数学的美妙：一题多解

林荣娟

【摘要】 数学课堂中一题多解的练习往往会使同学们越来越聪明. 这类训练不仅让同学们体验到成功的喜悦，而且促使同学们综合运用各种数学知识的能力，更有利于开拓思维的灵活性.

【关键词】 不同的角度；解决问题策略的多样化；深入思考

《新课标》指出：“有效的数学学习活动不能单纯地依赖模仿与记忆，动手实践、自主探索、合作交流是学生学习数学的重要方式. 教学中应尊重每一名学生的个性特征，允许不同学生从不同的角度认识问题，采用不同的方式表达自己的想法，用不同的知识与方法解决问题. 鼓励学生解决问题策略的多样化，是因材施教，促进每一名学生充分发展的有效途径. ”

人们常说：数学是思维的体操. 数学课堂中一题多解的练习往往会使同学们越来越聪明. 这类训练不仅让同学们体验到成功的喜悦，而且促使同学们综合运用各种数学知识的能力，更有利于开拓思维的灵活性.

下面我们来看一道经典的题目.

问题：

有两座城市之间的铁路长400千米，一列客车从其中一座城市开出，同时有一列货车从另一座城市开出，两车相向而行，经过4小时后两车刚好相遇，已知客车平均每小时行60千米，货车平均每小时比客车少行多少千米？

解析1 先求客车经过4小时后行驶的路程（60 × 4）千米，再求货车4小时行驶的路程（4x）千米，两辆汽车行驶的路程总和即是总路程400千米

解法1 设货车平均每小时行x千米，根据题意可得

60 × 4 + 4x = 400，4x = 400 - 240，4x = 160，x = 40（千米），60 - 40 = 20（千米）.

答：货车平均每小时比客车少行20千米.

解析2 先求客车与货车每小时行驶的路程总和（60 + x）千米（即两车的速度和），再求经过4小时的行驶时间，就可得到两车总共行驶的总路程

解法2 设货车平均每小时行x千米，根据题意可得

（60 + x） × 4 = 400，240 + 4x = 400，4x = 400 - 240，4x = 160，x = 40（千米），60 - 40 = 20（千米）.

答：（同上）

解析3 先求货车经过4小时后行驶的路程（4x）千米，得数即是总路程与客车经过4小时后行驶的路程（60 × 4）千米的差.

解法3 设货车平均每小时行x千米，根据题意可得

4x = 400 - 60 × 4，4x = 400 - 240，4x = 160，x = 40（千米），60 - 40 = 20（千米）.

答：（同上）

解析4 先求总路程与货车经过4小时后行驶的路程（4x）千米的差，得数即是客车行驶的路程（60 × 4）千米

解法4 设货车平均每小时行千米，根據题意可得

400 - 4x = 60 × 4，400 - 4x = 240，4x = 400 - 240，4x = 160，x = 40（千米），60 - 40 = 20（千米）.

解析5 先求客车与货车每小时行驶的路程总和（即两车的速度和），得数即等于总路程与行驶时间4小时的商

解法5 设货车平均每小时行x千米，根据题意可得

60 + x = 400 ÷ 4，60 + x = 100，x = 100 - 60，x = 40（千米），60 - 40 = 20（千米）.

上面的五种解法我们都是设货车平均每小时行x千米，虽然都是围绕着路程 = 速度 × 时间，可是我们却能从不同的角度入手，既得到不同的方程，又发现了其中每一种做法的意义很明显又是不同的，这是一种多么美妙的数学美啊！

解析6 先求货车的速度每小时（60 - x）千米，再分别求经过4小时后两车的路程，其和即是两车行驶的总路程400千米

解法6 设货车平均每小时比客车少行x千米，根据题意可得

（60 - x） × 4 + 60 × 4 = 400，（60 - x） × 4 + 240 = 400，（60 - x） × 4 = 400 - 240，（60 - x） × 4 = 160 ÷ 4，60 - x = 40，x = 20（千米），60 - 20 = 40（千米）.

解析7 先求货车的速度（60 - x）千米每小时，再求其与客车的速度和，然后分别求其两者的路程总和相加即为总路程.

解法7 设货车平均每小时比客车少行千米，根据题意可得

（60 - x + 60） × 4 = 400，60 - x + 60 = 400 ÷ 4，60 - x + 60 = 100，60 - x =100 - 60，60 - x = 40，x = 60 - 40，x = 20（千米），60 - 20 = 40（千米）.

解析8 先求货车的速度（60 - x）千米每小时，再求其经过4小时相遇后行驶的路程，即是总路程与客车行驶的路程差？

解法8 设货车平均每小时比快车少行千米，根据题意可得

（60 - x） × 4 = 400 - 60 × 4，（60 - x） × 4 = 400 - 240，（60 - x） × 4 = 160，60 - x = 160 ÷ 4，60 - x = 40，x = 20（千米），60 - 20 = 40（千米）.

解析9 同样先求货车的速度，与其4小时后行驶的路程，再求总路程与客车行驶的路程差，其得数即是客车行驶的路程

解法9 设货车平均每小时比客车少行x千米，根据题意可得

400 - （60 - x） × 4 = 60 × 4，400 - （60 - x） × 4 = 240，（60 - x） × 4 = 400 - 240，（60 - x） × 4 = 160，60 - x = 160 ÷ 4，60 - x = 40，x = 60 - 40，x = 20（千米），60 - 20 = 40（千米）.

表面上这是一道简单的列方程解问题的题目，可是我们却可以得到上面这些如此丰富的答案，但是在多种方法的展示中，不但可以培养学生的分析能力，而且在学习过程中，如果我们能有意识地去分析和研究，我想，拿到一个不管是简单还是困难的题目，都能如此深入地去观察，分析，解决与反思，那必能起到以一当十，以少胜多的重大作用.

数学本身就是一个整体，通过一题多解，我们可以把各个阶段所学的知识、知识的各个方面紧密的联系起来，从而加深对知识的理解，激发学习兴趣、创新意识和探索精神，培养创新能力，学会学习.