具有微分算子的分数阶微分方程边值问题解的存在性与唯一性

吴贵云, 刘锡平, 杨 浩

(上海理工大学理学院,上海 200093)

具有微分算子的分数阶微分方程边值问题解的存在性与唯一性

吴贵云, 刘锡平, 杨 浩

(上海理工大学理学院,上海 200093)

研究一类具有分数阶线性微分算子的Riemann-Liouville型分数阶非线性微分方程两点边值问题解的存在性和唯一性.通过求出相应边值问题的Green函数并证明其性质,建立积分算子方程,应用压缩映射原理证明了这类边值问题解的存在性与唯一性定理.运用Krasnoselskii’s不动点理论建立并证明了该边值问题解的存在性与唯一性定理.最后给出了两个应用实例,用以说明本文所得结论的有效性.

Riemann-Liouville分数阶导数;分数阶微分方程;微分算子;边值问题;存在性与唯一性

由于分数阶微分方程在工程技术和科学研究中具有广泛的应用背景,因此,分数阶微分方程理论研究受到了广泛关注.近年来,有大量关于分数阶微分方程边值及初值问题的研究成果出现,参见文献[1-10]以及其中的参考文献.

对于一些较复杂的问题,常常用微分算子方程来描述.文献[1-2]讨论了具有线性微分算子的分数阶微分方程初值问题正解的存在性.本文研究一类具有线性微分算子的分数阶微分方程两点边值问题解的存在性和唯一性.

1 准备工作

本文研究具有线性微分算子的分数阶微分方程两点边值问题

解的存在性和唯一性,其中线性微分算子L(D)= Dα-rtnDβ,n是非负整数,r∈瓗,0＜β＜1＜α＜2,且Dα,Dβ是标准的Riemann-Liouville分数阶导数.f:[0,1]×瓗→瓗是非线性连续函数.

有关Riemann-Liouville型分数阶积分与分数阶导数的定义请参考文献[3].

引理1[4]若x在[0,+∞)上是连续的,且0＜β＜1,β≤α,那么

引理2 设r∈瓗,n是非负整数,0＜β＜1＜α＜2,则边值问题(1)与积分方程

证明 运用分数阶微积分的相关引理可以得出方程L(D)x(t)+f(t,x(t))=0的等价方程为

式中,c1,c2为任意常数.

根据边界条件可求得

引理3 设r∈瓗,0＜β＜1＜α＜2,n为非负整数,则函数G(t,s),Hk(t,s)具有以下性质:

a.G(t,s)连续,并且0≤G(t,s)≤G(s,s),

证明 a.由函数的定义式(2),易得G(t,s)连续,并且G(t,s)≥0.

当s＜t时,有

2 主要结论

下面应用Krasnoselskii’s不动点定理研究边值问题(1)解的存在性.

根据Krasnoselskii’s不动点定理[11],可得边值问题(1)至少有一个解.

3 应用举例

以下给出两个实例,用于说明所得到的主要结论.

例1 考虑具有线性微分算子的分数阶微分方程边值问题

综上所述,边值问题(4)满足了定理1的条件,根据定理1,边值问题(4)存在唯一解.容易看出x(t)≡0不是边值问题(4)的解,因此,边值问题(4)存在唯一非平凡解.

例2 考虑分数阶微分方程

容易验证,边值问题(5)满足定理2的条件,根据定理2,边值问题(5)至少存在一个解,并且该解为非平凡解.

[1] Băleanu D,Mustafa O G.On the global existence of solutions to a class of fractional differential equations [J].Computers&Mathematics with Applications, 2010,59(5):1835-1841.

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[10] 金京福,刘锡平,窦丽霞,等.分数阶积分微分方程边值问题正解的存在性[J].吉林大学学报(理学版), 2011,49(5):823-828.

[11] 郭大钧,孙经先,刘兆理.非线性常微分方程泛函方法[M].2版.济南:山东科技大学出版社,2005.

(编辑:丁红艺)

Existence and Uniqueness of Solutions for Boundary Value Problems of Fractional Differential Equations with Differential Operator

WUGuiyun, LIU Xiping, YANGHao
(College of Science,University of Shanghai for Science and Technology,Shanghai 200093,China)

The existence and uniqueness of solutions for a class of two points boundary value problems of Riemann-Liouville nonlinear fractional differential equation with linear fractional differential operator were considered.Through finding the Green function of the boundary value problem and determining its properties,an integral operator equation was established and some sufficient conditions for the existence and uniqueness of solutions were derived by applying the contraction principle and the fixed point theorem. Some examples were given to illustrate the results.

Riemann-Liouville fractional derivative;fractional differential equation; differential operator;boundary value problem;existence and uniqueness

O 175.8

A

1007-6735(2015)03-0205-05

10.13255/j.cnki.jusst.2015.03.001

2014-03-03

国家自然科学基金资助项目(11171220)

吴贵云(1990-),女,硕士研究生.研究方向:应用微分方程.E-mail:763924848@qq.com

刘锡平(1962-),男,教授.研究方向:应用微分方程.E-mail:xipingliu@usst.edu.cn