浅谈数理统计中点估计教学的若干问题

朱晖+刘邵容

【摘要】点估计是参数估计的一种重要方式，它的两种经典方法是矩估计方法和极大似然法。本文介绍了这两种估计的计算方法，以及教学中容易忽略的一些特殊情况做了详细的分析。

【关键词】矩估计 原点矩 总体矩 极大似然估计 似然函数

【中图分类号】G64 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2015）07-0129-01

一、矩估计

1.矩估计的方法

矩估计法是最古老的求估计的方法之一，它是由英国统计学家K. Pearson 在1900 年提出的。设总体X，其中θ1，θ2，…θl未知，则总体X的数字特征也未知，即此时的总体矩EX，EX2，…EXl统统都是参数。

但注意到样本观测值中的18已落在[0，16]外，这显然是不合理的。对于这类问题，用极大似然估计法可以有效解决此类问题。

二、极大似然估计

1.极大似然估计的方法

首先建立似然函数L（θ），如果随机抽样得到的样本观测值为x1，x2，…，xn，则我们应当这样来选取未知参数θ的值，使得出现该样本值可能性最大，即使得似然函数L（θ）取得最大值，从而求出参数θ，这样就转化为求似然函数L（θ）的极值点，一般来说，通过求解=0来解决。然而L（θ）是个连乘积，通常比较复杂，而与L（θ）在的同一点取得极大值，于是可转化为=0来求解。

2.用极大似然估计方法时的思维定式

通常课本和练习中的题以=0方式求解居多，于是导致许多学生通常不假思索就先对似然函数取对数再求导，但其实不然，有些情况下不取对数直接对似然函数球道数更直接。例如，已知总体X的分布律为：P（X=1）=θ2，P（X=2）=2θ（1-θ），P（X=3）=（1-θ）2，其中θ为未知参数，已知样本值x1=1，x2=2，x3=1，，求θ得极大似然估计。这道题的似然函数L（θ）=2θ5（1-θ），显然直接对L（θ）求导等于0很容易运算就可以得到=5/6.

3.不能通过求导方法获得极大似然估计值

若似然函数关于有间断点，上面通过对似函数求导获得极大似然估计值的方法，对未知参量求偏导已不适用，要针对具体问题做具体分析。

例如：设总体服从均匀分布U（a，b），a和b未知，抽取容量为n的样本X1，X2，…，Xn的观测值分别为x1，x2，…，xn，求a和b的极大似然估计值。

解：极大似然函数：L（a，b）= a≤x≤b，i=1，…，n0 其它，由此可知当a=minxi，b=maxxi时，L（a，b）取得最大值，根据极大然估计定义可得参数和的极大似然估计值为：=minx =maxx

4.极大似然估计不存在的情况

似然函数的导函数为零的点只是函数的驻点，而驻点未必是函数的极大值点。所以似然方程的解未必是极大似然估计，也即极大似然估计不一定存在。因此通过解似然方程的方法求似然估计时，需要验证似然方程的解是否是似然函数的极大值点。

例如：设总体服从均匀分布U（θ-1，θ+1），θ未知，抽取容量为n的样本X1，X2，…，Xn的观测值分别为x1，x2，…，xn，求θ的极大似然估计值。

解：极大似然函数L（θ）= θ-1≤x≤θ+1，i=1，…n0 其它，区间[maxxi-1，minxi+1]所有数都可以作为θ的极大似然估计值，但是当maxxi-1>minxi+1时，θ的极大似然估计值不存在。

参考文献：

[1]陈希孺.数理统计教程[M].北京：科学出版社，1984： 5～ 91.

[2]张忠诚. 两种情形下参数的极大似然估计[J].高等教育函授学报，2005（2）