非均匀噪声下基于BOOTSTRAP和特征空间投影的信源数估计

郭立民，冯 凯

（哈尔滨工程大学 信息与通信工程学院，哈尔滨150001）

0 引 言

阵列信号处理在许多应用领域有着重要作用。信源数检测作为信号参数估计的先决条件，是阵列信号处理中至关重要的问题［1－2］。最早的信源数检测问题是采用假设检验，需要人为地设置门限［3］，因而人们提出了预先设定包含门限置信区间的检测方法［4］。经典的信源数检测方法以AIC和MDL 信息论准则为基础［5］，AIC 准则缺乏一致性，MDL 准则是一致估计，但在低信噪比和小快拍数的情况下不能保证检测性能。在文献［6，7］中对MDL 准则做出一些修改来提高其检测性能。近年来，为了适应更加真实的信号环境，提出了许多新方法：文献［8］使用了观测值的概率密度函数，在信息论准则的框架下从样本协方差矩阵获得样本特征值，其缺点是在实际阵列系统中数据分布往往是未知的。一般的信源数检测方法都假设噪声为空间均匀的，噪声的均匀性能够完全利用数据协方差矩阵的特征值所包含的信息，然后实际的阵列噪声往往是空间非均匀的，即各传感器信道噪声不一致时，使得大部分的算法失效。在文献［9］中提到了空间非均匀噪声下信源数检测问题的模型。盖氏圆方法［10－12］能够适用于空间非均匀噪声的环境，但其在信噪比较低时常常会产生欠估计或过估计，且需要对（M－1）×（M－1）阶的矩阵特征值分解，而在波达方向估计中需要M×M 阶特征值分解，因此在获得波达方向是需要做两次矩阵特征值分解，运算量过大。

在许多实际的系统中，高斯数据和大样本数量的假设是无法满足的［13］，所以本文提出了一种基于假设检验的替代方法。提出的假设检验以特征空间投影为基础。零假设下的检验统计量的分布是使 用Bootstrap 方 法 来 估 计 的［14－15］，这 种 方法对高斯分布和大部分非高斯分布都是有效的，且其优点是估计在确定样本数量下的经验分布，而不是渐进分布。因此，提出新方法的优点是可以解决不满足高斯分布和渐进分布条件下的问题。仿真结果表明，所提出的方法在少的样本数量和低信噪比下，有较好的估计性能。

1 数据模型

设N 个远场窄带信号入射到由M 个阵元组成的均匀线阵，入射角为θ1，…，θN，阵元间距为d＝λ／2。信源数N 为未知估计量，则线阵接收的阵列信号为［9］：

式中：X（）t，S（）t 和N（）t 为均值为零的随机过程，为阵列导向矩阵，S（）t 是信号矢量，N（）t 是噪声矢量。

加性噪声假设为零均值的空间非均匀白噪声，其协方差矩阵满足下式：

这里（）·H为矩阵的共轭转置算子，空间非均匀噪声各传感器能量各不相同信号和噪声假设是不相关的，且各自分布未知。阵列协方差矩阵为：

2 信源数检验

2.1 非均匀噪声下的MDL准则

由于传感器噪声能量各不相同，令阵列的任意元素失效来减轻各传感器噪声的作用。简单而不失一般性，第M 个传感器失效，协方差矩阵进行分块：

取M－1维方差的特征空间（即特征矩阵E，满足EEΗ＝I 且RM＝EΣ′EΗ）构成酉变化矩阵［11］：

这样酉变化之后的矩阵为：

矢量c的元素cm幅度值是盖氏圆半径［11］，其指出了特征值多样性和特征矢量对应空间［16］：

从上式可以清楚地看出，两个不同的圆盘，前N个半径ρ1…ρN代表了信号子空间，最小的M－1－N 半径代表了噪声子空间。

当噪声为空间非均匀的情况下，不能通过协方差矩阵的特征值排序来进行信号源检测，我们用所包含的信息来代替。容易得到观测数据的负对数似然方程为［17］：

式（5）定义的酉矩阵TTΗ＝I，我们可以用协方差变换矩阵RT代替式（8）中的R，省略独立于N 的部分，最终我们推导得出的负对数似然函数变为：

根据文献［5］，罚函数可以用来进行信息论准则的信源数检测。一般，MDL 准则可以表达如下：

MDL准则的罚函数被定义为：

2.2 基于盖世圆半径的假设检验

在实际中，如果所有的盖氏圆半径都对应于噪声空间，统计量T1i（半径平方累计和）和T2i（算术均值和几何均值的差异）将非常小（接近于0），否则会比零值大很多。根据这种变化，进行以下一系列独立的假设检验［19］：

检测从H0开始，当接收H0时意味着没有信号源存在，信号源数目为N ＝0。如果H0被拒绝，那么相对的）被接受，意味着至少存在一个信号，然而没有信息能够说明具体存在几个信号。因此，通过逐步进行假设Ηi，最大的盖氏圆半径的作用被减小。当某一假设被接受或者到达HM－2时，检验停止。

对于给定的显著水平α，其含义为当前没有信号存在时，正确检测数信号源数目N ＝0的概率被维持在1－α。因此，每个假设都在显著水平α下被检验。

2.3 提出的新方法

我们知道R 的M－N 个最小的特征值是噪声方差的估计值，为了减小噪声的贡献，执行降噪运算，取RX＝R－γ2I，其中γ2为阵列信号样本协方差矩阵最小的两个特征值的平均值，即γ2＝

由式（3）得出：

式中：bi是A 的行矢量，阵列协方差矩阵可表示为：

式中：Σ和UC分别为阵列信号协方差矩阵特征值组成的对角矩阵和特征矢量矩阵。可以证明，经过降噪处理的阵列信号协方差矩阵为：

式中：Σ′为阵列信号的特征值减去噪声功率估计γ2后组成的对角阵；UC与降噪前相同，UC可以表示为，其中ui是RX的特征矢量，RX的特征值从大到小排列，ui按与其对应的特征值的大小排列，求RX在UC上的投影UΗCRX，其i列为：

由于信号特征子空间与导向矢量在同一空间内，

各信号的功率常常是不等的，为了提高估计性能，对信号功率进行归一化以消除各个信号功率不同对信源数估计产生的影响。投影还可以表示为：

由上式，功率归一化后，RX在UC上的投影就是，因此我们可以用UC估计目标数。ui表示为：第m 行元素模的均值为：

如果特征矢量对应于噪声空间，则检测统计量T1i和T2i接近于零。进行下面的一系列独立的假设检验。实际估计信源数从Η0开始，当前假设被拒绝时进行下一个假设，直到接受为止。

这里显著水平与式（14）的假设检验的显著水平α相同，表示当前没有信号存在时，正确检验出N＝0的概率被维持在1－α。

2.4 Bootstrap对于分布的估计

进行假设检验的显著度估计需要检验统计量的空域分布知识，Bootstrap方法用来进行零假设下的非参数估计［18］。使用Bootstrap方法可以避免对数据分布做出假设。如前文提到的，这个优点是非常重要的。Bootstrap方法的原理是数据样本代表了真实分布的经验估计。因此用Bootstrap 方法重新采样的数据集进行推理。Bootstrap方法避免了小样本情况下的渐进估计的错误。类似地，文献［20］强调了改善复杂的检验统计量的经验分布的估计问题，例如对更少的样本进行重采样。

这里Ti为从数据X（）t 得到的检验统计量，为从重采样样本得到的检验统计量。

文献［20，21］给出假设检验的显著度定义如下：

这里I（）· 为指标函数。因此，检验量为α，从i＝0开始，如果Pi≥α，那么Ηi被接受，否则，设i＝i＋1并且重复检验。

3 仿真结果

线性均匀阵列阵元数目为M ＝5，真实信源数为N ＝2，快拍数为L＝100，重采样次数B＝100，检验量α＝2%信号波达方向为θ ＝，信噪比SNR＝10dB，且最差噪声比WNPR＝10。

这里SNR 和WNPR 定义如下：

蒙特卡洛实验次数为1000，除了特殊说明，假设信号和噪声为高斯分布。

图1为检测器性能与信噪比的关系对比图。信噪比从－15dB变化到20dB，快拍数为100，可以看出，检测器性能随着信噪比的增大而提高。在非均匀噪声的情况下，AIC 和MDL 信息论准则失效。在低信噪比下，所提方法的性能优于GBootstrap算法和NU－MDL 算法，同时在高信噪比下，新方法的检测器性能略好。基于Bootstrap方法的检测器因不需要任何数据分布的先验知识而表现优异。

图2为拉普拉斯信号和高斯噪声，图3为高斯信号和拉普拉斯噪声，可以看出，当信号或者噪声不满足高斯分布时，NU－MDL的性能并没有在高斯分布的情况下表现出来。基于Bootstrap方法的检测器不需要对数据分布做出假设，当信噪比增加时，性能优于NU－MDL。新算法因对阵列协方差矩阵降噪处理，应用信号子空间和噪声子空间的正交性，易于表征投影的大小区分信号和噪声的贡献，所以性能优于GBootstrap算法。新算法的检测性能同高斯分布的情况下基本相同，说明了检测器的鲁棒性较好。

图1 在非均匀噪声下改变信噪比的检测器性能Fig.1 Probability of detection against SNR

图2 在拉普拉斯信号下改变信噪比的检测器性能Fig.2 Probability of detection with Laplacian signals

图3 在拉普拉斯噪声下改变信噪比的检测器性能Fig.3 Probability of detection with Laplacian noise

图4 为信源功率不相等的情况下，检测概率随信噪比的变化。两个信号的功率比为1∶2，信噪比以最小信号功率为基准，由图可见，在信源功率不相等的情况下，新方法依然好于其他两种方法。

图5说明了快拍数对检测器性能的作用。与预期的一样，在快拍数变化时，基于Bootstrap方法的检测器性能随着快拍数增加而提高，当快拍数达到60时，正确检测概率不再变化，趋于稳定。

图4 信源功率不等情况下改变信噪比的检测器性能Fig.4 Probability of detection with signal’s power different

图5 改变快拍数的检测器性能Fig.5 Probability of detection against sample size

图6 改变WNPR 时的检测器性能Fig.6 Probability of detection against WNPR

图6 说明当WNPR 变化时的检测性能。这里假设最小噪声功率为0.1，最大的噪声功率为0.1×WNPR，其他噪声功率在最小噪声功率和最大噪声功率之间随机取值。令WNPR 的值从1变化到45。注意到WNPR 接近1，此时最大噪声功率和最小噪声功率相等，相当于噪声为空间均匀的，所以检测概率最高。从图中可以看出NU－MDL和GBootstrap方法检测器T1对非均匀噪声的敏感性。这里为高斯数据，所提出的新检验方法性能优于NU－MDL 算法和GBootstrap算法，当WNPR 小于15时，检测器T1的检测概率接近于100%，当WNPR 大于20时，新方法的正确检测概率不会随着WNPR 的变化而变化。

图7说明了信号角度分辨率对检测性能的影响。这里令θ1＝10°，并且θ2设置为从10°逐渐变化到26°。检测性能随着角度分辨率的增加而提高，注意到，角度分辨率大于6°时，用所提出的方法的检测器T1是一致估计。

图7 改变角度分辨率的检测器性能Fig.7 Probability of detection against the angular resolution

图8 说明阵元数目M 和快拍数L 对检测器T1性能的联合作用。快拍数从20变化到120，通过不同的阵元数目来衡量其性能。一般来说，检测器的性能随着L 增加而得到改善。另一个重要的观测结果是M 的作用，实际上，随着X（t）维度的增加，Bootstrap需要更大的“最小”快拍数来估计不同变量的经验分布。因此，在L ≤70，M＝8的检测概率要小于M ＝6。另一方面，在某一个数值（比如L ＝80），Bootstrap可给出更好的结果，当增加M 和L，其联合作用明显地改善了检测器的检测概率。

图8 阵元和快拍数的关系以及检测器T1 的性能Fig.8 Relation between M and Land effect on the T1detector’s performance.

4 结束语

文章提出了一种在空间非均匀噪声下的信号检测模型。这种模型基于信号空间和噪声空间的正交性，提出了一系列假设检验，并且数据分布的先验知识未知。所提出的检验统计量是基于特征空间的投影，其在空域下的分布用Bootstrap 方法进行估计。仿真结果表明，所提出的方法在少量样本的情况下，性能优于其他算法，尤其当数据为非高斯数据，或者在低信噪比等不理想的条件下。当重采样次数B 增加时，计算量增大，然而仍在计算机可处理的能力范围内。因此，提出的检测模型在信源数估计问题中，性能优于其他算法。

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