基于数学外在表征的试题剖析

吴俊杰 邹燕丽

【摘 要】表征是认知心理学研究领域中的一个核心概念，自20世纪中期的“认知革命”发生后，认知科学试图以表征概念来描述大脑的信息加工过程。本文基于文字表征、符号表征、图表表征及背景表征四个类型的外部表征对2014年高考文科数学全国卷Ⅰ部分试题进行剖析，从而对全国卷Ⅰ进行简单初步探究，为今后的教学提供了建议。

【关键词】数学；外在表征；试题剖析

通过对学生表征能力的培养，能有效帮助学生掌握解题技巧，提高解题能力。福建省即将改自主命题为用全国卷Ⅰ，本文拟基于外部表征对2014年高考文科数学全国卷Ⅰ部分试题进行剖析，从而对全国卷Ⅰ进行简单初步探究。

一、基于文字表征考查的试题剖析

例1（填空题第14题）：甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A、B、C三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市；乙说：我没去过C城市；丙说：我们三人去过同一城市；由此可判断乙去过的城市为 。

剖析：高考试题一般用精准、简明的语言表述，学生需用最短的时间进行阅读理解，所以其文字表征显得非常重要，将直接影响其解题的策略、速度和准确率。

解：∵丙说：三人同去过同一个城市，甲说没去过B城市，乙说：我没去过C城市。

∴三人同去过同一个城市应为A，∴乙至少去过A，若乙再去城市B，甲去过的城市至多两个，不可能比乙多，∴可判断乙去过的城市为A。

二、基于符号表征考查的试题剖析

例2（解答题第19题）：如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，B1C的中点为O，且AO⊥平面BB1C1C。

（I）证明：B1C⊥AB；（II）若AC⊥AB1，∠CBB1=60°求三棱柱ABC-A1B1C1的高。

剖析：本题主要考查学生对《空间几何体的位置关系》章节知识的掌握情况及对符号的表征，属于常规题型，学生在审题的过程中，能将题目数学符号表征为正确的空间位置关系，就迎刃而解了！

解：（I）连结BC1，则O为BC1与B1C的交点，因为侧面BB1C1C为菱形，所以B1C⊥BC1，又AO⊥平面BB1C1C，故B1C⊥AO，B1C⊥平面ABO，由于AB?平面ABO，故B1C⊥AB；

（II）作OD⊥BC，垂足为D，连结AD，作OH⊥AD，垂足为H，由于BC⊥AO，BC⊥OD，故BC⊥平面AOD，所以OH⊥BC。又OH⊥AD，所以OH⊥平面ABC。因为∠CBB1=60°，所以△CBB1为等边三角形，又BC=1，可得OD=，由于AC⊥AB1，所以，由 OH·AD=OD·OA，且，得OH=。又O为B1C的中点，所以点B1 到平面ABC 的距离为，故三棱柱ABC-A1B1C1 的高为。

三、基于图表表征考查的试题剖析

例3（填空题第9题）：执行下图的程序框图，若输入的a，b，k分别为1，2，3，则输出的M=

A. 20-3 B. 16-5 C. 7-2 D. 15-8

剖析：许多程序框图题目含有循环结构，学生具体解答时往往对循环几次、何时停止及变量变化为多少等方面存在困难，若利用表格进行简单表征，就能轻松解决问题。

解：

M a b k

初始值 1 2 3

n=1 3-2 2 3-2

n=2 8-3 3-2 8-3

n=3 15-8 8-3 15-8

n=4 15-8

由表格可知：输入a=1，b=2，k=3；n=1时：M=1+ 1-2 = 3-2，a=2，b= 3-2；n=2时：M=2+ 2-3 = 8-3，a= 3-2，b= 8-3；n=3时：M= 2-3 + 3-8 = 15-8 ，a= 8-3 ，b=15-8 ；n=4时：输出M=15-8 。選D。

四、基于背景表征考查的试题剖析

例4（解答题第18题）：从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量表得如下频数分布表：

质量指标值分组 [75，85） [85，95） [95，105） [105，115） [115，125）

频数 6 26 38 22 8

（I）在答题卡上作出这些数据的频率分布直方图（略）：

（II）估计这种产品质量指标值的平均数及方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；

（III）根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品的80%”的规定？

剖析：本题以“某企业生产的某种产品”为背景考查频率分布直方图，平均数及方差等知识，熟悉的生产生活背景材料有利于学生背景表征，也有利于将数学知识应用于实际生产生活。

解：（I）略；

（II）质量指标值的样本平均数为：

x=80×0.06+90×0.26+100×0.38+110×0.22+ 120×0.08=100

质量指标值的样本方差为：

s2=（-20）2×0.06+（-10）2×0.26+0×0.38+（10）2

×0.22 +（20）2×0.08=104

（Ⅲ）质量指标值不低于95的产品所占比例的估计值为0.38+0.22+0.08=0.68。由于该估计值小于0.8，故不能认为该企业生产的这种产品“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品80%”的规定。

综上，数学教师在平时的教学中应关注数学表征，培养学生表征能力，想必能起到事半功倍的效果。

注：福建省教育科学“十二五”规划2015年度立项课题，课题名称：基于课程标准的数学表征考查研究，立项批准号：FJJKCG14—490。