函数应用问题中的模型与方法

李红春 吴彤

应用题是高考解答题的重要组成部分，主要考查考乍运用数学知识解决实际问题的能力，而函数是高中数学的主干和核心知识，以函数知识为背景的应用题一直活跃在高考的舞台，引人关注。随着知识的更新，函数应用问题中的模型也越来越新颖。现撷取高中阶段函数应用问题中的热点模型，并结合最新实例加以分析，旨在展示解题规律，揭示解题方法，希望能对大家的学习有所帮助。

一、二次函数型

例1 有一家公司准备裁减人员。已知这家公司现有职员2m（160<2m<630，且m为偶数）人，每人每年呵创利n（n>0）万元。据评估，在经营条件不变的前提下，每裁员1人，则留岗职员每人每年多创利0.02n万元，但公司需付给下岗人员每人每年0.8n万元的生活费，并且该公司正常运转所需人數不得小于现有职员数的3/4。为获得最大的经济效益，该公司应裁员多少人？

解析：设应裁员x人，可获得的经济效益为y万元。

y=（2m-x（n+0.02nx）-0.8nx.

整理得。

二次函数，的图像的对称轴为直线x=m-45。由，得：当xm-45时，y单调递减。

由该公司正常运转所需人数不得小于现有职员数的，得，则

由m为偶数，得m/2为整数。

由160<2m<630，得80

解析：（1）当x≥7时，f（x+l）-f（x）=

当x≥7时，函数y=（x-3）（x-4）单调递增，且（r-3）（r-4）>0，则f（x+l）-f（x）单调递减，故当x≥7时，掌握程度的增长量f（x+1）-f（x）总是下降。

（2）由题意知

整理得

解得

123.0∈（121，127]，由此可知该学科是乙学科。

点评：高中阶段涉及对数函数的应用问题不多，本题背景新颖，将生活与数学问题有机结合起来，解题时要将所求结果准确回归到应用问题中去。

五、分段函数型

例5 在淘宝网上，某店铺专卖某地某种特产。以往的经验表明，不考虑其他因素，该特产每日的销售量y（单位：kg）与销售价格x（单位：元/kg，l（1）求a、b的值，并确定y关于x的函数解析式。

（2）若该特产的销售成本为1元/kg，试确定销售价格z的值，使店铺每日销售该特产所获利润厂（x）最大（x精确到O.O1元/kg）。

解析：（l）因为x=2时，y=700；x=3时，y=150，所以a+b=700，b/2=150，解得a=400，b=300。

（2）①当l

（2）如图2，点E在线段AD上，且铺设电缆的线路为（CE、EA、EB。若），试用θ表示出总施工费用y（万元）的解析式，并求y的最小值。

解析：（l）由已知可得△ABC为等边三角形。

由CD⊥AD，得水下电缆的最短线路为CD。

如图3，过D作DF⊥AB于F，可知地下电缆的最短线路为DF、AB。

易得，AB=2，故该方案的总施工费用为（万元）。

（2）因为，所以CE=EB

则

令。易得

由，得

记

当，即o≤θ<θ。时，g'（θ）<0；当，即时，

所以，等号成立时，

因此总施工费用的最小值为（）万元，其中。

点评：和传统的y=Asin（ωx+ψ）型三角函数应用模型不同，越来越多的函数表达式涉及正弦、余弦、正切函数，这些函数最值或范围的解决通常需要借助导数，本题就是一例。高考特别注重在知识的交汇处命题，一个题目往往涉及多个知识点，考查考生灵活运用知识解决问题的能力。以上问题涉及三角函数、导数、不等式等诸多知识，综合性强，需要大家提升综合解决问题的能力。

九、含有max或min的函数型

例9 某企业接到生产3000台某产品的A、B、C三种部件的订单，每台产品需要这三种部件的数量分别为2、2、1（单位：件）。已知每个工人每天可生产A部件6件，或B部件3件，或C部件2件。该企业计划安排200名工人分成三组分别生产这三种部件，生产B部件的人数与生产A部件的人数成正比，比例系数为k（k为正整数）。设生产A部件的人数为x。

（l）分别写出完成A、B、C三种部件生产需要的时间。

（2）假设这三种部件的生产同时开工，试确定正整数k的值，使完成订单任务的时间最短，并给出时间最短时具体的人数分组方案。

解析：（l）设完成A、B、C三种部件的生产任务需要的时间（单位：天）分别为T1（x）、T2（x）、T3（x）。

由题意得，其中（1+k）x均为l到200之间的正整数。

（2）完成订单任务的时间为f（x）=max{T1（x），T2（x），T3（x）}.

由O易知T1（x）、T2（x）为减函数，T3（x）为增函数。

①当k=2时，T1（x）=T2（x），此时f（x）=

由函数T1（x）、T3（x）的单调性，知：当时，f（x）取得最小值，解得。由于而。，故当x=44时，完成订单任务的时间最短，且最短时间为。

②当k>2时，T1（x）>T2（x）。由k为正整数，得k≥3，则

由函数T1（x）、T（x）的单调性，知：当时，ψ（x）取得最小值，解得由于，而，所以此时完成订单任务的最短时间大于。

③当k<2时，T1（x）

3.某书商为提高某套丛书的销量，准备举办一场展销会。据市场调查，当每套丛书售价定为z元时，销售量可达到15-0.lx万套。现出版社为配合该书商的活动，决定进行价格改革，将每套丛书的供货价格分成固定价格和浮动价格两部分，其中固定价格为30元，浮动价格（单位：元）与销售量（单位：万套）成反比，比例系数为10。假设不计其他成本，即销售每套丛书的利润一售价一供货价格。

（l）每套从书售价定为100元时，书商能获得的总利润是多少万元？

（2）每套丛书售价定为多少元时，单套丛书的利润最大？

参考答案：（1）每套丛书售价定为100元时，销售量为15-0.1×100=5（万套），此时每套供货价格为（元），书商所获得的总利润为5×（100-32）=340（万元）。

（2）每套丛书售价定为140元时，单套丛书的利润最大，为lOO元。

4.某民营企业生产A、B两种产品，根据市场调查与预测，A产品的利润与投资成正比，其关系如图5，B产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图6（注：利润与投资单位：万元）。

（l）分别将A、B两种产品的利润表示为投资z（万元）的函数关系式。

（2）该企业已筹集到10万元资金，并全部投入A、B两种产品的生产，问：怎样分配这10万元投资，才能使企业获得最大利润，其最大利润为多少万元？

参考答案：（l）设投资x万元，A产品的利润为f（x）万元，B产品的利润为g（x）万元。

（2）当A产品投入3.75万元、B产品投入6.25万元时，企业获得最大利润，为万元。

5.如图7，矩形ABCD中，AB=3，AD=2，一质点从AB边上的点Po出发，沿与AB

的夹角为θ的方向射到边BC 上的点Pl后，依次反射（入射 角与反射角相等）到边CD、

DA和AB上的P2、P3、P4处。

（l）若P4与Po重合，求tanθ的值。

（2）若P4落在A、Po两点之间，且APo=2，设tanθ=t，将五边形PoP1P2P3P4的面积S表示为t的函數，并求S的最大值。

参考答案：（1）

（2）的最大值为。

6.某企业拟建造如图8所示m器c不计厚度，长度 单位：m），其中容器的中间为圆柱形，左、右两端均为半球形，按照设计要求，容器的体积为，且ι≥2r。假设该容器的建造费用仅与其表面积有关。已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为c（c>3）千元。设该容器的建造费用为y千元。

（1）写出y关于r的函数表达式，并求该函数的定义域。

（2）求该容器的建造费用最小时的r。

参考答案：（1）

（2）当时，建造费用最小时r=2；当c>9/2时，建造费用最小时