三自由度直线筛分机系统的动力学分析*

白亮亮,沙世名

(兰州交通大学机电工程学院,甘肃兰州 730070)

三自由度直线筛分机系统的动力学分析*

白亮亮,沙世名

(兰州交通大学机电工程学院,甘肃兰州 730070)

用半解析法推导出了一类直线筛分机系统的全响应及Poincaré映射在不动点处的线性化矩阵。基于Poincaré映射法和Floquet理论对系统的Flip分岔、环面倍化分岔进行了分析;用四阶变步长龙格-库塔法编程仿真了系统的运动规律。研究该系统有利于提高筛分机的筛分效率。

筛分机;Poincaré映射;分岔;混沌

0 引 言

机械设备由于配合不当或磨损将导致零部件之间出现间隙,而间隙的存在会引起零部件之间的碰撞,影响系统工作性能。如火车轮轨间的碰撞会影响列车的运行平稳性;系统振动参数的优劣会影响煤炭、矿石等筛分机械的筛分效率[1];齿轮、轴承的碰撞可能给机械设备的正常使用造成隐患,诱发事故。文献[2]分析了一类多自由度含间隙碰撞振动系统周期碰撞的稳定性、分岔及混沌的变迁规律。文献[3]理论分析并且数值验证了一类三自由度碰撞振动系统的周期分岔与叉式分岔。文献[4]对一种在超谐参数激励和非线性周期参数激励下的机械系统进行了研究,发现了新的动力学现象。文献[5]分析了一类四自由度系统不变环面失稳与混沌的形成过程。文献[6]采用六维庞加莱映射法研究了一类三自由度碰撞系统的Hopf-flip余维二分岔问题。文献[7]讨论了一类有弹性冲击的弱阻尼系统的稳定性问题。文献[8]运用理论分析与仿真结合的方式对一类冲击系统的动力学行为进行了系统的研究。

笔者将工业设备中的一类直线筛分机简化成一种三自由度垂向振动模型,运用变步长四阶Runge-Kutta法对系统的二阶微分方程组进行求解,用Poincaré映射理论和仿真模拟法对该系统在特定参数下的Flip分岔、Neimark-Sacker分岔与环面倍化分岔向混沌演化的过程进行研究,并且给出了系统处于稳定状态和发生不同分岔时的具体参数。

1 系统的周期运动及Poincaré映射

图1为直线筛分机的简化力学模型。

图1 直线筛分机简化模型

质量块M1通过刚度系数为K1的线性弹簧和阻尼系数为C1的线性阻尼器交接于底部支撑平面,质量块M3由刚度系数为K3的线性弹簧和阻尼系数为C3的线性阻尼器悬挂于上支撑平面,M2借助于弹簧K2、阻尼系器C2器悬挂在质量块M1下。假设三个质量块只沿着铅垂方向振动,并分别受到简谐激励Pisin(ΩΤ+τ)(i=1、2、3)的驱动。弹簧处于平衡位置时建立如图1所示坐标系,此时M1与M3之间的间距为D,当M1与M3的位移满足条件:X1-X3=D时,M1与M3第一次发生碰撞。碰后瞬时,M1与M3改变速度方向,又以新值开始运动,然后又相撞,这样重复运动。假定力学模型中阻尼器均是Rayleigh型比例阻尼,用恢复系数R确定碰撞过程。

图1所示系统在随意相邻两次碰撞间的无量纲微分方程为:

式中:x·i-,x·i+(i=1,3)表示质块M1与M3碰撞前后的瞬时速度,R为恢复系数。“.”表示无量纲时间t的一阶导数。式(1)中,无量纲量化过程如下:

令ψ表示方程式(1)的正则模态矩阵,ω1和ω2代表系统的固有频率,取ψ为变频矩阵,并且进行坐标变换:

在对该模型的分析过程中,采用Floquet理论来判断系统周期解的稳定性及分岔类型。

2 通向混沌的道路

2.1 由Flip分岔通向混沌的道路

选该系统的一组参数:μm2=2.55,μm3=5.65,μk2=0.05,μk3=3.64,ζ=0.002,f10=1.0,f20=0.0,f30=0. 0,R=0.47,d=0.6,并且令ω为系统的分岔参数,仿真结果表明当ω＜0.038 85时,系统具有一个稳定的周期1,振子在相空间的运动轨迹为一条封闭的曲线,见图2(a);当ω逐渐递增至ω=0.038 85时,该系统突然发生Flip分岔,由周期1运动转变成周期2的轨道,见图2(b);当ω=0.03921时,系统发生周期倍化分岔,进行周期4运动,在相空间表现为4条闭轨迹,见图2(c);当激振频率增大到 ω=0.039 67时,系统的轨迹再次倍化,进行周期8运动;模拟发现系统会一直倍化下去,直到当 ω=0.041 21时,系统进入混沌状态,如图2(d);图2(f)为系统处于混沌状态时的时间历程图,此时系统轨道看似杂乱无序,实则具有自相似性,即它们的运动趋势是相似的。

图2 相图和时间历程图

2.2 由环面倍化分岔通向混沌的道路

如图3为Poincaré映射投影图。

图3 Poincaré映射投影图

另取系统的一组参数:μm2=0.55,μm3=0.65,μk2=0.65,μk3=0.343 5,ζ=0.02,f10=1.0,f20=0.0,f30= 0.0,R=0.470 8,d=0.3,当ω＜0.053 729时,系统具有周期4点轨道,见图3(a);当ω=0.053 729时,周期4运动发生Neimark-Sacker分岔,系统做拟周期运动,存在4×Τ1环面,见图3(b);当ω继续增大,不变圈逐渐失去光滑性,系统的拟周期运动受到干扰,如图3(c);当ω=0.054 045时,拟周期运动突然发生环面倍化分岔,形成4×2Τ1环,如图3(d);随后当ω继续增大,环面会持续发生倍化。当ω=0.054 048时环面倍化成4×4Τ1环面,如图3(e);当分岔参数增大到ω=0.058 093时,Poincaré截面上的环面将继续发生环面倍化分岔,最后演变为混沌状态,如图3(f)所示。(上述表达式中Τ1表示吸引不变圈,p×qΤ1表示环面数为p,环面倍化次数为q)。

3 结 论

在恰当的系统参数下,直线振动筛系统存在周期倍化分岔和环面倍化分岔通向混沌的道路。

由于直线振动筛分离效率的强弱与它的振幅、频率和激振力有密切的关系。选取较大的振幅和激振力会提高筛面和物料的碰撞力,从而增大物料跳动的速度,导致物料与物料之间的撞击、磨损加剧,减小物料的颗粒度,可大大降低振动筛的堵塞率;当振动筛选用较大的振动频率时,可以提高物料单位时间内在筛面上的跳动次数,使得物料穿过筛孔的概率增大,也可以提高分离效率;当振动筛与物料具有相同的振动频率时,物料的分离效果最佳。因此,通过对此类系统在不同参数下的动力学特性进行分析,获得不同频率段系统的运动状态,可在一定程度上帮助人们选择更加恰当的振动特性参数(频率、振幅和振动方向角等),避免振动筛分机运动在混沌状态,比如,在对筛分机进行结构设计时尽量选择周期运动时的系统参数,以提高振动筛的分离效率,使该类设备运行在最佳状态,更好地服务于生产。

[1] 张路霞,李云峰.振动筛筛分效率的影响因素分析[J].煤矿机械,2008,29(11):74-76.

[2] 罗冠炜,俞建宁,尧晓明,等.含间隙振动系统的周期运动和分岔[J].机械工程学报,2006,42(2):87-95.

[3] 张永艳.一类三自由度含间隙系统的动力学分析[J].机械研究与应用,2012,6(1):1-3.

[4] Zhou Liangqiang,Chen Faqi,Chen Yushu.Bifurcations and Chaotic Motions of a Class of Mechanical System with Parametric Excitations [J].Journal of Computational and Nonlinear Dynamics,2015(10): 502-510.

[5] 李万祥,张永艳.一类四自由度系统碰撞问题[J].机械强度, 2013,30(9):11-14.

[6] 成 龙,李万祥.高维复杂碰撞振动系统的概周期环面分岔与混沌[J].机械强度,2013,35(5):594-598.

[7] Knudsen J,Massih A R.Dynamic Stability of Weakly Damped Oscillators with Elastic Impacts and Wear[J].Journal of Sound and Vibration,2003(263):175-204.

[8] Luo Guanwei,Xie Jianhua.Bifurcation and Chaos in a System with Impact[J].Physica D,2001(148):183-200.

Dynamics Analysis of Three-Degree-of-Freedom Shaker Screening System

BAI Liang-liang,SHA Shi-ming
(College of Mechanical and Electrical Engineering,Lanzhou Jiaotong University,Lanzhou Gansu 730070,China)

In this paper,the mathematical expression of full response and linearization matrix of the Poincaré mapping at the fixed point are deduced by using the semi-analytical method.Based on the Poincare mapping method and the Floquet theory, flip bifurcation and torus doubling bifurcation are analyzed.The law of motion is simulated by the forth order variable step Runge-Kutta method.It is helpful to improve the sieving efficiency of the screening machine by studying this system.

screening machine;Poincaré map;bifurcation;chaos

TH113.1

A

1007-4414(2015)05-0011-03

10.16576/j.cnki.1007-4414.2015.05.004

2015-08-23

白亮亮(1990-),男,甘肃天水人,在读硕士,研究方向:车辆工程、非线性振动。