欧拉积分性质及应用

卢路加 张君会 赵志稳

欧拉积分性质及应用

卢路加 张君会 赵志稳

现在我们很多时候解决问题的工具还是初等函数，这给我们的一些研究带来了很多不便。含参量积分是解决问题的另一重要工具，同时含参变量积分也是引进非初等函数，构造新函数的一个重要途径，欧拉积分就是在应用中经常出现的含参量积分表示的函数，它虽身为含参量积分的一种特例，但本身也是许多积分的抽象概括，能为相关积分的计算带来方便。欧拉积分在理论和实践上的地位仅次于初等函数，应用十分广泛。

含参量积分；欧拉积分；性质；应用

一、欧拉积分的基本知识

(一)Γ函数的性质

1.定义域：Γ函数在s＞0时收敛,即定义域为s＞0.

2.连续性：在任何闭区间[a,b](a＞0)上一致收敛，所以Γ(s)在s＞0上连续。

3.可微性：

4.递推公式：Γ(s+1)若s为正整数n,则Γ(n+1)=n！

5.Γ(s)的其他形式：

6.余元公式：揭示了函数和三角函数的关系

7.倍元公式：

(二)B函数的性质

1.定义域：B(p,q)的定义域为p＞0,q＞0.

2.连续性：B(p,q)在p＞0,q＞0内连续.

3.对称性：B(p,q)=B(q,p)

4.递推公式：

(三)Γ函数与B函数之间的关系

二、欧拉积分的应用

通过式子的变形将积分变成欧拉积分的形式，也可以利用换元法将未知积分化为欧拉积分，再利用欧拉积分的相关性质，计算出该积分的值。

(一)应用一直接将积分变成欧拉积分

(二)应用二利用换元法将未知积分化为欧拉积分

应用三欧拉积分性质的应用(1)

[1]华东师范大学数学系,《数学分析》[M],(上,下册)北京：高等教育出版社,2007.

[2]裴礼文.数学分析中的典型问题与方法[M].北京：高等教育出版社,1993.

[3]费定辉,周学圣等,吉米多维奇数学分析习题集题解(五)[M],济南：山东科学技术出版社,1999.

[4]钱吉林.数学分析题解精粹[M].崇文书局,2003.

(作者单位：河南师范大学)

卢路加（1993—），男，汉，河南省周口市，本科学历，河南师范大学。

张君会（1995—），男，汉，河南省濮阳市，本科学历，河南师范大学。

赵志稳（1993—），男，汉，河南省安阳市，本科学历，河南师范大学。