“集合的含义”微课教学设计与评述*

☉重庆市教育科学研究院 张晓斌

☉重庆市渝中区教师进修学院 王跃辉

集合的含义是数学学科中的一个重要而基本的概念，是学生进入高中数学学习的第一个数学概念.教师教学时，常常是采取一个概念加几个注意，接着就是按概念应用的几个步骤进行教学，导致学生不能从本质上认识和理解集合的含义.究其原因主要有四方面：一是教师缺乏必要的数学学科素养，只知道原始概念不能用数学语言加以定义，而不知道描述也是一种概念的定义方式；二是教师对集合概念教学的认识不足，没有真正弄清集合概念在学生学习后继内容中的重要作用；三是教师没有读懂《普通高中数学课程标准》（以下简称《课标》）中“通过实例，了解集合的含义”［1］的要求，教学目标的把握存在问题；四是教师不能从整体上把握中、小学数学教材，只是教教材而不是用教材.为帮助教师弄清《课标》要求，准确把握教学目标，理解教材和“用好”教材，促进教师的过程性教学，使学生从本质上理解集合概念，现仅选取笔者对集合概念教学的一个引入片段，以教学设计的方式给出，同时附上相应的教学评述，希望对大家教学集合的概念有所启迪和帮助.

一、教学内容与内容解析

“集合的含义与表示”是人教A版必修1第一章集合与函数的概念中1.1集合的第一课时，主要包含集合的含义与集合的表示两个内容.［2］

集合是现代数学的基本语言，可以简洁、准确地表达数学内容.在高中数学学习中，集合的初步知识与其他内容有着密切的联系，是学习、掌握和使用数学语言的基础.

集合是一个原始概念，不能用其他数学概念来加以严格定义，而只能用自然语言给予描述和解释，因而它具有高度的抽象性，学生很难对其真正理解和掌握，集合论的应用更是学生学习的难点.中小学数学教材为了解决这些问题，把集合论的知识分成了三个阶段.小学阶段：主要在教材中渗透集合的思想方法，用集合的图示法让学生直观理解相关数学知识，从中体会集合思想方法的作用.初中阶段：在小学对集合的思想方法有了一定的感性认识和应用的基础上，教材进一步向学生介绍一些具体的集合和用集合来定义数学概念，但不涉及集合的意义，让学生接触一些具体的集合.高中阶段：教材在小学和初中的基础上让学生系统地学习集合论的初步知识.这种螺旋式上升的处理方式既考虑了各个阶段学生的年龄特点和心理特征，又考虑了学生的认知水平和认知能力，对于学生理解和掌握集合内容是很有好处的.教材的这种安排方式充分考虑了小初高集合内容的教学衔接，也希望教师在教学集合概念时，要从学生在小学和初中的已有集合经验出发，引导和启发学生获取集合的含义，让学生经历集合概念的逐步抽象概括过程.

根据以上分析可知，本节课的重点是集合概念的形成过程，而难点则是集合概念本身的正确理解.

二、教学目标与目标解析

《课标》对集合概念的要求是：“通过实例，了解集合的含义.”这个要求总体来说包含两方面的内容：一是规定了教师的教与学生的学——以实例进行教学和学习；二是明确了教师的教与学的目标——了解集合的含义.从目标的三个领域来分析其目标“了解集合的含义”的水平和教与学的行为要求可知：知识与技能的水平要求是了解，教与学的行为要求是感知、认识和识别等；过程与方法的水平要求是经历，教与学的行为要求是观察、经历、体验、操作、参与和尝试等；而情感、态度与价值观的水平要求是反应与认同，教与学的行为要求是感受和体会等.于是，根据课堂教学目标三个领域之间的关系，我们可把该部分的教学目标陈述如下：

（1）通过列举生活实际与数学学科中的具体例子认识与识别，知道什么是集合.

（2）引导学生对所举实例进行分析并形成集合的概念，经历集合概念的形成过程，并在这个过程中达成对集合概念的认同，并尝试用自己的语言来描述集合.

三、教学问题诊断分析

1.学生知识结构分析

在小学和初中，学生已经接触过一些集合，对集合的一些思想方法有所了解，并会应用集合的思想方法来理解和解决相应的数学知识与数学问题.例如，小学在讲数的加法时就用了集合的并集思想，在讲数的减法时就用了集合的差集思想，而在讲两数的最小公倍数和最大公约数时则用了集合的交集思想.又如，初中代数中学生接触了一些具体的集合：“自然数的集合”、“有理数的集合”、“不等式解的集合”等，而在平面几何中讲圆的概念和线段的垂直平分线的概念时，都是用集合来定义的.学生的这些知识经验都是为学习集合概念奠定了基础，教学中教师要充分利用好这些有利因素.

2.教学内容诊断分析

教材中所给出的集合概念的描述：“一般地，我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合（简称为集）.”［2］高度概括，过于简洁，学生很难理解.教学时，教师要注意引导学生用自己的语言来描述集合.

3.教师方面的问题诊断分析

通过对过去高一、高二和高三学生的调查，几乎没有一个学生能用自己的语言来描述什么叫做集合.究其原因是教师对集合概念的教学认识不足，教学时没有让学生经历集合概念的抽象概括过程，而是直接给出其概念，然后就讲集合的表示与应用，从而导致学生不能真正理解集合的概念.教学时，教师要从具体的集合例子入手，引导学生对构成集合的对象及其对象所具有的特点进行分析，逐步引导学生获得集合的概念.

四、教学支持条件分析

（1）学生在小学和初中已经接触了一些集合，这些知识经验为集合概念的教学奠定了基础.

（2）根据高一学生的认识水平和思维能力，学生已具备了一定的分析问题和解决问题的能力，以及具备了一定的语言描述能力，这些都是教师引导学生经历集合概念的抽象概括过程的重要保证.

五、教学过程设计

观察与思考：图1和图2是我们小学数学学习中所接触过的，［3］［4］它们分别帮助我们理解和掌握了哪些数学知识？

设计意图与建议：该“观察与思考”旨在通过学生对小学数学中“数的加法”、“数的减法”、“最小公倍数”和“最大公约数”学习时所接触的相关图示引出本节课的课题——集合概念，让学生感受到将要学习的新知识是旧知识的引伸和发展.教学时，当学生做出正确回答之后，教师可直接告知学生，在小学我们学习数的加法、减法、最小公倍数和最大公约数中所用的这些图示实际上蕴含了数学学科中的一种很重要的数学思想与方法——集合思想，从而引出课题.

想一想：在初中数学学习中，我们接触了哪些具体的集合？

设计意图与建议：“观察与思考”只能让学生对集合有一个模糊的感受——它与图示有关，而学生在初中已经具体接触了一些集合，所以设计该“想一想”有两个意图：一是让学生明白集合并不陌生——初中就有所接触；二是通过对初中所接触的具体集合的列举为后面进一步研究集合做好准备工作.教学时，要引导学生把“自然数的集合”、“有理数的集合”、“某个不等式解的集合”、“到一个定点的距离等于定长的点的集合（圆）”、“到一条线段的两个端点距离相等的点的集合（线段的垂直平分线）”等说出来，同时教师把相应的集合也写在黑板上，为后面的进一步研究做准备.

阅读与举例：请大家阅读教材中所列举的8个集合例子，［2］并试着列举生活与学习中的集合例子.

设计意图与建议：该环节的意图主要有：一是让学生了解集合与我们的生活、学习息息相关，无处不与集合打交道，从而使学生认识到研究集合的必要性；二是为研究集合提供大量的素材，以便于对集合进行研究，弄清什么叫做集合；三是让学生学会并自觉地读教材，培养学生的自学能力.教学时，要启发和引导学生大胆地进行举例，并根据学生的回答情况适时地予以补充和完善.

分组讨论：分组方法——同桌两个同学为一组；活动要求——根据组成集合的对象的属性把列举的所有集合进行分类，并思考集合可以由哪些对象组成；交流方式——以小组为单位进行集体交流.

设计意图与建议：从所列举的这些集合中可以看出：属性不同的对象一定不在同一个集合中，而不同集合的对象的属性可以是相同的，这里的属性是指：数、图形、物、…….因此，弄清什么对象可以组成集合就成为研究集合最基本的出发点.为了让学生养成合作学习的习惯和培养学生合作学习的精神，我们设计了这个活动.该环节旨在让学生通过分类的方法，了解组成一个集合的对象可以是世间万事万物.教学时，要让学生知道这里的每一类也构成一个集合，即组成集合的对象还可以是集合，它对学生深刻理解集合概念是很有好处的.

探究：同一集合中的对象有什么特点？试举例说明.

设计意图与建议：通过上面的活动，学生已经知道不同类的集合中的对象其属性是不相同的，并直观感知：尽管同一类中不同集合的对象的属性是相同的，但是不同集合的对象却具有不同的特点.于是，研究“同一个集合中的所有对象有没有一个共同特点”就成为必然，所以在教学中我们设计了这样一个思考题.教学中教师要启发和引导学生大胆地把自己的发现说出来，并会使用例子予以佐证.在我们的教学过程中，学生就给出了如下一些结论：①集合中的所有对象都满足同一个条件；②集合中的所有对象都有相同的特点；③集合中的所有对象都有相同的性质等.

该探究的主要意图是通过“思考”让学生从本质上理解各个集合.因此该环节既是教师引导学生获取集合概念的关键，又是学生用自己的语言来描述集合的基础.

想一想：请大家根据以上结论，思考什么叫做集合？

设计意图与建议：通过上一环节“探究”，学生已经获得了若干个集合特点的结论，并且学生会从中看出所有的结论实质是相同的，只是说法不同.比如，都满足与都有，同一个条件与相同的特点和相同的性质等，只是用了不同的词语来表述，其本质是相同的.而这些结论都反映了集合的本质属性，所以这个“想一想”的出现是很自然的事情.教学时，教师要在启发和引导上下功夫，并让学生大胆地把自己的想法说出来.教学实践表明，只要教师进行恰当的启发和适时的引导，学生完全能够描述什么叫做集合.例如，在我们的教学过程中：

有的学生说：集合是把具有相同条件的所有对象合在一起；

有的学生说：集合是把满足同一条件的所有对象并在一起；

有的学生说：集合是把具有相同特点的所有对象看成一个整体；

有的学生说：集合是把具有相同性质的所有对象集在一起；

……

学生对集合的这些不同的描述也为学生后面学习集合的表示法做好了铺垫.

六、教学设计评述

该教学设计尽管不是一节课的完整设计，而只是关于引出“集合概念”知识的一个片段，但它却抓住了教学中的主要问题.各个环节紧紧围绕“集合概念”这个中心展开，让学生经历了概念的逐步抽象概括过程，弄清了概念的来龙去脉，使学生从本质上理解和把握概念，并初次体会了给数学概念下定义的过程，从而享受了数学学习的乐趣.具体地说有如下几个特点：

1.深刻理解教材，整体把握教材

从教学内容分析可以看出，笔者对中小学数学教材做了认真细致的研究，弄清了教材对集合概念与思想在各个阶段的安排意图，对中小学数学教材从整体上予以把握.正如前面教学内容分析中所述：小学阶段主要渗透集合的思想方法，用集合的图示法让学生直观理解相关数学知识，从中体会集合思想方法的作用.初中阶段向学生介绍一些具体的集合和用集合来定义数学概念，但不涉及集合的意义，使学生对集合有一个比较具体的认识.高中阶段让学生系统地学习集合论的初步知识.

2.目标定位准确，陈述方式合理

通常教师在陈述教学目标时存在三个方面的问题：一是冠以一些空洞的理论，对教学没有实际指导意义；二是把《课标》中的教学要求进行“复制→粘贴”，没有自己的认识与理解；三是把三维目标割裂开来分别阐述，条目多而杂，主要目标不突出.而笔者在确定以上教学目标时，紧紧围绕《课标》的要求，首先，从总体上分析该要求对教师的教与学生的学作了什么规定，然后，从目标的三个领域对该要求从水平要求和教与学的行为方式上进行分析，最后，根据目标的三个领域之间的关系，综合成两条予以表述.目标定位准确，陈述方式合理，既说明了教师的教学行为方式，又明确了学生的学习行为方式，操作性强，对教师进行教学设计和课堂教学都具有实际指导作用.应该说，以上笔者的教学目标解析为广大教师准确确定教学目标提供了一种范例.

3.注重前后联系，关注已有经验

在教学中，笔者在新知的教学过程中，既注重知识的前后联系，又关注了学生的已有知识经验，把小初高的内容串通一气，融为一体，一气呵成，具体表现在两个方面：一是在课题引入时，笔者通过“观察与思考”，让学生了解即将学习的新知识在小学就已经接触和使用过了，并不陌生，这样学生对所学知识就有了一种亲近感，学生学习的兴趣自然就会被激发起来，学生会想，“什么叫做集合呢？”从而使得课题的出现顺理成章.事实上，教学中我们发现有的学生会自然地把圈图与集合联系起来，尽管它是学生对集合的一个朦胧认识，但它为学生后面学习集合的图示法做了铺垫.二是在课题引入之后的“想一想”，让学生对集合有了一个更为具体的直观感知，而相应的具体集合也为后面进一步研究什么叫做集合做好了准备工作.

4.适时设计活动，活动要求具体

笔者在教学中依据《课标》对学生 的学习活动提出了要求，根据具体的“集合概念”知识内容的特点，恰时恰点设计了分组活动.其活动既有分组的方法，又有活动的具体要求，同时还有活动之后又怎么做，活动目标明确.让学生在活动过程中体验数学地研究问题的思路与方法，了解组成一个集合的对象可以是世间万事万物，同时让学生养成合作学习的习惯和培养学生合作学习的精神.

5.精心设计环节，有效促进思考

笔者的教学设计共有6个环节，每个环节都围绕集合概念一环扣一环，后一环节既是前一环节的延伸、发展，又是后一环节的基础，使得每个环节的出现既自然又必要.我们可把这6个环节分为“思考”、“阅读”和“活动”三大类，每一类都在引发学生思考上下功夫.比如，在学生活动的基础上得到“组成集合的对象可以是世间万事万物”和“同一类中不同集合的对象的属性是相同的，但是不同集合的对象却具有不同的特点”的结论之后，我们必须研究同一个集合中的不同对象是否具有相同的特点，所以紧跟了一个探究栏目，而这个探究栏目又是后面研究如何描述集合的基础，并且它需要学生通过一定的思考之后才能给出结论，其思维的强度适中，学生力所能及.

6.渗透思想方法，注重能力培养

笔者在整个教学设计中，紧紧围绕集合概念，让学生从特殊到一般，采用分类讨论，由具体到抽象经历集合概念的逐步抽象概括的全过程.在这个过程中，无论是学生的分析问题和解决问题的能力，还是学生的语言表达能力，以及学生数学地思考问题的能力都得到了较好的培养.尤其是在最后一个环节让学生用自己的语言来描述集合的含义，对提高学生学习数学的兴趣和学好数学都很有好处.

此外，本设计的另一个亮点是：每个环节都有“设计意图与建议”的说明，特别是其中的教学建议，它表明该设计具有很强的可操作性与可借鉴性.这也是本设计与其他教学设计的不同之处.

1.中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（实验）［M］.北京：人民教育出版社，2003.

2.刘绍学.普通高中课程标准实验教科书数学1（必修）［M］.北京：人民教育出版社，2007.

3.卢江，杨刚.义务教育教科书数学一年级上册［M］.北京：人民教育出版社，2012.

4.卢江，杨刚.义务教育课程标准实验教科书数学五年级下册［M］.北京：人民教育出版社，2006.