POCKn的一类正则子半群的秩

张熹成，高荣海，b

（贵州师范大学 a.数学与计算机科学学院；b.学报编辑部，贵州 贵阳 550001）

POCKn的一类正则子半群的秩

张熹成a，高荣海a，b

（贵州师范大学 a.数学与计算机科学学院；b.学报编辑部，贵州 贵阳 550001）

设自然数n≥5,Xn=｛1,2,…,n｝,POn是Xn上的保序部分变换半群，POCKn是POn中核具有连续横截面的元素所构成的子半群，我们得到POCKn的正则元构成的子半群秩为2n-1.

保序；连续横截面；正则；秩

设自然数n≥5,Xn=｛1,2,…,n｝,若Xn上的一个全变换α满足：对任意x,y∈Xn,x≤y⇒xα≤yα，则称α是保序的，Xn上保序全变换（不含Xn上恒等变换）的集合记作On.设POn=On⋃｛｝

进而本文将考虑在POn上核具有连续横截面的保序部分变换半群 POCKn的正则元构成子半群Reg（POCKn）的秩.

本文证明了如下主要结果：

定理设自然数n≥5，则rank（Reg（POCKn）=2n-1.

1　准备

设S是一个半群，ε∈S,若ε2=ε,则称ε是S的一个幂等元；对于α∈S,若存在 β∈S,使得αβα=α,则称α是S的一个正则元，S的正则元构成的集合记作Reg（S）.对于半群S,如果满足条件：Reg（S）=S.那么称S是正则半群.

设α∈POCKn,用im（α）表示α的象集，Ker（α）表示Xn上的一个等价关系α-1∘α=｛（x,y）∈Xn×Xn:xα=yα｝,若|im（α）|=r（1≤r≤n-1），POCKn的元素有如下标准表示：其中maxA1=i,minA2=i+r-1,A1,A2⊆Xn，以及ai∈Xn,a1＜a2＜,...,＜ar,i=1,2,...,r.

定义1［5］称非空子链A⊆Xn是Xn的连续子链，若对任意k∈Xn，只要minA≤k≤maxA，则k∈A.

下面对POCKn中正则元特性进行刻划.

命题1设α∈POCKn,||im（α）=r,4≤r≤n-1.并且有上述标准表示，则α是正则元的充要条件是：标准表示（1）中，a2＜,...,＜ar-1恰好是Xn的一个连续子链.

证明必要性：

α的象集是 β的核的部分连续横截面，而 β的象集又是α的核的部分连续横截面；若a2,...,ar-1不连续，不失一般性，不妨设a2,a3不连续，则a3=a2+x,（x≥2）,此时a2,a3一定属于 β的两个不相邻单点核类，因此有a3β＞a2β+1，但由 αβα=α知，必有 a3β=i+2,a2β=i+1，即有 a3β=a2β+1，这与 a3β＞a2β+1矛盾，故a2,...,ar-1必为连续子链.

充分性：因为a2＜,...,＜ar-1恰好是Xn的一个连续子链.

POCKn中的正则元.

注1设α∈POCKn，αβα=α,由α的标准表示可知若1≤||im（α）≤3,则α都是正则元.

易见POCKn中所有正则元构成的集合构成POCKn的一个子半群，我们记作Reg（POCKn）.为了叙述上的方便，在Reg（POCKn）上引入下面的二元关系，对任意α,β∈Reg（POCKn）定义：

（α,β）∈LM⇔im（α）=im（β）；（α,β）∈RK⇔ker（α）=ker（β）；（α,β）∈J⇔||im（α）=||im（β）；

则LM,RK,J都是Reg（POCKn）上的等价关系，易知LM⊆J,RK⊆J.

对0≤r≤n-1,记Jr=｛α∈Re g（POCKn）:|im（α）|=r｝,Ir=｛α∈Re g（POCKn）:|im（α）|≤r｝,则J0,J1,J2,…,Jn-1恰好是Reg（POCKn）的n个J-类，I0⊂I1⊂...⊂In-1且恰好是Reg（POCKn）的n个理想构成的理想链，并且

注2根据Reg（POCKn）中元素的标准表示，可知顶端J-类Jn-1中有4个R-类:

以及4个LM-类：LM（i）=｛α∈Jn-1:im（α）=Xn｛i｝｝,i=1,2,3,4.

由此可知顶端共有16个元.我们考虑Jn-1中的一个子集A=｛｝ε1,ε2,ε3,ε4分别定义为：1ε1=2,kε1=k,（k≠1）.nε2=n,kε2=k+1,（k≠n）,1ε2=1.

定义2设α∈POCKn,∀α∈Jr（1≤r≤n-2）,若α∉POCKnJr,则称α为不可分解元.

在研究中发现Reg（POCKn）中同层J-类有两个不可分解元而且不能相互生成，为了证明的方便，我们对Jr（1≤r≤n-2）中的两个不可分解元分别记为：

2　主要结果及其证明

情形2当A为非单点集时.即||A＞1.

（1）当maxA=n时：

（2）当maxA≠n时，设i=maxA,t=maxA｛i｝,1＜i≤n-1.

②当a＜n时,

情形1当α为一一变换时：

Ⅰ.当i＞1时：

Ⅱ.当i≠n时：

情形1当α为一一变换时：

①当ar≤n-1时:

情形2当A1,A2不全为单点集时.

（1）若A1为单点集，A2为非单点集时.

①若t+1≠n时，

（2）若A1为非单点集，A2为单点集时：

①当maxA2=n时，

当t≠1时.

（3）若A1为非单点集，A2为非单点集时：

推论1自然数n≥5时，有Reg（POCKn）=Jn-1⋃V,其中V如前所述.

引理5设自然数n≥5,则有Jn-1⊆A.其中A=｛ε1,ε2,ε3,ε4｝.ε1,ε2,ε3,ε4如前文（2）所定义.

证明由于顶端J-类Jn-1中共有16个元 ε1,ε2,ε3,ε4,e1,e2,e3,e4,e5,f1,f2,f3,f4,f5,f6,f7以及 e1=ε1ε4ε3ε2. e2=ε4ε3ε2ε1,e3=ε2ε1ε4ε3,e4=ε2ε1ε4,e5=ε3ε2ε1ε4,f1=ε1ε4ε3,f2=ε1ε4,f3=ε2ε1,f4=ε3ε2ε1,f5=ε3ε2,f6=ε4ε3ε2, f7=ε4ε3.可知Jn-1⊆A.

由文献［3］中引理7，易知Reg（POCKn）的任意生成集都必须覆盖Jn-1中每个RK-类和每个LM-类，而Jn-1中共有4个LM-类和4个RK-类.因此我们得到，当自然数n≥5时,Jn-1的最少生成集的元素个数不少于4.由引理5，可得如下的推论：

推论2当自然数n≥5时，Jn-1最少生成集的个数恰好为4.

定理的证明由推论1及推论2，再由||V=2n-5,知当n≥5时，则rank（Reg（POCKn））=2n-1.

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On the Ranks of Certain Regular Subsemigroups ofPOCKn

ZHANG Xi-chenga，GAO Rong-haia,b
（a.School of Mathematics and Computer Science；b.The Editorial Board of the Journal, Guizhou Normal University,Guiyang 550001,China）

LetPOnbe the semigroup of all the order-preserving partial transformations onXn=｛1,2,…,n｝for n≥5.LetPOCKnbe subsemigroup consisting of kernel with continuous transversal inPOn.It is shown that the rank of regular subsemigroup inPOCKnis equal to2n-1.

order-preserving；continuous transversal；regular；rank

O152.7

A

1008-2794（2015）02-0096-07

2014-10-22

通讯联系人：高荣海，教授，硕士生导师，研究方向：半群代数理论，E-mail：gaorh1978@163.com.