“绝对值型函数”的求解策略

丁永前

【摘 要】在近几年各地的高考或模拟考试中，含有绝对值的函数的求解层出不穷，我们不妨称之为“绝对值型函数”，绝对值型函数是大部分考生的弱点，更是难点所在，因为这类题目主要考察学生对基本函数的掌握和去绝对值的思想灵活运用的能力，若是基本功不扎实不能转化为已学的基本函数类问题求解，若是灵活运用的能力不强，则不能通过知识的迁移将转换后的问题进行求解。

【关键词】绝对值的函数;函数求解

本文笔者通过对这类问题的思考，谈谈解决绝对值型函数的常用解法。

1.形如“y=|f（x）|”型。这是单一绝对值型函数，不论f（x）是已知函数还是含参数的未知函数，都可对f（x）值的正负进行分类讨论。

例1.（2014年淮阴市模拟试题）已知函数f（x）=ex，⑴求证：f（x）≥x+1;⑵求证：对任意的正数a，总存在正数x，使得  -1<a成立。

解析：第⑴小题利用导数可求得函数g（x）=ex-x-1在x=0处求得最小值为0，故f（x）≥x+1得证;第⑵小题的绝对值若利用第⑴小题的结果进行分析，可变形为  =  =  即证明对任意的a∈（0，+∞），总存在x∈（0，+∞）使得不等式f（x）-1-x<ax成立。只要证对任意的a∈（0，+∞），关于x的不等式ex-（a+1）x-1<0在（0，+∞）上有解。设u（x）=ex-（a+1）x-1，则u′（x）=ex-a-1，由u′（x）=0有x0=ln（a+1）>0，当x∈（0，x0）时u′（x）<0;当x∈（x0，+∞）时u′（x）>0。所以函数u（x）在（0，x0）为单调递减，在（x0，+∞）为单调递增。而u（0）=0，所以u（x0）<0，故ex-（a+1）x-1<0在（0，+∞）上有解，原题得证。

2.可转化为“f（x）=x|x-a|”型函数。该型函数的图像为关于x轴对称的两个二次函数在区间（-∞，a]和[a，+∞）上的两个不同部分，如图：

例2.（2014年徐州模拟题改编）已知a≠0，若函数f（x）=x|x-a|在区间（m，n）上既有最大值又有最小值，分别求出m，n的取值范围 （用a表示）。

解析：由函数在开区间（m，n）上既有最大值又有最小值，则最大值、 最小值只能在函数的极值点处取得，由f（x）x2-ax（x≥a）-x2+ax（x<a），当a>0时，由右图可知极小值为0，极大值为  所以函数在开区间（m，n）上的最小值为f（a）=0，最大值为f（  ）=  ，可知0≤m≤  ，n>a，且n2-an≤  ，解得a<n≤  ;当a<0时，求得  ≤m<a，  <n≤0。

3.形如“f（x）=|x-a|+|x-b|”或“f（x）=|x-a|-|x-b|”（其中a，b为已知的常数）的函数.这是双绝对值型函数中的类型，可用正负性分类讨论的方法或者用数轴的几何意义将绝对值去掉， 由f（x）=|x-a|-|x-b|有图形⑴则f（x）≥|a-b|;由f（x）=|x-a|-|x+b|有其图形⑵则-|a-b|≤f（x）≤|a-b|。

例3.（2014年湖北卷高考题改编）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x>0时，f（x）=|x-a2|+|x-3a2|-4a2，若对任意的x∈R，都有f（x）≤f（x+2）成立，则实数a的取值范围为   。

解析：本题即为f（x）=|x-a|+|x-b|型函数，又3a2≥a2≥0，所以|x-a2|+|x-3a2|≥2a2，则当x>0时f（x）≥-2a2且与x轴的交点为（4a2，0），由奇函数可知：当x<0时f（x）≤2a2，且与x轴的交点为-（4a2，0），如图。因为f（x）≤f（x+2）对任意的x∈R成立，所以f（x+2）的图像恒在f（x）的上方或有部分重合，当f（x）向左平移8a2个单位时为临界值，从而有f（x）向左平移大于或等于8a2个单位时能满足题意，故由8a2≤2解得-  ≤a≤  。

例4.（2014年南通模拟试题）设实数a使得不等式|2x-a|+|3x-3a|≥a2对任意实数x恒成立，则满足条件的a所组成的集合为       。

解析一：设函数f（x）=|2x-a|+|3x-2a|。方法一、对a的正负性进行讨论，去掉绝对值，实质为求a>0和a<0两种情形之下分段函数的最小值问题。对a分类讨论为：当a≥0时，有x<  ，f（x）=3a-5x;  ≤x≤  时f（x）=a-x x>  ;f（x）=5x-3a。由图像可得x=  时函数取得最小值，此时a≥0且  ≥a2;解得0<a≤  ;同理：当a<0时，有x<  f（x）=3a-5x;  ≤x≤  f（x）=x-a;x>  f（x）=5x-3a由图像可得x=  时函数取得最小值，此时a<0且-  ≥a2，解得-  ≤a<0;当a=0，易知原不等式恒成立.综上所述，a的取值范围为[-  ，  ]。

解析二：转化为f（x）=|x-a|+|x-b|型求解。f（x）=|2x-a|+|x-b|型求解。f（x）=|2x-a|+|3x-2a|=2x-  +3x-  =2（x-  +x-  ）+x-  ，其中2（x-  +x-  ）在[  ，  ]（a>0时）或[  ，  ]（a<0时）上任意一点取得最小值，而x-  在x=  时取得最小值，综上所述：当x=  时原函数取得最小值，故f（  ≥a2）即可，解得a的取值范围为[-  ，  ]。

波利亚在《怎样解题》一书中，阐述了解题者在面对问题时寻求突破的一般思路。因此，教师平时在讲评问题的过程中，应注重对通性通法的讲解，培养出学生自身的解题能力，若从不同的角度思考、观察常常会有“横看成岭侧成峰”的感觉，在面对绝对值型函数的求解，只要认真分析、仔细琢磨参考上述方法，即可找到简洁明快的解题方法。

（作者单位：江苏省如皋市第一中学）