地的开出了空间一个新维度，这个新维度垂直于实轴被称为虚轴，实轴与虚轴构成了复平面.如果说i表示维度的一个方向，那么－i是它的反方向，显然两个平方根的含义表示诞生了新直线而不是射线.

今天，从人类可实践范畴的认识论历史来理解:由于复数集覆盖了实数集，它理应具有更大的应用范围.但在复数诞生之初，在人们对虚数还存有疑虑甚至排斥的年代，确实难以想象虚数有什么实践应用.

3.2 复数应用于正弦稳态电路

正弦函数与复数的具体变换方法是［3］

其中

上述电流和电压是与时间无关的复常数，其模是正弦量的有效值，幅角是正弦量的初相位，这种用复数表示的正弦量称为“相量”.因正弦量变换成相量后不考虑旋转因子ejωt，所以问题大大简化.复平面上所有相量的相位(ωt+φ)均由初相角φ表示.相量图由各正弦量的有效值和初相角绘出，求出的电流与电压相量后可还原为正弦函数.

数学推导可将交流电路的微分方程组转换为复代数方程组.现在证明:频率恒定时正弦函数加法与复数加法具有等价性.运用复数加法规则计算得到

且有

根据相量与正弦量之间的对应关系，将相量还原为正弦函数，得到总电流是

可见复数加法(包括减法)与正弦函数加法存在严格的一一对应关系，这两种元素集合也是高等代数的所谓“同构”关系.于是可用复数的求和代替正弦函数的求和.因此基尔霍夫定律用复代数方程表述如下

与前面三角函数法和旋转矢量法的情况类似，运用第二定律计算电路时，各元件电压相量需要以伏安关系式代入.可从元件的伏安瞬时表达式推导出对应的伏安相量关系式.

对正弦电流求导

对正弦电流积分

因此元件的瞬时式变换为相量式是

显然电压与电流相量之比得到电阻、复感抗、复容抗.如果研究对象是若干元件组成的无源二端网络，一般定义复阻抗为相量电压与电流之比

该定义不仅是纯理论建构的需要，而且包含着测量实践与理论的和谐统一.变形得到

这就是复数形式的欧姆定律，它反映了正弦稳态电路中具有普遍意义的元件伏安关系.当频率恒定时，元件复阻抗完全决定于元件的二元参数.当频率变化时复阻抗也随之变化，复阻抗成为频率的函数，交流谐振电路中专门研究复阻抗和复导纳随频率的变化规律.人们通常也将复数形式的基尔霍夫方程称为“频域”方程组.总之，对于正弦稳态电路，如果引入复电压、复电流、复阻抗的概念，运用复数基尔霍夫定律加上复数欧姆定律即可方便地求解电路问题.

前面讨论的微分–积分方程组包含了电路的暂态解与稳态解，这里的复代数方程组只能求电路的稳态解.两者比较:微分–积分方程组具有普遍意义而复代数方程组属于特殊性.但这种特殊性是电路长期工作呈现的状态，因此求解稳态电路具有实践应用价值.事实上，求解复代数方程组比求解微分－积分方程组要简单得多.并且复平面的相量图可取代实平面的旋转矢量图.此外，交流电路还用到电导、电纳和导纳等概念，它们都可以用复数相量来定义;而且，交流电路的迭加原理、戴维南定理、诺尔顿定理等都可用复数相量实施计算.

3.3 虚数电学量与测量实践

4结束语

频率恒定时对线性运算而言正弦函数、旋转矢量、复数这三种集合完全等价，高等代数中称为一一对应的“同构”关系.正是同构关系决定了它们都可表述基尔霍夫定律并实施相关电路计算.但三种数学方法中元件的伏安关系式不同:三角函数法中伏安式用微积分表述;旋转矢量法中伏安式用标量欧姆定律表述;复数法中伏安式用复数欧姆定律表述.不同的伏安关系式决定了三种方法的实际应用走向:理论上三角函数法是解决交流电路的正宗数学工具但求解微积分方程十分繁琐;旋转矢量法对复杂电路暴露出局限性;只有复数电路定律在理论计算中显得特别简洁方便，且计算结果与电工测量实践保持统一性.因此正弦稳态电路的数学分析最终选择了复数法.

电路数学原理中后来又引入了复频率概念，电路“暂态过程”的求解也化繁为简:运用拉普拉斯变换同样可将微分方程转换为复数代数方程.如今，近代物理学中复数和复变函数获得了更加广泛的应用.复数与物质世界的密切联系再次表明:虚数不是虚无缥缈的，虚数和复数不仅存在于逻辑思维的数学方程中，而且蕴含在物质的结构与运动秩序之中.

［1］赵凯华，陈熙谋.电磁学:第三版［M］.北京:高等教育出版社，2012.452–457.

［2］李传芳，陈汝作，陈永明.高次方程［M］.上海:上海教育出版社，1979.18–22.

［3］于歆杰，朱桂平，陆文娟.电路原理［M］.北京:清华大学出版社，2010.273–274.