复杂产品研发的网络建模分析

韩景倜，肖 宇

（上海财经大学 信息管理与工程学院，上海 200433）

0 引言

随着信息技术与设计工程的发展，产品开发设计过程逐渐被解构为由诸多子任务组成的任务系统，通过优化每一任务环节进而提升产品的总体设计水平。分布式产品开发过程通常包括大量复杂且相互影响的任务，由这些开发任务及任务与任务之间的影响关系构成的网络称为复杂分布式产品开发网络。对细节的追求固然能提升产品最终设计的质量，但任务间的依赖性与外部环境信息的增加也将使一些开发任务出现多次反复［1］。随着从其他任务和外部环境中获取信息数量的增加，复杂分布式产品开发网络中节点状态的反复也将逐渐收敛至稳定状态［2－3］。网络结构界定了节点的局域环境，影响着整体任务状态的收敛速度与稳定性，在任务之间的动态交互过程中起着重要作用。因此，深入研究网络结构对产品开发网络中的任务状态传播的影响具有重要意义。

目前，国内外学者从复杂网络的视角研究了复杂产品开发系统，发现产品开发系统的结构对任务的完成具有重要影响。文献［2］根据复杂产品开发过程中的四个问题，提出利用设计结构矩阵分析与改进产品开发过程的方法。文献［4］基于复杂网络理论对分布式产品开发系统进行了实证研究，发现复杂产品开发网络具有其他社会网络所表现出的典型特性，如小世界性、入度和出度的幂律分布等。此外，文献［5］研究了复杂开发网络的动力学过程，基于解析过程发现全局任务状态的收敛性受网络度分布的影响；文献［6］综合利用设计结构矩阵和网络分析方法研究了产品开发过程中任务之间的交互，结果发现，通过利用网络分析鉴别出影响产品开发过程信息流的关键任务和可能限制开发过程的任务，可达到优化产品开发流程的目标；文献［7］指出“INI”指标对衡量复杂产品开发网络任务节点作用的重要性，进而提出一种新的基于Hub节点的工程变更策略；文献［8］研究了拓扑结构对复杂产品开发网络任务状态变更传播的影响机制，建立了基于小世界聚类特性的变更传播模型；文献［9］在考虑产品开发不确定性的基础上，计算出任务开发的最小时间过程排布。由以上分析可知，产品开发网络的拓扑特性对产品的开发过程具有重要影响。因此，本文分析了网络结构特性对开发过程的影响，基于节点的入度与出度的关系构建了有向产品开发网络中的任务状态更新与传播模型，并利用离散方法得到了保证全局开发任务完成的任务完成速率阈值。

产品开发系统属于人造系统，管理者对它的结构具有较为全面的认识，因此可通过对产品开发过程中任务的控制来缩短开发周期。目前，已有学者针对这一问题进行了研究，如文献［10］建立了多项目环境下资源分配问题的数学模型，提出一种开发能力需求分析方法，以分析各时段资源需求的可行性；文献［11－12］分别开发了一种基于设计结构矩阵的产品开发项目规划模型；为实现复杂产品开发过程中制造资源的优化选择和使用，文献［13］提出一种基于分层的多目标优化决策方法。以上文献主要针对中小规模的产品开发网络提出了各种项目资源规划方法。基于产品开发网络结构特性，本文提出在总资源量固定的情况下基于节点中心性的静态资源分配策略，并提出一种依赖于上游邻居任务节点状态的动态资源分配策略。

1 基本假设与模型

1.1 产品开发网络

1.2 状态更新规则

节点存在完成与未完成两种状态，如果节点i在时刻t为未完成状态，则si（t）＝1，反之si（t）＝0。为了与文献［5］的解析结果进行比较，采用与该文一致的状态规则。

（1）若节点i在时刻t为完成状态，则其下一时刻状态为

（2）若节点i在时刻t为未完成状态，则其下一时刻的状态为：

式中γ为节点本身的任务完成速率，γ越大，节点任务完成速率越快。

由以上状态更新规则可知，节点的状态更新与否由邻居数量与状态、节点间的影响强度以及节点任务完成速率决定。

2 随机网络中的状态传播模型

令pk（t）表示时刻t入度为k的亚群体中未完成任务节点的比率，ρ（t）表示时期t全局产品开发网络中未采纳状态节点的比率，则

显然，其中有0≤ρ（t），ρk（t）≤1。根据1.1节的描述，入度为k的任务节点影响其他任务节点的概率为

由式（4）可知，当g（k）＝c时，prob＝p（k）即入度为k的任务节点影响其他任务节点的概率与入度为k的亚群体占总群体的比重相等，此时产品开发网络的期望出度分布为均匀分布；当g（k）＝k时，prob＝kp（k）/〈k〉，即入度为k的任务节点影响其他任务节点的概率与入度为k的亚群体的总入边数占总群体入边数的比重相等，此时产品开发网络的期望出度分布与入度分布一致。

本文利用影响率θ（t）表示产品开发网络中的节点连接至未完成任务节点的概率，根据以上描述，可得

式中：

即

式中为均衡状态下入度为k的亚群体的未完成任务率均衡值，同时结合式（5）可得：

进而可以得到网络中未完成任务率的均衡值

为便于下文分析，令式（9）的右端为

此外，值得注意的是，该过程下的均衡为动态均衡，即总体未完成任务的节点数的比例保持稳定，而个体任务的状态可能发生变化。

3 任务扩散均衡分析

产品开发网络中所有节点的初始状态为未完成状态，此时有θ0＝1。为确保所有节点达到完成状态，即θe＝0，必须保证θ与F（θ）有且只有唯一交点＝0。为此，对F（θ）分别求θ的一阶和二阶导数：

以下将基于节点状态的同步更新过程得出扩散趋向于完全完成状态所需的条件。首先，确立以下任务完成率达到均衡状态的判断标准：在某一时刻，网络中增加的由未完成状态节点指出的期望边数等于减少的由未完成状态节点指出的期望边数。由该标准可知，在该时刻下，网络中由未完成状态节点指出的期望边数与上一时刻相等，即θ（t）＝θ（t－Δt）。

文献［5］中的E－R随机网络的完全扩散条件为：γ＞β·〈k〉。考虑到E－R随机网络中的波动很小，本文也假设≈0。因此，式（14）可约减为：γ＞，当β→0时有＝β，从而可以判断β→0时，本文与文献［5］中的结论一致。当β较大，即任务节点之间的影响关系较强时＜β，本文得出的节点任务完成速率阈值γ＊更小。取〈kin〉＝3，本文自身的任务完成速度阈值和文献［5］阈值的对比如图1a所示，显然，随着β的增大，后者与前者的差值也将增大。

此外，为了保证完全扩散，在具有相同均值且不 同方差的两个网络中，度分布方差越大的网络中的γ的最小取值应越大。令g（k）＝k，此时入度为k的节点的期望出度为〈k〉，该网络具有规则出度分布。进而式（13）可简化为

因此，为确保网络全局任务的完成，度分布均值越大的ER，其随机网络中的γ＊应越大。为进一步呈现节点入度与期望出度之间的关系对扩散过程的影响，以下分析中令g（k）＝kα。α表示期望出度分布相对于入度分布的分散程度：当α＜0时，节点的出度与入度呈反比关系，当α＝0时，节点的出度和入度无关；当α＞0时，节点的出度与入度呈正比，且随着α的增大，出度相对于入度越来越分散。

命题2 令g（k）＝kα，在度均值为〈k〉的有向随机网络中，状态更新过程如前所述，若β保持不变，则保证所有任务趋向于完成的条件最小γ＊将随着α的增大而增大（证明过程见附录2）。

图1b为该命题的图示，从图1可知，随着α的增大，即网络的出度分布范围相对于入度越大，保证所有任务完成所需的任务速度γ＊也应越大。此外，从图1b的入度幂律分布和指数分布下的变化趋势对比可以看出，入度分布的异质性对这种关系具有明显的调节作用：入度分布异质性越大，所需的保证所有任务完成的速度阈值γ＊也越大。

由以上命题可知，在其他条件不变的情况下，节点的出度相对于入度分布越分散，越不利于网络全局任务的完成。图1c为该命题的图示，从中可看出，随着α的增大，ρ＊也将增大，且这种增长是单调递减的。类似地，入度的分布异质性越大，最终均衡的未完成任务率ρ＊也将越大。

4 复杂产品研发资源分配策略

复杂分布式产品开发过程较复杂，为了能在规定时间内完成产品的开发，需对其开发过程实施控制。其中，改进或者变革开发过程是典型的控制方法之一［2，7］，即变更产品开发的网络结构，重新设计更有利于产品开发过程。但是，在实践过程中，变更开发流程需要较长的时间，且属于革新性工作，具有一定风险。另一种可供选择的方法是：在充分了解产品开发网络的基础上，对其中部分节点可获取的资源实施调控，从而达到加速产品开发过程或增大任务完成率的目的。下面将对比分析基于节点重要性的静态资源分配策略，以及一种基于上游邻居状态的动态资源分配策略。

4.1 静态资源分配策略

节点在网络中的位置决定了它在网络动态过程中的作用，其中一些中心节点的作用尤为重要。因此，在复杂产品开发过程中，如果给这些中心节点分配更多的资源，则这些节点任务的完成速度将加快，进而可缩短整个产品开发周期。然而，节点在网络中的中心性可用不同指标度量，包括入度、出度、入度与出度之和、邻近度和介度等［15］。

入度kin度量了任务节点受其他节点的制约程度，受上游邻居节点状态变化的影响，大入度节点的任务状态可能出现多次反复。这部分节点停留在未完成状态的时间越长，其下游已处于完成状态的任务节点转化为未完成状态的概率也越大。因此，如果使这些节点具有较快的任务完成速度，则将有效改变这种不利情形。

出度kout度量了任务节点影响其他节点的程度，根据状态更新规则，大出度任务节点的任务完成速度越快，其下游未完成任务节点状态向完成状态转化的累计概率越大，而下游已完成任务节点向未完成任务转变的累计概率越小。因此，增加大出度节点的任务完成速度也将加快全局任务完成速度。由于任务节点的出度和入度存在相关性，且根据出度或入度来增大节点任务的完成速度都将在一定程度上增加全局产品的开发速度，以节点的出度与入度之和（kout＋kin）为依据制定资源分配，也是可供选择的策略之一。

4.2 动态资源分配策略

在产品开发过程中，虽然任务节点之间的依赖关系不可变，但管理者可视产品开发周期的长短，弹性决定各周期内可变资源在产品开发网络中的分配。对于复杂产品开发网络中的任务节点，任务完成速率由灵活资源和独占资源两部分决定。独占资源是指只能应用于单一任务的资源，如技术人员、专业软件和技术专利等；灵活资源是指可应用于多重任务的资源，如计算能力等。由于节点的信息更新源自上游节点发出的信息，当上游所有邻居节点处于已完成任务状态、且该节点任务也处于完成状态时，根据任务状态更新规则，该节点在下一周期将不会获取新信息，从而将继续保持完成状态。这种情形下，最好的决策是尽可能不给该类节点分配用于完成任务的资源，而是将这部分资源用于未完成任务节点，从而达到加速产品开发速度的目的。据此，本文提出一种新的动态资源分配策略：如果在某个时期，影响节点i的节点均处于完成状态且该节点也处于完成状态，则下一周期不给节点i分配灵活资源，而是平均分配给未来完成任务的节点。在这种策略下，随着产品开发的深入，未完成任务节点将得到越来越多的灵活资源，从而加快整体产品的开发速度。

5 实例分析

为了对比分析依据各中心性指标制定的静态资源分配策略以及动态资源分配策略，将资源分配策略分别应用于四个实证产品开发网络：药品开发网络、医院任务网络、软件开发网络和车辆开发网络［5］。各产品开发网络中设定β＝0.05，R＝0.2n，各策略每次仿真运行500步，记录对应的全局未完成任务比例的变化，并取其10次平均作为结果。

静态资源分配策略对比结果如图2所示，初始时刻网络中的所有任务处于未完成状态，四个网络中各静态分配策略下的任务完成比例在到达一定时间后将出现震荡，即达到动态均衡。可以看出，在所有实证网络中，依据入度和出度之和制定的静态资源分配规则具有最大的均衡任务完成率，对于药品开发网络、软件开发网络和车辆开发网络，任务均在较短时间内全部完成；依据介度制定的分配规则具有较快的收敛速度，但具有最小的均衡任务完成率。而其他四种资源分配规则下的任务完成收敛速度和均衡任务完成率取决于具体产品开发网络的结构，其中无差异资源分配策略在一些网络（如车辆开发网络）中也可达到良好的结果。

为检验以上结论的稳定性，改变邻居影响系数β的值，进而比较对应水平下的均衡状态结果，如图3所示。在四个产品开发网络中，当邻居间相互影响较小时，按入度和出度之和制定的分配策略仍最优，当邻居间影响较大时，无差异分配策略是最优选择。此外，在所有情况下按节点介度资源分配策略为效果最差的策略。因此可得出以下结论：当总资源量固定且任务节点之间的相互影响较小时，相对于根据入度、出度、邻近度和介度制定的节点资源分配规则，按入度和出度之和制定的分配规则可以达到最大均衡任务完成率。因此，在实际产品开发过程中，如果选择静态的资源分配策略且任务之间依赖关系的强度较弱，则管理者应综合考虑任务节点在整个产品开发过程中的信息生产和消费情况，依据节点信息产生和消费之和制定的资源分配方案，可更快地完成整体产品开发任务，进而在相同的总经济成本下达到最快完成产品开发的目的。

为检验动态资源分配策略的有效性，下面将继续使用多智能体仿真分析该策略下的任务完成速率及其均衡性。具体仿真过程如下：

（1）为产品开发网络中所有任务节点分配参数γ、β以及可变资源的比例系数α。

（2）设定初始阶段所有节点的状态为s0＝1，按照第1章所述的规则更新节点状态。

（3）在t周期，若节点i及其上游节点均为完成状态，则不为该节点分配可变资源；若节点i为完成状态，但其上游节点中存在未完成任务节点，则为该节点分配1单位资源；对这两类节点资源分配结束之后，将所剩资源平均分配给未完成任务节点。

（4）循环上述过程500次。

各产品开发网络对比结果如图4所示。显然，随着灵活资源比例的增加，产品开发网络任务完成速率也将加快，最终的均衡任务的完成率也更大。任务完成速率加快和最终任务完成率提高的原因在于，灵活资源的流动可消除资源的浪费，进而增大未完成任务节点的任务完成速率。图5为节点间的影响强度对动态策略下均衡未完成任务比例值的影响，灵活资源的比例越大，均衡状态的未完成任务率越小，且在节点间影响较小时这种影响效果越明显。此外，相对于静态分配策略（即α＝0的情形），动态分配策略将更快达到更大的任务完成率均衡状态。特别地，对于软件开发网络，若节点间的影响关系强度处于0.5～0.8，则仅需小比例的可变资源即可使全局任务达到完全完成。因此，对于一些存在可按周期弹性分配资源的产品开发过程，虽然节点任务状态可能因上游任务的变更而出现反复，但为了更高效地完成产品开发任务，管理者可考虑流动资源在开发过程中的分配方式。根据以上结论，对处于已完成任务状态且其上游节点也处于该状态的任务节点，下个周期可不给它们分配流动资源。

6 结束语

产品开发网络任务节点间的相互影响关系常导致开发任务的反复，进而使产品开发难以按期完成。这种任务的反复主要源于产品开发网络的结构特性，因此可通过分析产品开发网络中的动态特性改进或优化产品开发过程，对产品开发过程管理具有重要的借鉴意义。

本文构建了一个节点入度和出度间相关的有向产品开发网络任务状态更新过程，依据离散边增长原理导出了保证全局任务完成所需的任务完成速率阈值。分析发现，当任务之间影响关系较小时，本文得出的阈值与文献［5］中的近似相等；但当任务之间影响关系较大时，本文得出的阈值更小。此外，研究还发现，产品开发网络的出度分布相对于入度分布越分散，保证全局任务完成所需的最小任务完成速率越大；在产品开发网络任务不能完全完成的前提下，产品开发网络中的出度分布相对于入度分布越分散，均衡状态下的任务完成率越小。

此外，本文也探索了总资源固定下的节点资源分配策略，发现相对于依据其他四种静态资源分配规则，依据节点入度和出度之和制定的策略下扩散可最快地达到最大的均衡任务完成率。因此，在实际复杂产品设计过程中，在总成本一定的情况下，为了更快地完成设计任务，应将节点的消费信息量和生产信息量之和作为参考制定资源分配策略。考虑到节点状态的更新依赖于上游节点提供的信息，根据状态更新规则，当所有上游节点为完成状态且该节点状态也为完成状态时，该节点下一时刻也将处于完成状态。据此，提出一种动态资源分配策略：在某个时刻，若节点及其所有上游邻居均处于已完成任务状态，则下一周期不给该节点分配可变资源。通过分析发现，随着可变资源比例的增大，该动态资源分配规则下产品开发网络的扩散收敛速率也加快，并可达到更大的均衡任务完成率。由此可知，在产品开发过程中对资源的灵活管理也是缩短任务收敛时间的重要手段之一。实际产品开发管理过程中，管理者应首先评估灵活分配资源的可能性，如果存在一部分可灵活分配的资源，则可不必对上游邻居均处于完成状态的已完成任务节点分配可变资源，由此达到加速产品开发过程的目的。

大数据、云计算时代的到来以及企业的全面信息化，使产品开发研究学者和实践者可获取越来越详尽的产品开发网络结构与节点间动态交互信息。因此，未来的研究可对产品网络的动态过程进行实证分析。此外，也可分析其他结构特性（如小世界性［16］和度分布［17］等）对产品研发网络动态过程的影响。

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