回归分析及其初步应用中的思想方法

李志勤

回归分析是最常用的统计方法，它是研究一个变量与另一个变量之间的相关关系的一种方法，所以两个变量具有相关关系是回归分析的前提。学习回归分析就是要学习回归分析的思想和方法，下面通过实际应用问题进行分析。

一、数形结合思想

对两个变量作相关性检验时，作出散点图，并观察所给的数据是否在一条直线附近，这体现了数形结合的数学思想。

侧，研究某设备的使用年限x与维修费用y之间的关系，测得一组数据如表1（y值为观察值）。

由数据可知y与x有明显的线性相关关系，可以用一条直线的方程来反映这种关系。

（1）将表1中的数据画成散点图。

（2）如果直线l过散点图中的最左侧点和最右侧点，求m直线l的方程。

（3）如果直线l'过散点图中的中间点（即点（4，5）），且使维修费用的每一个观察值与直线l'上对应点的纵坐标的差的绝对值之和最小，求出直线l'的方程。

分析：（1）将数据在平面坐标系中标出，即可得到散点图；（2）确定散点图中的最左侧点和最右侧点的坐标，即可求出直线l的方程；（3）根据绝对值函数的性质，求出函数的最值，即可求出直线l'的方程。

利用最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程。在解决具体问题时，要先进行相关性检验，通过检验判断两个变量是否具有线性相关关系。若它们之间具有线性相关关系，再求回归方程，否则，即使求出回归方程也是毫无意义的，而且用其估计和预测的量也是不可信的。

二、回归分析法

这是一种从事物因果关系出发进行预测的方法。在操作中，根据统计资料求得因果关系的相关系数，相关系数越大，因果关系越密切。通过相关系数就可确定回归方程，预测今后事物发展的趋势。

分析：（1）分别求出数学和物理成绩的平均数，利用公式求出b值和a值，写出线性回归方程；（2）利用公式求出残差和，根据所给的残差和的范围，判断所求的线性回归方程是否为优拟方程。

三、转化思想

实际问题中，研究的两个变量是否具有相关关系.可通过散点图或有关函数的图像，来选取合适的转化函数。

侧了某兴趣小组研究某城市雾霾等极端天气发生次数与患呼吸道疾病人数之间的关系，他们分别到气象局和某医院抄录了1至6月的雾霾等极端天气发生次数情况与患呼吸道疾病而就诊的人数，得到如表3所示的数据。

该兴趣小组确定的研究方案是：先从6组数据中选取2组，用剩下的4组数据求线性回归方程，再用被选取的2组数据检验线性回归方程是否理想。（2）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2人，则认为得到的线性回归方程是理想的。该小组所得线性回归方程是否理想？请写出具体判断过程。分析：（1）根据所给的数据，求出x，y的平均数，根据求线性回归方程系数的方法，求出系数b，再求a的值，即可得到线性回归方程；（2）根据所求的线性回归方程，预报当自变量为10和6时的y的值，把预报的值同原来表中所给的10和6对应的值作差，若差的绝对值不超过2，则得到的线性回归方程是理想的。