基于空间等效桁架单元方法的钢筋混凝土结构非线性分析

吴方伯等

摘要：针对传统有限元分析的复杂性以及裂缝描述不准确等缺点，从空间应力单元出发，结合平面等效桁架单元的研究方法，提出了一种空间等效桁架单元；基于空间等效桁架单元和空间应力单元刚度等效的原则，推导了等效后的单元刚度矩阵、杆件截面面积和杆件轴力计算公式，探讨了空间等效桁架单元应用于钢筋混凝土结构非线性分析的相关问题；借助ANSYS 10.0采用该方法对一桥墩结构进行计算分析，并与采用平面等效桁架单元方法和试验方法所得结果进行了对比。结果表明：采用该方法对钢筋混凝土结构进行分析能够满足工程精度要求，并且能够准确描述裂缝的开展。

关键词：空间等效桁架单元；有限元法；刚度等效；钢筋混凝土结构；非线性分析

中图分类号：TU311.41文献标志码：A

0引言

有限元法作为一种重要的数值分析方法，由于其通用性和有效性，已经成为工程分析计算中应用最为广泛的一种数值计算方法。1967年，美国学者Ngo和Scordelis发表了第1篇在钢筋混凝土中应用非线性有限元方法的论文，他们用有限元法对钢筋混凝土简支梁进行了抗剪分析[1]。此后，越来越多从事结构工程的研究人员将这种方法应用于钢筋混凝土结构分析，并取得了丰硕的研究成果。

采用传统的有限元法分析钢筋混凝土结构时，需要根据不同的单元类型构造不同的形函数，尤其对于多节点三维问题单元，形函数往往形式复杂且难于推导[2]。在裂缝处理问题上，传统有限元分析中常采用离散裂缝模式和片状裂缝模式[3]，采用离散裂缝模式时，一旦单元出现新的裂缝就要重新划分网格，计算过程复杂且很费时，而采用片状裂缝模式时，则不能对裂缝的位置、长度和形状给出满意的描述。本文根据平面等效桁架单元[45]的思想，提出一种由24根一维杆件组成的空间等效桁架单元，这种单元最大的特点是用一维杆件受力状态表示三维受力状态，无需设置形函数，简化计算，并且单元中杆件的断裂可以清晰地模拟钢筋和混凝土的破坏，从而可以追踪构件或结构破坏的全过程。本文采用提出的空间等效桁架单元方法对一桥墩结构进行非线性分析，并与平面等效桁架单元方法和试验方法所得结果进行对比，探讨该方法用于钢筋混凝土结构分析的可行性。

1空间等效桁架单元

1.1单元模型及基本假设

图1（a）为空间微元体单元，假设x，y，z方向的尺寸dx=dy=dz=h，微元体材料的弹性模量为E，剪切模量为G，泊松比为μ。图1（b）为空间等效桁架单元，其外观尺寸与空间微元体单元相同，外围杆件长度均为h，内部斜杆长度为2h。同时假设外围杆件等效截面面积为A1，轴向抗拉（压）刚度为k1，内部斜杆等效截面面积为A2，轴向抗拉（压）刚度为k2。

1.2单元刚度矩阵

依次对空间等效桁架单元节点进行编号，如图2所示。

1.3等效分析

空间等效桁架单元由空间微元体单元等效而来，等效原则是刚度等效，即在相同的节点荷载作用下结构变形相等。本文考虑空间等效桁架单元与空间微元体单元的正应变等效和剪应变等效，并考虑泊松比的影响，进而得到由空间微元体参数表示的空间等效桁架单元的单元刚度矩阵。

1.3.1正应变等效分析

对空间微元体单元与空间等效桁架单元施加如图3所示任意大小的单位节点荷载P，单元将产生正应变，根据等效原则，节点位移应相等，即δ1=δ′1，δ2=δ′2，δ3=δ′3。

1.3.3剪切刚度对比

从前文推导可知，在正应变和剪应变等效下，由斜杆的刚度k2相等可得

当μ=0.25时，式（7），（8）中的剪切模量G相等，实际混凝土μ值范围为0.15～0.23，与μ=0.25很接近，且实际混凝土在轴压作用下泊松比有所增长，同时从文献[6]可知，用正应变等效得到的斜杆刚度代替剪应变等效得到的斜杆刚度，计算误差很小，对结果影响不大。

1.4杆件等效截面面积

根据材料力学原理和求得的杆件等效刚度k1，k2，可得杆件的等效截面面积A1，A2分别为

1.5单元中各杆轴力的计算

求出各节点的位移之后，可以根据每根杆件的刚度和节点位移求出各杆件的轴力Ne，即

式中：A为杆件截面面积；L为杆件长度；i，j分别为杆件两端节点编号；θx，θy，θz分别为杆件与x，y，z轴的夹角；u，v，w分别为杆端沿x，y，z轴的位移。

2模型在钢筋混凝土结构非线性分析中的应用2.1钢筋混凝土结构有限元模型及基本假定

本文钢筋混凝土结构有限元模型采用分离式模型，把钢筋混凝土结构离散为混凝土单元和钢筋单元，混凝土单元采用本文推导的空间等效桁架单元，钢筋单元采用杆件单元，其单元刚度矩阵Ks按照式（11）进行计算，即

式中：Es，As分别为钢筋的弹性模量和截面面积；α=cos（θx）；β=cos（θy）；γ=cos（θz）。

将混凝土单元刚度矩阵和钢筋单元刚度矩阵按照刚度集成原理进行集成，可得钢筋混凝土结构有限元模型的整体刚度矩阵。

在一般的钢筋混凝土结构中，可以认为钢筋和混凝土之间粘结整体性比较好，二者之间没有相对滑移。混凝土空间等效桁架单元与钢筋单元在节点处相互铰接，二者之间位移完全协调。本文采用的钢筋混凝土空间等效桁架单元模型如图5所示。

2.2钢筋混凝土材料本构关系和破坏准则

本文根据空间等效桁架单元的组成特征，混凝土材料采用在单向受力作用下的本构关系，当混凝土构件处于受压状态时，应力应变关系采用式（12）所示的Hongnestad分段表达式[7]，即

σ=σ0[2εε0-（εε0）2]0≤ε≤ε0

σ0（1-0.15ε-ε0εu-ε0）ε0<ε≤εu（12）