概率论与数理统计分析中易混淆问题探析

吕福起

摘 要：在《概率论与数理统计》课程的学习中，有一些知识点在以往的学习中接触过，但往往有所区别，本文结合该课程特点，对课程中易混淆的这些知识点做了统计，并结合教学实例对相关问题做了探析。首先，文章对课程的重要性和复杂性做了分析，然后，统计了在该课程中容易混淆的知识点，最后，结合教学中的事件的和与集合中的并的不同以及求分布函数中换元前后的区别两个实例，对本文中提到的问题加以探析，以希在今后教学中能对容易出现混淆的地方有所把握，更好的适应课堂教学，让学生能够加深对知识理解的深度，为后继课程的学习打好基础。

关键词：概率 随机试验 分布函数

中图分类号：O21：G64 文献标识码：A 文章编号：1672-3791（2015）05（a）-0214-02

该课题研究者从事大学数学课程教育多年，从实践教学经验中得出《概率论与数理统计》这门课程有一些重要知识点很容易和以往学习过的相关知识发生混淆。在近几年的教学中发现，学生对这些容易混淆的知识点往往弄不清楚，从而很难学好该课程。针对这些问题，该文对这些知识点作了统计，并结合教学实例对这些知识点加以辨析。根据这些实例方法指导教学，这样在教学中能够对这些知识点的传授做到重点突出，讲解透彻，让学生理解问题的实质，从而把知识弄懂记牢，为后续相关专业课程的学习打好基础。对这些容易混淆的问题，已有作者也做了相关统计分析[1]，并给出了很好的实例，问题论述清晰，但该文看问题的角度和实例不同，希望能够和各位专业人士探讨，共同做好该课程的教学工作。

1 概率论与数理统计课程特点

《概率论与数理统计》这门课程是大学数学基础课中难度比较大的课程，比较抽象且枯燥缺乏趣味性[2]，主要学习的是随机问题，很难定量计算，计算结果很多问题难以实际检验。学习课程对学生的要求比较高，至少要学习完《微积分》课程才可以。学习该课程能够很好地培养学生的逻辑思维和抽象思维能力，而且这门课程是学生学习专业课程的基础，是非常重要的一门课程[3]。由于这门课程的抽象性和复杂性和以往学习过课程相似的地方，导致学生在学习这门课程中容易出现混淆，对学习知识掌握不够清晰，容易在学习中出现问题。

2 学生学习中容易出现混淆的地方

高中阶段学生学习过集合的概念，在《概率论与数理统计》中与事件的和运算容易混淆。两者有相通的地方，但也有区别，比如集合中的“”，在该课程中体现为事件的和，用“”或“”来表示，很多同学把事件的和当作加法来做，结果出现问题。

《概率论与数理统计》中的频率与概率的概念，互不相容事件与相互独立事件，条件概率与无条件概率，多个事件两两独立性与相互独立，多维连续型随机变量函数的分布积分限的确定，分为换元前和换元后的不同之处等问题都是在课程学习中容易混淆的地方。对以上问题，学习中应特别注意辨析，加强对知识理解的准确性和完善性，提高学习效果和职业能力[4]。

3 混淆解决实例

实例1 设为某随机试验中的三个事件，则事件“至少有两个发生”如何表示？

“至少发生两个”可以分解为“恰有两个发生”和“三个都发生”两种情形之和：，利用分配律也可以表示为：。

很多同学无法利用事件的分配律把化简成

，其主要原因就是把式子中的“”真的看成相加了，而其实质上是“”，就是把“”和“”混淆了。其推导过程：

实例2 设随机变量与相互独立， ，在上服从均匀分布，试求的概率密度。

例题由条件知，

利用分布函数法：（如图1）

令，则和的取值范围为：，因此

这里由于积分变量为和，积分上下限均与和无关，因此上述换元后的积分变成一个矩形区域的积分，所以交换积分顺序：

因为与相互独立，所以，

由变上限积分求导方法得：

或根据独立性和卷积公式[5]得：

该题有学生采用分布函数法不会做，或者基本会做，但是由于对定积分换元法的不熟悉，换元后交换积分顺序不懂，结果做不下去。这些都是学生在学习中应特别需要主要的地方。

4 结语

该文根据《概率论与数理统计》这门课程的特点分析了课程中易混淆的地方，并结合例题探析这些容易混淆的地方该如何学习。在教学中，教师要尽力去对容易出现混淆的地方多举例说明，培养学生的课程学习兴趣和对易混淆问题的辨析能力，以利于学生后继课程的学习。

参考文献

[1] 蔡鸣晶.巧选例题辨析概率统计中几个容易混淆的概念[J].职业教育研究，2012（7）：95-96.

[2] 徐相建.概率论与数理统计课程的教学研究[J].高师理科学刊，2015（1）：58-64.

[3] 李双.《概率论与数理统计》教材与实践[J].数学教育学报，2012（5）：84-87.

[4] 李志军.以职业素养训练为中心的概率统计教学改革[J].教育与职业，2013（17）：140-141.

[5] 袁德美，安军，陶宝.概率论与数理统计 [M].高等教育出版社，2011，6（1）：88-91.