MV-代数的(→,⊕)-微分

王军涛，辛小龙，贺鹏飞

(西北大学 数学学院，陕西 西安 710127)

MV-代数的(→,⊕)-微分

王军涛，辛小龙*，贺鹏飞

(西北大学 数学学院，陕西 西安 710127)

在MV-代数上引入了(→,⊕)-微分,研究了MV-代数(→,⊕)-微分的性质。定义并研究了正则(→,⊕)-微分,并讨论了MV-代数的布尔中心上的(→,⊕)-微分的一些性质。给出了中心主微分的概念,用中心主微分讨论了(→,⊕)-微分与MV-代数其他微分之间的关系。并用中心主微分的不动点之集刻画了Boole代数。最后, 定义并研究了微分MV-代数的微分理想, 并讨论了正则微分MV-代数所有的微分理想组成的集合ID(A)的代数结构。

MV-代数；(→,⊕)-微分；微分理想；布尔代数；Heyting格

MV-代数在文献[1]提出后，不少学者对MV-代数的性质进行了研究，得到了一些重要的结论[2-3]。微分理论来源于分析学，将它引入到代数系统中有助于研究代数系统的结构和性质。一些学者在环和近似环上研究了微分算子的性质[4-5]。2004年文献[6]将环上的微分算子理论引用到BCI-代数中，得到了一些重要的结果。2008年文献[7]将微分算子的理论应用到格上，并利用保序微分算子刻画了模格、分配格。2013年文献[8]深入研究了MV-代数上的(⊙,⊕)-微分和(⊖,⊙)-微分，并刻画了保序(⊙,⊕)-微分。

本文在MV-代数上引入了(→,⊕)-微分的概念, 研究了MV-代数(→,⊕)-微分的一些性质。定义并研究了正则(→,⊕)-微分,并讨论了MV-代数的布尔中心上的(→,⊕)-微分的一些性质。进一步,给出了中心主微分的概念, 并用中心主微分的不动点之集刻画了Boole代数。最后,定义并研究了MV-代数的微分理想,得到了若d是A的幂等正则微分,则(ID(A),∧,∨,→,∅,A)是一个Heyting格,其中ID(A)是微分MV-代数的所有微分理想的集合。

1 预备知识

定义1[2]一个MV-代数是(2,1,0)型代数(A,⊕,*,0)满足下列公理：∀x、y、z∈A,

(MV1)x⊕(y⊕z)=(x⊕y)⊕z;

(MV2)x⊕y=y⊕x;

(MV3)x⊕0=x;

(MV4)x**=x;

(MV5)x⊕0*=0*;

(MV6) (x*⊕y)*⊕y=(y*⊕x)*⊕x。

在MV-代数A中记0*=1并定义二元运算⊙、∧、∨、→、⊖如下：

x⊙y=(x*⊕y*)*;x∨y=(x⊙y*)⊕y;x∧y=x⊙(x*⊕y);x→y=x*⊕y;x⊖y=x⊙y*。

显然,(A,⊙,1)是一个可换含幺半群，且(A,∧,∨,0,1)是有界分配格。在MV-代数中定义偏序关系“≤”为x≤y当且仅当x∧y=x,定义x*=x→0。若A中任意两元素都存在偏序关系，则称A是线性序的。另外，称B(A)={x∈A|x⊕x=x}={x∈A|x⊙x=x}为A的布尔中心，则(B(A)，⊕,*,0)是一个布尔代数。

定理1[2]设A是MV-代数，则下列结论成立：∀x、y、z∈A,

(1)x⊕x*=1,x⊙x*=0;

(2) 若x≤y当且仅当x⊙y*=x⊖y=0当且仅当x→y=1;

(3) 若x≤y,则y→z≤x→z,z→x≤z→y;

(4)x⊙y≤x∧y≤x,y≤x∨y≤x⊕y;

(5)x∨y=(y→x)→x=(x→y)→y;

(6) 若x≤y当且仅当y*≤x*;

(7)x⊕y=y当且仅当x⊙y=x;

(8) (x⊖y)⊕y=x∨y,x⊖(x⊖y)=x∧y;

(9) (x⊖z)⊖y=(x⊖y)⊖z;

(10)x∧(y⊕z)=(x⊕z)∧(x⊕y)。

定理2[2]设A是MV-代数，则下列结论等价：

(1)x∈B(A);

(2)x⊕y=x∨y,∀y∈A;

(3)x⊙y=x∧y,∀y∈A。

定义2[1]设A是MV-代数，I是A的子集，若I满足以下条件：∀x、y∈A,

(1) 0∈I;

(2) 若x∈I,y∈A，且x≤y,则x∈I；

(3) 若x、y∈I，则x⊕y∈I。

则称I是A的理想。

定义3[9]设A是MV-代数，F是A上的子集，若F满足以下条件：∀x、y∈A,

(1) 1∈F;

(2) 若x∈F,y∈A且x≤y,则y∈F;

(3) 若x、y∈F，则x∧y∈F。

则称F是A的格滤子。另外，如果A的格滤子F满足：

(4)∀x、y∈F,若x∨y∈F,则x∈F,或y∈F。

则称F是A的格素滤子。∀α∈A,(a]表示由a生成的滤子，称(a]为主滤子，容易验证(a]={x∈A|x≥a}。

定义4[10]设P是偏序集，P上的二元运算⊕和⊖互为余伴随，若以下条件成立：

(1) ⊕:P×P→P是单调递增的；

(2) ⊖:P×P→P是关于第一变量不减，关于第二变量不增；

(3)c≤a⊕b当且仅当c⊖b≤a,a、b、c∈P。

定义5[11]设(L,∧,∨,→,0,1)为有界格，→为L上的二元运算。(L,∧,∨,→,0,1)是Heyting格，如果下列条件成立：x∧y≤z当且仅当x≤y→z,x、y、z∈L。

取健康小鼠，sc 0.2 mL苯甲酸雌二醇注射液（0.5 mg/mL），每2天1次，共3次。6 d后采用无菌PBS溶液灌洗小鼠阴道3次，将无菌石蜡油涂抹5号头皮针硅胶管，随后缓慢插入小鼠阴道约1.5 cm处，向阴道内接种大肠杆菌（1×109 cfu/mL）及金黄色葡萄球菌（1×109 cfu/mL）混合菌液，接种4 d后采集阴道分泌物涂片，进行革兰染色镜检，考察金黄色葡萄球菌及大肠杆菌感染情况，确定BV模型是否成功（当小鼠阴道明显充血、红肿并伴有大量脓性分泌物时，取分泌物涂片，镜下可见大量的感染菌和坏死细胞，表明小鼠BV模型制备成功[8-9]）。

定义6[3]设A是一个MV-代数，d:A→A是映射。若d满足:∀x、y∈A，

d(x⊙y)=(d(x)⊙y)⊕(x⊙d(y))，

则称d是A的(⊙,⊕)-微分。

定义7[8]设A是一个MV-代数，d:A→A是映射。若d满足：∀x、y∈A,

d(x⊖y)=(d(x)⊖y)⊙(x⊖d(y)),

则称d是A的(⊖,⊙)-微分。

2 MV-代数上的(→,⊕)-微分

本文引入了MV-代数的(→,⊕)-微分，并研究它的一些重要性质。

定义8设A是一个MV-代数,d:A→A是映射。若d满足：∀x、y∈A,

则称d是A的(→,⊕)-微分，(A,d)为微分MV-代数。简记d(x)=dx。

例1设A是一个MV-代数，定义映射d:A→A为dx=1,∀x∈A，则容易验证d为(→,⊕)-微分，称d为平凡(→,⊕)-微分。

例2设A={0,a,b,1},其中0≤a≤b≤1。二元运算⊕和*如下：

容易验证(A,⊕,*,0,1)是MV-代数。定义映射d:A→A如下：d0=b,da=db=d1=1,则d是A的(→,⊕)-微分。定义d1:A→A为d10=a,da=a,d1b=d11=b。由于d1(1→b)=d1b=b,(d11→b)⊕(1→d1b)=1≠b，因此d1不是A的(→，⊕)-微分。

注1例2中的(→,⊕)-微分d,由于d(a⊙b)=d0=b,(d(a)⊙b)⊕(a⊙d(b))=1≠b，因此d不是A的(⊙,⊕)-微分。又d(a⊖b)=b,(d(a)⊖b)⊙(a⊖d(b))=0≠b。故d不是A的(⊖,⊙)-微分。

命题1设d是MV-代数A的(→,⊕)-微分，则下列结论成立：∀x、y∈A,

(1)d1=1;

(2)dx=x⊕dx;

(3)x≤dx;

(4)x≤y,蕴含dx≤dy;

(5)dx→y≤x→dy;

(6)dx→dy≤d(x→y)。

证明(1)d1=d(1→1)= (d1→1)⊕(1→d1)=1。

(2)dx=d(1→x)=(d1→x)⊕(1→dx)=x⊕dx。

(3) 根据(2)知x≤x⊕dx=dx。

(4) 若x≤y，则y=x∨y，因此

dy=d(x∨y)=d((y→x)→x)=d((y→x)→x)⊕((y→x)→dx)≥ (y→x)→dx≥1→dx=dx。

(5) 由定理1(3)和(3)可得。

(6) 由定义8，定理1(3)和(3)可得。

定义9设d是MV-代数A的(→,⊕)-微分。若d0=0,则称d为MV-代数A的正则(→,⊕)-微分。

例3设A是例2中的MV-代数，定义映射d:A→A为d0=0,da=a,db=d1=1,容易验证d是A的正则(→,⊕)-微分。

命题2设d是MV-代数A的正则(→,⊕)-微分，则下列结论成立：∀x、y∈A,

(1) (dx)*≤dx*;

(2)d(x⊕y)≤dx⊕dy;

(3)dx⊖dy≤d(x⊖y)。

证明(1) 根据命题1(6)和d0=0可得。

(2) 由定义8，命题1(2)和(1)知d(x⊕y)=d(x*→y)=(d(x*)→y)⊕(x*→dy)≤(d(x)*→y)⊕(x*→dy)=dx⊕y⊕x⊕dy=(dx⊕x)⊕(dy⊕y)=dx⊕dy。因此,d(x⊕y)≤dx⊕dy。

(3) 由定理1(8)，命题1(4)和(2)可知dx≤d((x⊖y)⊕y)≤d(x⊖y)⊕dy。从而

dx⊖dy≤d(x⊖y)。

下面讨论MV-代数A布尔中心上的(→,⊕)-微分的一些性质，并给出了MV-代数A布尔中心上的(→,⊕)-微分的等价刻画。

命题3设d是MV-代数A的(→,⊕)-微分。则以下结论成立：∀x、y∈B(A)，

(1)d(B(A))⊆B(A);

(2)d(x→y)=(d(x)→y)∨(x→d(y);

(3)d(x→y)=dx→dy;

(4)d(x∨y)=dx∨dy;

(5) 若d0=0,dx*=(dx)*;

(6) 若d0=0,d(x∧y)=dx∧dy。

证明(1) 设x∈B(A)。由命题1(2)和定理2可知d(x)=d(x⊙x)=(x⊙x)⊕dx=dx∨(x⊙x)=(dx∨x)⊙(dx∨x)=(dx⊕x)⊙(dx⊕x)。因此,

dx=dx⊙dx。

(2) 设x、y∈B(A)。由(1)和定理2(2)可知

d(x→y)=(d(x)→y)⊕(x→d(y))= (d(x)→y)∨(x→d(y))。

(3) 由(2)和命题1(6)可得

d(x→y)=dx→dy。

(4) 由(3)和定理1(5)可知d(x∨y)=d((y→x)→x)=d(y→x)→dx=(dy→dx)→dx=dx∨dy，从而d(x∨y)=dx∨dy。

(5) 由(3)和d0=0可知

d(x→0)=dx→d0=(dx)*。

(6) 由(4)和(5)可得d(x∧y)=dx∧dy。

推论1设d是MV-代数A上的一个映射。则以下结论等价。

(1)d是B(A)上的(→,⊕)-微分；

(2)d(x→y)=x→dy,∀x、y∈B(A)。

证明(1)⟹(2)由命题1(5)和3(2)可得。

(2)⟹(1)假设d是B(A)上的映射且满足∀x、y∈B(A)，d(x→y)=x→dy。则d1=d(1→d1)=d1→d1=1。又1=d1=d(x→x)=x→dx，因此∀x∈B(A)，x≤dx。由定理1(3)可知dx→y≤x→dy。因此

d(x→y)=x→dy=(dx→y)⊕(x→dy)。

设A是MV-代数。d:A→A是一个映射。定义Fd(A)={x∈A|dx=x}。

命题4设d是MV-代数A的(→,⊕)-微分。则Fd(A)⊆B(A)。

证明设x∈Fd(A)。由命题1(2)可知dx=x⊕dx，所以x⊕x=x,因此x∈B(A)。

注2命题4的逆命题一般不成立。

例4设A是例2中的MV-代数，定义A上的映射d为d0=da=d1=0,db=1。则容易验证Fd(A)={0}⊆{0,1}=B(A)，但是d不是A上的(→,⊕)-微分，因为

d(1→a)=da=0≠a=(d1→a)⊕(1→da)。

定理3设A是MV-代数，则以下结论等价。

(1)A是Boole代数；

(2) 恒等映射是(→,⊕)-微分。

证明(1)⟹(2)假设A是Boole代数且d是A上的恒等映射，则d(x→y)=x→dy。由推论1可知，d是Boole代数A的(→,⊕)-微分。

(2)⟹(1)假设恒等映射d是A上的(→,⊕)-微分。由命题4可知A=Fd(A)⊆B(A)，因此A是Boole代数。

由定理3可知，若A是Boole代数，则恒等映射是A的(→,⊕)-微分。下面这个定理给出了Boole代数上的恒等(→,⊕)-微分的等价刻画。

定理4设d是Boole代数A上的(→,⊕)-微分，则以下结论等价。

(1)d是恒等映射；

(2)x→dy=dx→y;

(3)d是单射。

证明(1)⟹(2)显然。

(1)⟹(3)显然。

(2)⟹(1)假设∀x、y∈A,x→dy=dx→y。由推论1可知dx=d(1→x)=1→dx=d1→x=1→x=x。因此d是恒等映射。

(3)⟹(1)假设d是单射。∀x∈A,d(dx→x)=dx→dx=1=d1，因此dx→x=1，即dx≤x。根据命题1(3)得dx=x,∀x∈A。

命题5设A是MV-代数，a∈A，定义da:A→A为∀x∈A,da(x)=a⊕x,若da(A)⊆B(A)，则da是A的(→,⊕)-微分。

证明由定义1、定理2知∀x、y∈A,(dax→y)⊕(x→da(y))=((da(x))*⊕y)⊕(x*⊕day)=((da(x))*⊕x*)⊕(day⊕y)=(da(x))*∨x*)⊕(day∨y)=x*⊕day=a⊕(x→y)=da(x→y)。由定义8知，da是A的(→,⊕)-微分。

注3由于da是MV-代数A的布尔中心上的(→,⊕)-微分。称da为MV-代数A的中心主微分。

命题6设A是MV-代数。则存在A上的自映射ga(y)=y⊖a使得(da,ga)是A上的一对余伴随。

证明显然⊕是单调不减的，⊖关于第一变量不增，关于第二变量不减并且∀x、y、a∈A，若y≤x⊕a⟺x≥y⊖a。由定义4可知(da,ga)是A上的一对余伴随对。

命题7设A是MV-代数。则ga是(⊖,⊙)-微分当且仅当ga⊆B(A)。

证明设ga(A)⊆B(A)。设x、y∈A，由定理1(9)和2知(gax⊖y)⊙(x⊖ga(y))=((ga(x))⊙y*)⊙(x⊙(gay)*)=((ga(x))⊙x)⊙((gay)*⊙y*)=(ga(x)∧x)⊙((gay)*∧y*)=gax⊙(y)*=ga(x)⊖y=(x⊖a)⊖y=(x⊖y)⊖a=ga(x⊖y)。由定义7可知ga是MV-代数的(⊖,⊙)-微分。

反之，若ga是A的(⊖,⊙)-微分。则x⊖a=ga(x)=ga(x⊖0)=(ga(x)⊖0)⊙(x⊖ga(0))=(x⊖a)⊙(x⊖a)。即ga(A)⊆B(A)。

命题8设A是MV-代数。则ga是(⊙,⊕)-微分如果ga(A)⊆B(A)。

证明设ga(A)⊆B(A)。设x、y∈A,ga(x⊙y)=((x⊙y)⊖a)⊕((x⊙y)⊖a)=((x⊖a)⊙y)⊕((x⊖a)⊙y)=(gax⊙y)⊕(x⊙gay)。由定义6可知ga是(⊙,⊕)-微分。

引理1[8]设d是MV-代数A的(⊙,⊕)-微分，则下列结论等价：

(1)d是保序的；(2)dx=x⊙d1。

命题9(1) 设A是MV-代数，d是A上的保序(⊙,⊕)-微分。若存在A上的自映射f满足fA⊆B(A),且(d,f)是A上的一对余伴随对，则f是A上的(→,⊕)-微分。

证明由命题5、6、8可证。

(2) 设A是Boole代数，g分别是A上的(⊖,⊙)-微分，若存在A上的自映射f满足(g,f)是A上的余伴随对。则f是A上的(→,⊕)-微分。

证明由命题5、6、7可证。

定理5设d是MV-代数A上的正则(→,⊕)-微分，则以下结论等价。

(1)A是Boole代数；

(2)Fd(A)是A的格滤子。

证明(1)⟹(2)假设A是Boole代数且d是A上的正则(→,⊕)-微分。由命题3(6)可得d(x∧y)=dx∧dy。若x、y∈Fd(A)，则dx=x,dy=y,从而d(x∧y)=dx∧dy=x∧y，则x∧y∈Fd(A)。下面证明Fd(A)是A的上集。若x∈Fd(A),y∈A且x≤y，则dy=d(x∨y)=d((y→x)→x)=(d(y→x)→x)⊕((y→x)→dx)≤((y→x)→x)⊕((y→x)→x)=y⊕y=y,从而dy≤y。另一方面，由命题1(3)知y≤dy，故y=dy因此Fd(A)是A的格滤子。

(2)⟹(1)假设fd(A)是A的格滤子。由正则(→,⊕)-微分的定义可知0∈Fd(A)。从而Fd(A)=A。由命题4知A⊆B(A)，故A是Boole代数。

定理6设d是A上的(→,⊕)-微分，则以下结论等价：

(1)A是Boole代数；

(2) 每一个主中心微分da满足Fda(A)=(a]。

证明(1)⟹(2)设A是Boole代数，则∀x∈A,x⊕x=x成立。由于da(a)=a⊕a=a，则a∈Fda(A)。根据定理5得Fda是A的上集，因此对任意a≤x，有x∈Fda(A)，从而(a]⊆fda(A)。另一方面，设x∈Fda(A)，则da(x)=x=a⊕x≥a∨x≥a。从而x=a∨x,即a≤x。这就证明了x∈(a]。因此，Fda(A)=(a]。

(2)⟹(1) 由(2)知∀a∈A,Fda(A)=(a]，由于a∈(a]，则a∈Fda(A)，从而有a⊕a=da(a)=a,∀a∈A成立，即A是一个Boole代数。

3 微分MV-代数的微分理想

这一节，定义并研究微分MV-代数的微分理想，并讨论MV-代数的正则微分同余和正则微分理想之间的关系。最后，讨论了微分MV-代数所有的微分理想组成的集合ID(A)的代数结构。

性质1[1]设A是MV-代数，∅≠X⊆A⊕记〈X〉={a∈A|a≤x1⊕x2…xn,xi∈X,i=1,…,n}。则〈X〉是包含X的最小理想，称之为由X生成的理想。

若I是A的理想且x∈A，则〈I∪{x}〉={a∈A|c⊕xn≥a,∃c∈I,n∈N}。

定理7[1]若I是MV-代数的理想。定义xRy当且仅当x⊖y⊕y⊖x∈I。则R是MV-代数A上的同余关系。

所有的同余等价类记为A/I，即A/I={[x]|x∈A}，其中[x]={y∈A|xRy}。定义+和*如下：

[x]+[y]=[x⊕y],[x]*=[x*]。

则(A/I,+,*,[0],[1])是一个MV-代数。

定义10设d是MV-代数A上的(→,⊕)-微分。I是MV-代数的理想，则I称为微分MV-代数的微分理想若dI⊆I。

记微分MV-代数的所有微分理想组成的集合为ID(A)。

例5设A={0,a,b,1}。二元运算⊕和*如下：

容易验证(A,⊕,*,0,1)是MV-代数。定义映射d:A→A如下：d0=da=a,db=d1=1,则d是A的(→,⊕)-微分。显然{0,a}是微分MV-代数的微分理想。虽然{0,b}是MV-代数的理想，但不是微分MV-代数的微分理想，因为db=1∉{0,b}。

命题10设d是MV-代数A的正则(→,⊕)-微分，x∈Fd(A)，I是MV-代数的理想。则〈x∪I〉是微分MV-代数的微分理想。

证明若z∈〈a∪I〉，则存在y∈I使得z≤x⊖y。由命题1(4)和命题2(2)知dz≤d(x⊕y)≤dx⊕dy=x⊕dy，又dy∈I，因此dz⊖〈x∪I〉。

定理8设d是MV-代数A的幂等正则(→,⊕)-微分，I是MV-代数的理想，则I是微分MV-代数的正则微分理想当且仅当I=(I∩Fd(A)]。

证明一方面，假设d是MV-代数A的幂等正则(→,⊕)-微分且I是A的微分理想。x∈I,则dx∈I。从而dx∈I∩Fd(A)。由命题1(3)知x≤dx，所以x∈(I∩Fd(A)]。

反之，若x∈(I∩Fd(A)]。则存在y∈I∩Fd(A)，使得x≤y。由命题3.2(4)知dx≤dy=y，所以x∈I。

定义11设d是MV-代数A的(→,⊕)-微分。A上的同余关系R被称为微分同余若∀x、y∈A,xRy当且仅当dxRdy。

记微分MV-代数的所有微分同余组成的集合为CD(A)。

定理9设d是MV-代数A的幂等正则(→,⊕)-微分，则ID(A)和CD(A)之间存在一个一一对应。

考虑下面的映射：

g:ID(A)→CD(A),I→ΘI

h:CD(A)→ID(A),Θ→[0]Θ

设d是MV-代数A上的幂等正则(→,⊕)-微分。∀x、y∈A,(x,y)∈Θ⟺(x⊖y)⊕(y⊖x)∈I，因为I是MV-代数一个微分理想，因此d(x⊖y),d(y⊖x)∈I。由命题2(3)知dx⊖dy,dy⊖dx∈I，因此(dx,dy)∈Θ。从而，ΘI是微分MV-代数的一个正则微分理想。

反之，若ΘI是微分MV-代数的一个正则微分同余。显然[0]Θ是微分MV-代数的一个微分理想。

显然gh(ΘI)=ΘI且hg(I)=I，对任意的ΘI∈CD(A)和I∈ID(A)。

定理10设d是MV-代数A的幂等正则(→,⊕)-微分，则(ID(A)，∧,∨,→,∅,A)是一个Heyting格。

在ID(A)定义二元关系≤为J≤K当且仅当J⊆K，并规定∀J、K∈ID(A)，J∧K=J∩K,J∨K={z∈A|z≤j⊕k,dz∈J∩K,j∈J,k∈K}，J→K={z∈A|∀j∈J,j∧dz∈K}。

证明容易验证≤是ID(A)的偏序关系，J∧K是J、K的下确界。∅、A分别是(ID(A),≤)的最小元和最大元。

首先证J∨K是微分MV-代数的微分理想。显然0∈J∨K。假设y∈J∨K且x≤y，下证x∈J∨K。由y∈J∨K可知存在j1∈J,k1∈K，使得y≤j1⊕k1且dy∈J∩K。由J∧K是微分理想且dx≤dy可知dx∈J∩K。从而x∈J∨K。

设x、y∈J∨K，则存在j1、j2∈J,k1、k2∈K使得a≤j1⊕k1,b≤j2⊕k2且da、db∈J∩K。从而a⊕b≤(j1⊕j2)⊕(k1⊕k2),因为J和K是MV-代数的微分理想，因此j1⊕j2∈J，k1⊕k2∈K。由命题2(2)和J∩K是微分理想知d(a⊕b)≤d(a)⊕d(b)∈J∩K。因此a⊕b∈J∨K。若x∈J∨K，则存在dj∈J,dk∈K使得dx≤d(j⊕k)≤dj⊕dk且d(d(x))=d(x)∈J∩K。因此J∨K是微分理想。

再证J∨K=〈J∪K〉，即J∨K是J和K的上确界。

显然J≤J∨K,K≤J∨K,从而J∪K≤J∨K。因此〈J∪K〉≤J∨K。

反之，设x∈J∨K,则存在j∈J,k∈K使得x≤j⊕k,dx∈J∩K⊆J∪K⊆〈J∪K〉。由命题1(2)可知x∈〈J∪K〉。因此J∨K≤〈J∪K〉。故J∨K=〈J∪K〉。

所以(ID(A),∧,∨,∅,A)是一个有界格。

再证J→K是微分理想。显然0∈J→K。假设y∈J→K且x≤y，则存在j∈J,j∧dy∈K。由命题1(4)可知j∧d(x)∈K。所以x∈K。假设x、y∈J→K，则j∈J,j∧d(x),j∧d(y)∈K。因此，(j∧d(x))⊕(j∧d(y))∈K。由定理1(10)知j∧d(x⊕y)∈K。因此x⊕y∈J→K。显然x∈J→K,d(x)∈J→K。因此J→K是微分理想。

最后证(ID(A),∧,∨,→,∅,A)是一个Heyting格。只需证J∧K≤L当且仅当J≤K→L。

设J∧K≤L。设x∈J则dx∈J。从而∀k∈K，k∧d(x)≤d(x),k∧d(x)≤k。因此k∧d(x)∈J∧K≤L。故x∈K→L。所以J≤K→L。

反之，设J≤K→L。设x∈J∧K，则x∈K→L。∀k∈K，k∧d(x)∈L。令k=x∈K，有k∧dx=x∈L。因此J∧K≤L。

由定义5可知(ID(A),∧,∨,→,∅,A)是一个Heyting格。

定理11设(A,d)是一个微分MV-代数，I是微分MV-代数的任意一个微分理想，则(A/I,g)是一个微分MV-代数。

证明设d是MV-代数A的一个(→,⊕)-微分。定义一个映射g:A/I→A/I为g(xI)=d(x)I∀x∈A/I。若a、b∈A满足aI=bI，则a∈bI。因为I是微分MV-代数的一个微分理想，因此dI⊆I。从而有da∈d(bI)⊆(db)I。所以g(aI)=g(bI)。从而映射g是良定的。

设xI、yI∈A/I,g(xI→yI)=(d(x→y)I。因为d是MV-代数A上的(→,⊕)-微分。所以(d(x→y)I=((dx→y)⊕(x→dy))I=(g(xI)→yI)⊕(xI→g(yI))。由定义8可知g是微分MV-代数上的一个(→，⊕)-微分。

5 结束语

在MV-代数上引入了(→,⊕)-微分，研究了MV-代数(→,⊕)-微分的一些性质。定义并研究了正则(→,⊕)-微分，并讨论了MV-代数的布尔中心上的(→,⊕)-微分的一些性质。进一步，给出了中心主微分的概念，用中心主微分讨论了(→,⊕)-微分与MV-代数其他微分之间的关系。并用中心主微分的不动点之集刻画了Boole代数。最后，定义并研究了微分MV-代数的微分理想，得到了若d是A的幂等正则微分，则微分MV-代数所有的微分理想构成了一个Heyting格。

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〔责任编辑 宋轶文〕

On (→,⊕)-derivations of MV-algebras

WANG Juntao, XIN Xiaolong*, HE Pengfei

(School of Mathematics, Northwest University,Xi′an 710127, Shaanxi, China)

The notion of (→,⊕)-derivations on MV-algebras is introduced and some properties of them are discussed.The regular (→,⊕)-derivations and the relationship between (→,⊕)-derivations and others derivations for MV-algebra are determined.Moreover,boolean algebras by the fixed set of principal center (→,⊕)-derivations are characterized.In addition,differential ideal of differential MV-algebras are studied.In particular,algebraic structures of the set ID(A) of all differential ideals on regular differential MV-algebras are researched.

MV-algebra; (→,⊕)-derivation; Boolean algebra; fixed point; differential ideal; Heyting lattice.

06D35

1672-4291(2015)04-0016-06

10.15983/j.cnki.jsnu.2015.04.144

2014-11-10

国家自然科学基金(11461025)

王军涛，男，硕士研究生，研究方向为逻辑代数与超代数。E-mail:1105020678@qq.com

*通信作者：辛小龙，男，教授，博士生导师。E-mail:xlxin@nwu.edu.cn

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