备课札记晶体及其计算研究

阮利庆

一、晶体结构的特性

晶体是由微粒在三维空间中按照一定的规律和周期重复排列形成的固体物质。晶胞是晶体的基本单位。晶体内部的微粒（包括原子、分子、离子）按照一定的规律排列，这样规律排列出的一个基本单位叫做晶胞，晶胞重复出现形成晶体，因此晶体才具有外形规则的特性。

晶体结构的特点有两点：一是晶体内部的晶格点排列规律，形成晶胞。二是晶胞重复出现，形成晶体，因此晶体具有周期性。因此，利用数学模型作为工具，可以更好地理解晶体结构和计算晶体与微粒的量化关系。

二、利用化学知识和数学基础进行计算

晶体由相同的晶胞以几何方式堆砌而成，因此晶体的计算重点在于对晶胞的理解和研究。熟练运用数学中的空间几何模型可以便于理解晶胞结构从而进行计算。

以数学中的平行六面体为基础，对于晶胞中的微粒，根据其分布位置可以分为四类：分布在六面体八个顶点的微粒；分布在六面体12条棱上的微粒；分布在六面体6个面上的微粒；分布在六面体内部的微粒。因此有以下的计数规则：

1.分布在六面体8个顶点的微粒，每个微粒被8个晶胞共用，因此对于每个晶胞有1/8的贡献，在计数时每个微粒记为1/8；

2.分布在六面体12条棱上的微粒，每个微粒被4个晶胞共用，因此对于每个晶胞有1/4的贡献，在计数时每个微粒记为1/4；

3.分布在六面体6个面上的微粒，每个微粒被2个晶胞共用，因此对于每个晶胞有1/2的贡献，在计数事每个微粒记为1/2；

4.分布在六面体内部的微粒，对该晶胞的贡献为1，在计数时每个微粒记为1。

了解以上的规则，加上数学中空间立体几何的知识，晶体的计算就较为简单了，以下为最基础的两条计算思路：

1. 已知微粒在晶胞中的排列规律时，利用空间立体几何知识，将晶胞重复堆砌，可以将晶胞边缘的微粒补充完整，从而构建出相对完整的结构，便于解题。

2. 已知微粒在晶体中的排列规律时， 先根据该规律构建出一个较为完整的晶体，再观察确定其中的晶胞结构，通过上述的计数规则进行计算。

三、问题类型

根据以上两条思路，便可解决以下一些与晶体有关的计算问题。

类型一：晶体中与某质点距离最近的微粒数的计算

由已知的晶体或晶胞的排列规律，在空间中构建出微粒的分布情况，从而通过立体几何知识，运用角度、距离、和空间直角坐标系等已知条件和工具求解。此类问题较为简单，只要对晶体结构有一定的了解，并且具有将晶胞重复堆砌以补充出完整微粒的思路，运用一些简单的立体几何知识便可求解。

类型二：晶胞中微粒总数的计算

整体思路与第一类问题类似，此类问题求解过程中也需要拥有将晶胞重复堆砌以补充出完整微粒和较为完整的晶体结构的意识。通过空间想象力构建出较为完整的晶体结构，再运用上文提到的微粒计数规则，即一个微粒被a个晶胞所共用，则该微粒在一个晶胞中的微粒数记为1/a，若该晶胞中有b个此类型的微粒，则该晶胞中此类型的微粒数为b/a，最后将四个类型的微粒数相加，总和即为该晶胞中微粒的总数。该总数未必是一个整数。根据此思路，还可以确定该晶体的化学式。

类型三：晶体化学式的确定

此类问题也是晶体计算问题中的一个大类，在“问题类型二”的基础上求解。解决此类问题首先要确定该晶体中的元素种类，以“类型二”中的思路求出每个晶胞中各元素的微粒总数，则一个晶胞中各元素微粒总数的数量比即为该晶体中对应元素的比例，再依据基础的化学知识即可写出该晶体的化学式。

晶体知识将化学与数学两门学科紧密地结合在一起，真正实现了学科的交叉，加上其中需要运用到的空间想象力、逻辑推断和观察能力，需要学生的综合能力，因此晶体的计算问题既是教学中的重点也是难点。

（收稿日期：2014-11-15）