巧用“旋转”解几何问题

郭粉霞

【摘 要】“旋转”作为图形的三大运动之一，在初中数学第十一章图形的运动中和平移、对称两种运动一起出现，学生在学那个章节包括老师在教那个章节时可能侧重点在如何按照要求画出相应的图形上，或许会忽略对于三种运动的性质及其特点的学习或教学，所以会造成学生在后期学习过程中，尤其是在几何证明时不太会巧用图形运动的性质及特点，特别是“旋转”运动的性质及特点来巧解相应的几何问题。我发现，利用“旋转”运动，能够把条件集中化，使图形中的各种关系明朗化，达到促进思维方法和解题能力的提高的目的。我总结了一下这类题目，发现这些题目和图形的“旋转”运动有些关联，所以我对图形的求解进行了一些研究。下面我主要通过几道例题的求解，对两类问题“角的求解和边的求解”进行讨论，这仅是我的心得体会，供大家参考。

【关键词】“旋转”运动；性质及特点；巧解；几何问题

一、巧用“旋转”的性质求角

根据旋转的性质，我们知道对应点到旋转中心的距离相等，对应线段的长度相等，对应角的大小相等，旋转前后图形的大小和形状没有改变，在性质中“对应线段的长度相等，对应角的大小相等”，我们可以利用这个性质将要求的角转换成求旋转图形的对应角，然而图形在“旋转”运动中，往往会产生特殊的图形，我们再通过这些特殊的图形来求对应角，进而求未知角，这样问题就迎刃而解了。通过“旋转”运动，可以将毫无思路的问题明朗化，有助于他们找到准确的解题思路或方向，达到事半功倍的作用。

我们一起来看这样的一个例子：

如图1，P为正方形ABCD内一点，且PA=1，PB=2，PC=3.求∠APB的度数。

分析：我们分析题目，发现题目所给的条件是边长，而所要求的是角度，显然，只有将这些边长组合成特殊三角形（直角三角形或等腰三角形），通過特殊三角形的已知角来求未知角。要想构造特殊三角形，我们知道，通过“旋转”运动可以得到，从而化未知角为已知角来解决问题。又因为所给的图形是正方形，我们发现，正方形的边长是相等的，旋转时有一条对应边正好与正方形的另一边重合，形成了对应的图形△CMB，从而可将求∠APB转化成求对应角∠CMB。且在“旋转”运动的过程中，构成了两个特殊的三角形，即等腰直角△PBM、直角△PMC，正好∠CMB由∠BMP和∠PMC组成，把∠BMP和∠PMC放在△PBM和△PMC中看问题，我们的问题就可以巧妙的解决啦！具体解答过程如下：

解法一：因为四边形ABCD为正方形，所以BA=BC，将△APB绕点B顺时针方向旋转90°，则点A与点C重合，设点P落到的位置为点M，得到△CMB，连接PM，由旋转可知：

图1

△APB≌△CMB.

∴∠3=∠1，∠CMB=∠APB.

MC=PA=1，MB=PB=2.

∵四边形ABCD为正方形.

∴∠1+∠2=∠ABC=90°.

∴∠3+∠2=90°.

即△PMB为等腰直角三角形.

∴PM=，PB=2，∠BMP=45°

又在△PMC中，+=+12=8+1=9，=32=9.

∴+=，

∴∠PMC=90°.

∴∠CMB=∠PMC+∠BMP

=90°+45°=135°.

∴∠APB=135°.

答：∠APB的度数是135°。

解法二：同理，如图2，我们将△PBC绕点B逆时针方向旋转90°，则点C与点A重合，设点P落到的位置为点M，得到△AMB，连接PM，由旋转可知：△BPC≌△BMA.此旋转方法也可以解决同样的问题。

图2

二、巧用“旋转”的性质求边

（1）拓展探究：以上例题还可以进一步拓展，我们将条件和结论互换可以得到下面两道题，将问题转化成求边的问题。问题如下：

问题一：如图3，已知P为正方形ABCD内一点，PA=1，PB=2. 且∠APB=135°，求PC的长。

问题二：如图3，已知P为正方形ABCD内一点，PB=2，PC=3. 且∠APB=135°，求PA的长。

图3

分析：这两道题的条件和结论之间同样没有明显的内在联系，读完题目后，不知从哪里入手来解这样的题。但是，如果我们记着第一题的解题方法，即巧用旋转，将所给的条件往一起凑，凑成等腰直角三角形和直角三角形，这样问题就迎刃而解了。（具体的解题方法是：将第二题的解题过程逆过来即可求得PC的长为3，PB的长为1。）

（2）改变条件。如果把条件稍微做些改变，对有些图形仍然可以得到类似的结论。比如将正方形改成等边三角形，运用同样的方法——巧用“旋转”运动，也可以解决问题。

请看下题：如图4，已知P是等边三角形ABC内一点，PA=2，PB=，PC=4

求△ABC的边长

图4 图5 图6

分析：这题咋看似乎没有任何方向，但我们会发现2、、4是一组勾股数，如果能构造一个以PA、PB、PC的长度为三边的直角三角形，那问题就可以得到解决了，这可能就是解决问题的突破口。显然，如果我们想要出现相等的线段，构造出特殊的三角形，我们可以尝试上述解题方法——巧用“旋转”运动来解决问题。题目中已经有了等边三角形，利用“旋转”把或者绕着C点或B点顺时针或逆时针旋转60°，即可以得到边重合，对应线段相等，同时还有一个新的等边三角形出现，我们所希望得到的以PA、PB、PC的长度为三边的直角三角形也随之出现，如图5、图6所示，由此可见这种方法是多么的实用。

三、总结

其实这类题在构成上或是在解题思路上都是巧用了“旋转”运动的性质及其特点，把未知的条件转化成已知的特殊图形，使条件集中化，这样图形中的各种关系就清晰可见了，这种方法往往会成为解题的突破口。通过“旋转”运动的性质及其特点来帮助解题，不仅可以巧解学生眼中的难题，还可以促进思维方法和解题能力的提高，达到良好的效果。

“旋转”的性质在几何证明中不仅仅只有这些，它在其他方面也有比较广泛的运用，本文只是结合教学过程中出现的一些问题，总结了一下自己的经验与心得体会，目的更多的是提醒自己今后在教学中，不要仅仅把目光放在如何应付眼前的考试，只是教会学生如何画图是不够的，还应该启发学生们如何运用“旋转”运动的知识来巧解几何问题，熟练掌握图形运动的性质和特点，发散学生的思维，提高他们思考问题的能力，培养他们对数学的兴趣，为今后的学习做准备。

以上就是我对于“旋转”在几何问题中的作用的一些浅显心得，望其他老师能加以指正。

参考文献：

[1]乌依勤.《浅淡“旋转”在几何证明中的一些应用》.西南模范中学.