椭圆参数估计在光纤干涉传感系统的应用

王凯 武帅 贺胜男 李丹丹 樊彦恩 陈信伟

摘 要：为解决小信号情况下相位生成载波光纤干涉传感器系统参数校准与估计问题，文章比较了基于误差代数距离的最小二乘拟合方法、含椭圆约束的基于误差代数距离最小二乘拟合方法、基于误差几何距离的最小二乘拟合方法三种椭圆参数拟合方法的性能，为系统参数校准能够选择相应的参数估计方法提供了依据。

关键词：相位生成载波（Phase Generated Carrier，PGC）；光纤干涉型传感器；椭圆参数估计；伴生调幅模型

1 背景

基于半导体激光器直接调制的PGC干涉信号分别乘以一倍频载波和二倍频载波信号并经过低通滤波器，可获得存在正交偏差、幅值偏差以及零点偏移的调制信号的正余弦信号，该两路检波信号理论上满足椭圆方程。通过椭圆曲线拟合方法可以估计出解调系统所有关键参数。

在某些实际场合，由于可用于传感系统内校正的输入被测量幅度小或者光纤传感器本身的灵敏度低等原因，用于测系统参数的单频相位调制信号幅值可能无法达到π弧度，这样两路检波信号的李萨茹图就无法张成一个完整的椭圆，而是椭圆的一部分，在系统噪声影响下，几种椭圆参数估计的精确度是否还可以满足系统要求，是文章研究的主要内容。

2 PGC解调模型参数估计方法

伴生调幅干涉信号经过本地1倍频载波，2倍频载波相乘并经过低通滤波器后，得到两路检波信号[1]：

（1）

易知两路检波信号可构成椭圆方程，通过可以椭圆参数估计得到解调算法需要的三个关键参数，即：

（2）

基于残差代数距离的最小二乘拟合方法（Algebraic Distance Least Square Method， ADLSM）数学模型描述为[2]：

min■[F（？茁，？锥i）]2=min||F（？茁，？锥）||22（3）

其中N为测量数据点数，||X||2表示向量X的2-范数，F（β， X）=（ F（ β， X1），…，F（ β， Xi），…，F（ β， XN））T。

基于代数距离的具有椭圆约束的最小二乘拟合称为ERADLSM（Ellipse Restriction Algebraic Distance Least Square Method， ERADLSM），该方法保证拟合得到的方程是椭圆，而不是其他二次曲线，文章ERADLSM采用文献[3]介绍的矩阵拆分方案得到满足约束的椭圆代数方程系数向量。上述两种方法都是基于误差代数距离估计，属于有偏估计。

将残差定义为测量数据点到拟合椭圆最短的几何距离，采用几何距离最小二乘方法，理论上可以实现椭圆曲线的无偏估计。基于残差几何距离的最小二乘拟合方法（Geometric Distance Least Square Method， GDLSM），其数学模型为：

（4）

其中N为测量数据点数，椭圆曲线几何参数为GP=（Xc，Yc，a，b，θ）T。

文章基于几何距离的椭圆参数估计的方法采用文献[157]报道的方法，该方法运用了高斯-牛顿（Guass-Newton）数值迭代计算。

3 相位调制信号幅值对参数估计精确度影响

文章通过仿真手段对该问题进行研究。仿真中设置系统噪声：输入电路噪声为高斯白噪声，单边带（0～fs/2）功率谱密度为-130dB ref：V2/Hz，其噪声rms值为141.4μV；输入相位噪声为高斯白噪声，单边带（0～fs/2）功率谱密度为-90dB ref： rad2/Hz，其噪声rms值为14.1mrad；输入光强RIN噪声为高斯白噪声，单边带（0～fs/2）功率谱密度为-140dB ref：1/Hz，其噪声rms值为44.7×10-6。

光纤传感解调系统仿真参数设置为干涉信号直流电压相关项kI0=1.5V，相位载波调制深度C=2.6，干涉条纹衬比度ν=0.8，m=0.15，？渍m=3.4，载波频率fc=40KHz，采样率fs=10fc，参数估计所加相位调制信号频率fsig=200Hz，干涉仪初相？渍0=0，干涉信号持续时间为3/fsig，采样点数6000点。根据上述条件理论计算解调模型参数为：K1e/K2e=1.029；δ0=-0.192；δ1=0.123。检波环节数字低通滤波器采用等波纹设计方法，通带临界频率fpass=10KHz，阻带临界频率fstop=30KHz，通带纹波Apass=0.001 dB、阻带衰减Astop=80dB，阶数95阶。各次仿真实验测系统参数的调相信号幅度依次降低，分别为0.5π， 0.25π，0.2π，0.15π。GDLSM参数初值选用ADLSM的拟合结果，此外规定如果GDLSM椭圆几何参数迭代次数超过21次视为不收敛，退出迭代计算，以当前值作为几何参数输出。每次实验独立重复仿真30组，参数估计统计结果以及解调结果见表1～3。拟合情况如图1（a）～（d）。

表3 不同调制幅值D下，系统噪声对椭圆参数估计获取参数

进行解调THD均值比较

图1（a） D=0.5π一组数据椭圆拟合

图1（b） D=0.25π一组数据椭圆拟合

从仿真实验中可见，由于输入相位调制幅度D没有超过π，两路检波信号构成的椭圆不完整，在噪声影响下，不同椭圆拟合方法的准确度相差很大：当D为0.5π rad，GDLSM和ADLSM两种方法参数估计准确度接近，尤其在估计参数K1e/K2e时，GDLSM和ADLSM估计准确度高出ERADLSM方法近一个数量级。当D为0.25π rad，GDLSM方法参数估计准确度最好，ADLSM次之，ERGDLSM方法得到的K1e/K2e参数估计相对误差达到了13.61%。当D为0.2π rad，GDLSM方法参数估计准确度依然最好，ADLSM次之，ERGDLSM方法得到的K1e/K2e参数估计相对误差达到了50.48%。然而当D进一步降低至0.15π rad时，几种方法拟合准确性均很差，尤其是提供给GDLSM的初值不可靠，造成其迭代不收敛，拟合效果误差很大，从而使得解调出错。

4 结束语

文章研究表明，当系统参数估计测试条件没有办法保证外加相位调制信号幅值超过π时，幅值大于0.2π rad（即1/5椭圆曲线）情况下，应优先选择GDLSM方法进行参数估计，可以确保该方法得到的参数估计准确度满足工程实验的需要。

参考文献

[1]Kai Wang，Min Zhang，Fajie Duan， et al. Measurement of the phase shift between intensity and frequency modulations within DFB-LD and its influences on PGC demodulation in fiber-optic sensor systeml[J].Appl.Opt，2013，52（29）：7194-7199.

[2]A.Fitzgibbon， M.Pilu， R.B.Fisher. Direct least square fitting of ellipses， IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence，1999，21：476-480.

[3]R.Halir， J.Flusser， NUMERICALLY STABLE DIRECT LEAST SQUARES FITTING OF ELLIPSES， Proc.6th International Conference in Central Europe，1998.

[4]S.J.Ahn， W.Rauh， M.Recknagel， Ellipse fitting and parameter assessment of circular object targets for robot vision， Intelligent Robots and Systems，IROS'99 Proceeding，1999，1：525-530.

作者简介：王凯（1985-），男，安徽省芜湖市人，现任中国电子科技集团公司第三十八研究所微波光子学研究中心工程师，博士学位，主要从事光纤传感与解调技术、微波光子技术等方面研究。