局部序列自同构

张海燕

(赤峰学院 数学与统计学院,内蒙古 赤峰 024001)

局部序列自同构

张海燕

(赤峰学院 数学与统计学院,内蒙古 赤峰 024001)

证明了维数大于等于3的可分Hilbert空间H上的所有有界线性算子全体B(H)的效应代数E(H)上满的2-局部序列自同构是序列自同构以及Hilbert空间H上的投影算子全体P(H)上满的2-局部序列自同构是序列自同构.

2-局部序列自同构; 序列自同构; 效应代数

0 引言

设映射φ:E(H)→E(H)是双射,如果满足φ(A∘B)=φ(A)∘φ(B),我们称φ为序列自同构.利用上述运算,人们自然地可以研究效应代数上保这些运算的映射.Lajos Moln[1]证明了维数大于等于3的可分Hillbert空间H上的有界线性算子全体B(H)上的效应代数,简记E(H),其上的序列自同构φ形如φ(A)=UAU*的形式,其中U为酉算子或反酉算子.本文在此基础上研究了效应代数E(H)上的2-局部序列自同构的情况.并证明了E(H)上满的2-局部序列自同构是序列自同构以及Hilbert空间H上的投影算子全体P(H)上满的2-局部序列自同构是序列自同构.

1 主要结论

首先我们给出2-局部序列自同构的定义,设M=E(H) 或P(H),P(H)表示B(H)中投影算子的全体.设φ:M→M的映射,如果对于任意P,Q∈M,都存在M的一个序列自同构φP,Q,使得φP,Q(P)=φ(P),φP,Q(Q)=φ(Q).我们则称φ为2-局部序列自同构.

引理1[2]设P∈E(H),若P是投影,则当且仅当P∘P=P;P,Q是投影,若P≤Q,则当且仅当Q∘P=P.

定理2 设φ:为P(H)→P(H)上满的2-局部序列自同构,则φ是P(H)→P(H)上的序列自同构.

证明首先证明φ是单射.如果φ(P)=φ(Q),则存在P(H)的序列自同构φP,Q,使得,φP,Q(P)=φ(P),φP,Q(Q)=φ(Q),因此φP,Q(P)=φP,Q(Q).又因为φP,Q是单射,所以P=Q.因此φ是单射.

下面证明φ保投影.如果P是投影,则P∘P=P,因为φ是2-局部序列自同构,所以存在P(H)的一个序列自同构φP,P使得φP,P(P)=φ(P).因此有φ(P)∘φ(P)=φP,P(P)∘φP,P(P)=φP,P(P∘P)=φP,P(P)=φ(P),即φ(P)是投影.反之,如果φ(P)∘φ(P)=φ(P),则φ(P)∘φ(P)=φP,P(P)∘φP,P(P)=φP,P(P∘P)=φP,P(P)因为φP,P是单射,所以P∘P=P.因此φ保投影.

下证φ对投影双边保序.如果P≤Q,则Q∘P=P,又存在P(H)的一个序列自同构φP,Q,使得,φP,Q(P)=φ(P)φP,Q(Q)=φ(Q).所以φ(Q)∘φ(P)=φP,Q(Q)∘φP,Q(P)=φP,Q(Q∘P)=φP,Q(P)=φ(P),由引理1知,φ(P)≤φ(Q).反之如果φ(P)≤φ(Q),则φ(Q)∘φ(P)=φ(P).又存在P(H)的一个序列自同构φP,Q,使得

φ(Q)∘φ(P)=φP,Q(Q)∘φP,Q(P)=φP,Q(Q∘P)=φ(P)=φP,Q(P),

即φP,Q(Q∘P)=φP,Q(P).

综上证明可知φ又是单射和满射,因此φ为P(H)→P(H)上的序列自同构.

定理3 设φ:E(H)→E(H)是满的2-局部序列自同构,则φ是E(H)→E(H)的序列自同构.

证明我们先证φ是单射.如果φ(A)=φ(B),A,B∈E(H).则存在E(H)上的序列自同构φA,B使得,φA,B(A)=φ(A),φA,B(B)=φ(B).因此可得φA,B(A)=φA,B(B).又因为φA,B是单射,所以A=B.因此φ是单射.且易证φ(I)=I.对于任意A,B∈E(H).则ABA∈E(H).由中推论[4]可知,对于任意A∈E(H).有φ(A)=UAU*,其中U是酉算子或反酉算子.因此可得φ(ABA)=UABAU*.又因为φ是2-局部序列自同构,则存在序列自同构φA,B使得,

φA,B(A)=φ(A),φA,B(B)=φ(B).

进一步可得

φ(ABA)=UABAU*=UAU*UBU*UAU*=φ(A)φ(B)φ(A).

因此有

综上证明可知φ又是单射和满射,因此φ是φ:E(H)→E(H)上的序列自同构.

[3]Stan Gudder,Richard Greechie.Uniqueness and order in sequential effect algebras[J].International Journal of the oretical physics,2005,44(7):755-770.

[4]张海燕.2-局部序列自同构[J].赤峰学院学报,2011,27(6),20-21.

[责任编辑：李春红]

LocalSequentlalAutomorphisms

ZHANG Hai-yan

(School of Mathematics and Statistics,Chifeng College,Chifeng Inner Mongolia 024001,China)

In this paper,It was proved that every surjective two-local sequential automorphism on effect algebrasE(H) ofB(H) which denoted all the bounded linear operators on separable Hilbert spaceHis sequential automorphism,If dimHis equal or more three.and prove that each surjective two-local sequential automorphism onP(H) which denoted all the projections on separable Hilbert spaceHis sequential automorphism.

two-local sequential automorphism; sequential automorphism; effect algebra

2014-11-04

张海燕(1981-),女,吉林长春人,讲师,硕士,研究方向为泛函分析.E-mail:12300741@qq.com

O177.1

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:1671-6876(2015)01-0021-03