模型思想，通向迁移大道的“光明之路”

严育洪 俞昭英

【编者按】一直以来，有一种误区，义务教育阶段的学生的模型思想的培养，重点在初中，小学阶段对于模型思想的培养并不重视。但实际上，模型思想的建立是学生体会和理解数学与外部世界联系的基本途径。其重要程度，不言而喻。本期专辑，我们来共同关注容易被人忽视，而又无比重要的“模型思想”。

《义务教育数学课程标准（2011）》（以下简称《课程标准》）给数学下的定义是：“数学是研究数量关系和空间形式的科学。”上世纪90年代，数学的定义是：“数学是研究模式的科学。”把这两句话连起来就是：“数学是研究关于数量关系和空间形式模式的科学。”再对照数学模型的定义：“数学模型是用数学语言概括地或近似地描述现实世界事物的特征、数量关系和空间形式的一种数学结构。”我们不难发现数学结构、数学模式、数学模型之间的本质联系，数学教学也就是帮助学生建模的过程。

心理学家布鲁纳指出：“掌握基本数学思想方法能使数学更易于理解和更易于记忆，领会基本数学思想方法是通向迁移大道的‘光明之路。”本文以苏教版三上“间隔规律”一课为例，来具体谈一谈：如何领会数学建模思想，为教学铺设一条通向迁移大道的“光明之路”。

教材所呈现的情境图，教师教学时，一般按照由远到近的事物观察顺序安排知识探究顺序。那么这几组研究对象之间只是种类不同吗？在知识的表现形式上是否也有着区别呢？

其实，这几组事物在知识上有着一定的代表性：兔子和蘑菇的排列方式是离散量的代表，夹子和手帕、木桩和篱笆的排列方式是连续量的代表。数学模型有一个原则是简化原则，利用数学语言（符号、式子与图像）模拟现实的模型。把现实模型抽象、简化为某种数学结构是数学模型的基本特征。如果用△和○分别代表兔子和蘑菇，前者的数学模型可以抽象、简化成“△○△○△○……△○△”，如果把夹子、木桩看成点，手帕、篱笆看成线，后者的数学模型可以抽象、简化成“■”。相对而言，对连续量的理解要难于离散量。以夹子和手帕为例，我们可以用多媒体演示由现实模型抽象成数学模型（线段）的过程。

如果我们把△看成点，○看成线，那么最后，我们还可以把前者进一步抽象成线段图，这样两种不同的研究对象就统一到了相同的数学模型中。数学家斯蒂恩说过：“如果一个特定的问题可以转化为一个图形，那么就整体地把握了问题的思路。"

当然，数学模型具有外推性，原型客体的信息不止于物体，还可以发展成图形、数字、符号的间隔排列，甚至各种元素混搭的间隔排列。如果进一步拓展，还可以是“虚实相间”的间隔排列，例如“把一根木料锯3次，能锯成几段？”这样的生活原型，也可以看成“一一”间隔排列，其中“一”（两端物体）是“实”的木段，还有“一”（中间物體）是“虚”的锯口，抽象成线段图是“■”，可以转换成“■”。不管上述何种对象，我们都可以用上述数学模型表示。

本课教学涉及两个层次的规律发现：首先是两种事物在排列方式上的规律，引导学生建立如线段图的数学模型，然后是两种事物在数量关系上的规律，引导学生建立如字母式“b=a+1”的数学模型。形式决定内容，有了前者在排列上的规律，才会有后者在数量上的规律。需要指出的是，这种间隔排列其实是“人为”构造的规律，并非是事物自有规律，所以建议教师在构造这种排列规律时，不妨加上前提条件“像这样排列……”，让学生明白教材例题中省略号的含义。

数学模型能解释特定现象的现实状态，也能预测到对象的未来状况。除了例题所示的两端物体相同这种情形，我们可以让学生基于“△○△○△○……△○△”，通过增加一个○或减少一个△发现还存在着“两端物体不同”这种情形，其数学模型的表达式变成了“b=a”。

数学模型还能提供处理对象的最优决策或控制，揭示客观对象本质，适应变化。上述模型变式，深究下去，我们不难发现其背后有着相同的模型思想—— “一一间隔”，事物排列对应着“一一对应”的数学思想（图1），这样就把它们统一到了“一一对应”思想的数学模型中。也就是说，记住了“一一对应”思想，图例与公式不记也无妨。

数学模型还具有可推导原则。如果继续推导，我们可以发现除了直线上的一一间隔排列，还有圆周上的一一间隔排列。对后一种情况，在教学中我们可以一物两用——把情境图中的木桩和篱笆围成一周，首先让学生用“数一数”的方法探究规律，然后让学生用“剪一剪”的方法（像项链那样从中间剪开）统一规律，发现就是直线上头尾不同的一一间隔排列的数学模型。

为了帮助学生理清楚、看明白它们之间的转化过程，教师可以做两件事：一是利用板书显示这种结构关系。二是让学生借助双手来练习，首先用一只手，5根手指有4个空，如果两根手指之间夹一根小棒，那么一只手可以夹多少根小棒？然后用两只手，照这样，你认为两只手能夹多少根小棒？只能8根吗？可以夹9根吗（两手并拢）？10根呢（两手围拢）？此时，手势成了学生“掌握”知识的现实模型和学习工具。

如果继续推导，由“一一间隔”可以推导出“一二间隔”“一三间隔”“二二间隔”“二三间隔”等，而这些就是学生在四年级将要学习的“周期规律”。如果教师具有长远眼光，就会有意识地使“间隔规律”与“周期规律”对接。例如，让学生用画圈的方式体现一一对应思想（圈出重复出现部分）。由此可见，“间隔规律”的数学模型可以纳入“周期规律”的数学模型中，是它的特殊情形。

数学模型还有一个原则是反映性原则，除了反映夹手帕、围篱笆、锯木头等现实原型，经典的“植树问题”同样具有相似性。两端都种的数学模型是■，棵数=段数+1；一端种一端不种的数学模型是■，棵数=段数；两端都不种的数学模型是■，棵数=段数-1。对最后一种方案，如果把“段”看成两端物体，那么“棵数=段数-1”就可以转换为“段数=棵数+1”，学生的认识再次得到统一。上述三种排列情形，我们同样可以反映在手势上（图2）。

手势的图像（其实也就是线段图）与公式都可以构造数学模型，但图像或图示让学生印象更深，这得益于“心理意象法”的学习方式。学生在理解和记忆的时候，采用数形结合的方法，尝试在心里用图像来描绘知识比单纯地背诵公式效果要好得多。心理意象法的关键就是把抽象的东西形象化。

模型思想的建立是学生体会和理解数学与外部世界联系的基本途径。这节课属于“找规律”课，按照教材意图只需要让学生找出规律就完成了教学任务，至于“用规律”不作为本课教学目标，但可能有学生会追问：“这个规律学了有什么用呢？”“植树问题”就可以体现本课所学知识的用途。“间隔问题”是“植树问题”的知识准备。为了让学生知道知识的“去处”，在教学的后期，教师不妨续接到“植树问题”。当然，其中的“树”不仅仅只是树，例如生活中的“挂钩问题”同样是“植树问题”，当然也是“间隔问题”。

联想是学习与教学的实质，联想是因关联而发生的想象。学习因关联而存在，教学则是为关联而存在；教学因想象而存在，学习则是为想象而存在。在现实中，有时不用模型思想去探究解决问题，那么一个个问题可能就是相对孤立的问题；用模型思想去探究解决问题，那么一个个问题就可能只是“一个”问题。模型思想可以培养学生的抽象概括能力，学会将纷繁复杂的现实事物抽象概括为同一“数学结构”，体验并掌握数学建模的思想。

这节课的“间隔问题”，可以联想到生活中的“植树问题”，然后又联想出许多实际问题，这是把书教厚的过程，也是模型的“化开”过程，让学生能够举一反三。构建数学模型的目的在于解决实际问题，而这种构建本身就是一种“再创造”；反过来，这么多实际问题最终都可以回到“间隔问题”，这是把书教薄的过程，也是模型的“化归”过程。笛卡尔将数学方法原理加以拓展并作为普遍的思想法则写进他的《方法论》一书中，他把建立数学模型看作重要的方法应用于其他领域，从而设计了一个能解决各种问题的“万能方法模式”。“间隔问题”的数学模型虽然达不到“万能”，但运用其方法原理也能解决一系列实际问题。

在教学过程中进行数学建模思想的渗透，从外在的“形”到内在的“型”，可以使学生感觉到利用数学建模思想解决实际问题的妙处，进而对数学产生更大的兴趣，领会建模思想是一条通向迁移大道的“光明之路”。

（作者单位：江苏省无锡市锡山教师进修学校？摇？摇？摇江苏省宜兴市第二实验小学）