系数比例自适应算法的研究

曾明+张婷

作者简介：曾明（1987.6），男，辽宁省锦州人，大学本科，助理工程师，主研方向：光电信息。

摘要：系数比例自适应算法是利用系统的稀疏特性而发展起来的一种新的算法。这类算法为每一个滤波器系数引入一个成比例步长参数，使得成比例步长参数与滤波器系数的估计值成正比，保证了大系数获得大步长，缩短了算法的收敛时间。本文首先介绍了系数比例自适应算法的研究背景及研究现状，然后详细描述了典型的系数比例归一化最小均方（PNLMS）算法，最后重点介绍几种改进的PNLMS算法。

关键字：稀疏 PNLMS 步长控制 比例步长参数

中图分类号：TN2 文献标识码：A 文章编号：1672-3791（2015）03（c）-0000-00

Research of Proportionate Adaptive Algorithm

Zeng Ming1 ， Zhang Ting2

（Opto-electronics Research Academy of China Electronics Technology Group Corporation， Tianjin 300308 China）

Abstract： The proportionate adaptive algorithm is a new developed algorithm with the sparse characteristics of the system. Such algorithms introduce a proportional step-size parameter for each filter coefficient， so that the proportional step-size parameter is proportional to the estimated value of filter coefficients， to ensure that the large coefficients obtains stride length and shortens the convergence time. This paper introduces the research background and research status coefficient of the proportionate adaptive algorithm， and then it describes a typical proportionate normalized least-mean-squares adaptation （PNLMS），and finally focuses on several improved PNLMS.

Key words： Sparse PNLMS Step control Proportional step-size parameter

1、引言

随着信号处理技术的发展，自适应信号处理在诸多领域得到广泛的应用，例如：电信、雷达和声纳处理、地球信号处理以及医学信号处理等。系数比例自适应算法，又称稀疏的自适应滤波算法，在处理稀疏冲激响应时非常有效。稀疏冲激效应，是指仅有少量系数具有显著的值，而其他系数值全为0或者非常小的冲激响应，比如，网络回声路径，尽管需要用大量的滤波器系数来建模网络回声路径，但仅有很小一部分的系数值非零（可称为“活动系数“），而其它的都为0或者值很小可以忽略（可称为“非活动系数”）。对于一个具体的长度为64ms或者128ms的网络回声路径，仅仅有4ms至12ms的系数是活动系数，而其它的则是为了建模网络传输时延，这些系数值都非常接近于0。除了网络回声路径外，地层的冲激响应以及水下的地震冲激响应也都是典型的稀疏冲激响应[1]。

本文详细描述了典型的系数比例归一化最小均方（PNLMS）算法，最后重点介绍几种改进的PNLMS算法。

2、系数比例自适应算法（PNLMS）

在传统自适应滤波器算法中，没有考虑到未知线性系统冲激响应的结构特点，简单的为每一个权重系数分配一个相同的步长参数，结果对于小的权重系数被分配给较大步长参数，迭代较少次数就可以收敛到其最优值，而对大的权重系数分配同样大小的步长参数，这个同样大小的步长参数相对于大权重系数值显得较小，因此需要更多的迭代次数才可以收敛到期最优值，于是最大权重系数值决定了自适应滤波器整体收敛速度。针对这个问题，Duttweiler提出了 Proportionate NLMS（PNLMS）算法[2]。PNLMS算法将一个步长控制矩阵G（n）引入NLMS算法中，该控制矩阵在n时刻为每一个滤波器权重系数分配一个与其绝对值成正比的步长参数。这样不同的滤波器权重得到与其自身收敛要求相适应的步长参数，从而显著提高了算法的收敛速度。步长控制矩阵G（n）定义为：

（1）

可以通过下式得到G（n）

（2）

式中gi（n）为每一个滤波器权重系数收敛相适应的步长参数， 的作用是在所有系数为零时防止算法的冻结，其值一般为0.01， 的作用是在某个系数过小或为零时防止算法的冻结，综上所述，系数比例LMS算法的权重系数更新方程可以写为

W（n + 1） = W（n） + G（n）X（n）e（n） （3）

上式为非归一化的形式。一般更新方程的归一化有两种形式。一种形式是使用输入信号向量X（n）的二范数对输入信号X（n）进行归一化，得到正是Duttweiler所提出的归一化形式系数比例NLMS算法即

（4）

式中 的作用是防止由过小输入信号引起的算法发散。另一种形式是使用以系数矩阵G（n）的加权后的输入信号向量X（n）的二范数范数对输入信号X（n）进行归一化，表示如下：

（5）

式中 的作用也是防止由过小输入信号引起的算法发散。

由以上可知，比例系数NLMS算法的关键是它为每一个滤波器权重系数分配了一个与其绝对值成正比的系数，这样在算法的迭代中，较大系数得到了与其相适应的较大的步长参数，从而提高了算法的收敛速度。可惜这种方法的快收敛速度只是在收敛过程前期出现，并不会贯穿整个收敛过程。因为它为大权重系数分配大系数的同时也加剧了大小权重系数所分配比例系数的差异性，那么在收敛过程后期较小权重系数因得不到足够的比例系数收敛速度过慢而成为算法收敛速度的最终主导因素。

自从第一个比例系数NLMS算法提出后，学者提出了各种不同的比例系数NLMS算法，它们的主要不同的在于使用系数比例步长矩阵G（n）的新定义或新的权重系数更新策略来减小大小权重系数得到比例系数的差异性。

3、改进的系数比例自适应算法

3.1 IPNLMS 算法

IPNLMS算法中定义的比例系数步长参数g i（n）为

（6）

式中 [-1，1]是一个调节参数，它的作用是将PNLMS算法与NLMS算法进行调整切换。当 变小时，IPNLMS算法逼近NLMS算法，直到； =-1时，两种算法等价；当 变大时，IPNLMS算法逼近NLMS算法，直到 = 1时，两种算法等价。一种简单的做法是使用 代替 来求得g i（n），因为 范数是非连续的，需要采用一个近似函数来代替，即

（7）

上式中 是一个较大的正整数，以保证对 范数的近似度。因此式（6）可以写为： （8）

这就是基于 范数的IPNLMS算法。在每一个系数比例参数中加入当前时刻滤波器权重系数向量估计值的均值，这样在计算比例系数矩阵G（n）时，滤波器权重系数的估计误差带来的负面作用可以得到部分消除。因此，无论未知系统冲激响应稀疏度度如何，IPNLMS算法都可以保证了相当快的收敛速度。

3.2 MPNLMS 算法

在MPNLMS算法中g i（n）定义为

（9）

式中 是一个经验值，一般取1000。

相比于其他的比例系数自适应算法，MPNLMS算法具有更快的收敛速度，更重要的是当未知系统的冲激响应稀疏度不够时其收敛性能不会像PNLMS算法恶化的那么严重。但是它存在一个致命的缺点：无论对于专用DSP器件还是FPGA，每次迭代中的L次对数运算都是极高的计算量，尤其是对于长阶数的稀疏冲激响应自适应滤波器。总得来说它理论价值很高却难以工程应用。

3.3 IMPNLMS 算法

为了使算法也能够处理不同稀疏度下的冲激响应，Ligang Liu提出了IMPNLMS算法该算法的比例步长参数为：

（10）

通过进行大量的仿真，发现 和 之间存在一定的关系，为

（11）

（12）

对于稀疏度的定义为[9]

（13）

其中， 不再像在IPNLMS算法中是一常数；在此， 是一个与稀疏度 相关的变量，或者说，它会随着稀疏度的变化而变化。因此，该算法能够自动检测到冲激响应的稀疏变化情况，然后自适应地去调整相应的参数，从而能在稀疏度多变的环境下获得较好的性能。Ligang Liu的仿真实验也证实了 IMPNLMS算法的有效性。在稀疏度较低的情况下，IMPNLMS算法要比MPNLMS算法收敛更快；在冲激响应时变的环境下，IMPNLMS算法跟踪能力要比MPNLMS算法好。

3.4 SPNLMS 算法

为了使MPLNMS算法便于工程应用，必须降低该算法的计算量，Deng采用一个折线函数来替代对数运算，进而提出了 SPNLMS算法。该折线函数主要分为两段，第一段是可以保证小系数得到与之相适应的比例步长参数，从而确保算法的后期收敛速度；第二段是可以保证大系数得到与之相适应的比例步长参数，即保证大小权重系数的比例系数差异性不至于过大。这个分段函数定义如下：

（14）

使用上式替代式（9）中的对数函数即可得到SPNLMS算法。该算法收敛速度几乎与MPNLMS算法相当，而计算量几乎与PNLMS算法以及IPNLMS算法相当。

4、结束语

系数比例自适应算法利用了长冲激响应的稀疏结构特征，为每一个滤波器系数引入一个新的步长参数，即比例步长参数。本文详细阐述了典型系数比例自适应（PNLMS）算法的基础上，分别介绍了几种改进的PNLMS算法：IPNLMS、MPNLMS、IMPNLMS及SPNMLS。这些算法通过比例步长参数，使其在处理稀疏冲激响应具有良好的性能。

参考文献

[1] Z. Chen， S. L. Gay，and S. Haykin. Proportionate Adaptation：New Paradigms in Adaptive Filters，in S. Haykin and B. Widrom Eds. Advances in LMS Filters，ch. 8. Wiley，2005.

[2] Hongyang Deng， Doroslovacki， Proportionate adaptive algorithms for network echo cancelers， IEEE Transactions on Signal Processing， vol：54，pp.1794-1803， May 2006.

[3] S.L Gay，An efficient， fast converging adaptive filter for network echo cancellation， the 32nd

Asilomar conference on signals，systems and computers （ACSSC 1998），Pacific Grove，Calif，USA， pp.394-398， Nov.1998.

[4] H.Deng and M.Doroslovacki， Improving convergence of the PNLMS algorithm for sparse impulse response identification，IEEE Signal Processing Letter，vol.12， no.3，pp.181-184，Mar.2005.

[5] J. Benesty， S.L. Gay，“An improved PNLMS algorithm”， Proceedings of the IEEE International Conference on Acoustic， Speech and Signal Processing， pp. 1881-1884， 2002， Orlando， Florida， USA.

[6] Zhengxing Huang， Guan Guit，Anmin Huang， Dong Xiang， and Fumiyki Adachi，Regularization Selection Method for LMS-Type Sparse Multipath Channel Estimation，2013 19th Asia-Pacific Conference on Communications （APCC），Bali - Indonesia.

[7] H.Deng and M.Doroslovacki ， Proportionate adaptive algorithms for network echo cancellation，IEEETrans Signal Processing， vol.54， no.5，pp. 1794-1803， May.2006.

[8] H.Deng， Adaptive algorithm of sparse impulse response identification， Doctoral Dissertation，

Dept. of electrical and computer engineering，George Washington University， Washington，DC， Mar.2005.

[9] Ligang Liu， Fukumoto and M. Saiki.s， An improved mu-law proportionate NLMS algorithm，

Acoustics， Speech and Signal Processing ICASSP， Las Vegas， NV， March 31 2008：pp.3797-3800.