柯西中值定理点滴

耿锁华

【摘要】本文简述了柯西中值定理的物理意义，给出了定理的积分证明，最后从定理的一种错误证明中给出罗必达法则的另一证明.

【关键词】柯西中值定理;拉格朗日微分中值定理;罗必达法则

【中图分类号】O174.2  【文献标识码】A

预备知识

1.柯西中值定理：如果函数f（x），g（x）在闭区间[a，b]上连续，在开区间（a，b）内可导，对任意x∈（a，b），F′（x）≠0，那么开区间（a，b）内至少有一点ξ，ξ∈（a，b），使得函数f（x），g（x）在该点的导数有：f（b）-f（a）g（b）-g（a）=f′（ξ）g′（ξ）.

2.罗必达法则：设（1）当x→a（Δx→0）时，函数f（x），g（x）都趋近于零（无穷小量）;

（2）在点a的某去心邻域内，f′（x），g′（x）都存在且g′（x）≠0;

（3）limx→af′（x）g′（x）存在（或为无穷大），

那么limx→af（x）g（x）=limx→af′（x）g′（x）.

3.拉格朗日中值定理：如果函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，在开区间（a，b）内可导，那么在开区间（a，b）内至少有一点ξ，ξ∈（a，b），使得

f′（ξ）=f（b）-f（a）b-a或f（b）-f（a）=f′（ξ）（b-a）.

一、概 说

罗尔、拉格朗日、柯西三大中值定理是反映函数与导数之间联系的重要定理，也是微积分学的理论基础，在许多方面它们都有重要的作用.我们的微积分教材是直接给出定理，事实上可以用物理、几何知识引导，以减少学习时的唐突;教材着重讨论、运用罗尔、拉格朗日两中值定理，对于柯西中值定理在证明罗必达法则后就很少出现.鉴于此点，本文就柯西中值定理展开一些讨论.

柯西中值定理包含的内容最广，如果g（x）=x可导出拉格朗日中值定理，再加上条件f（b）=f（a）可进一步导出罗尔中值定理.

柯西中值定理中的几何意义：两光滑曲线在同弧段上至少存在一点，在此点处的两曲线的长度之比等于两曲线的斜率之比.

柯西中值定理中的物理意义：两运动在同时段中至少存在一点，在此点处两运动的路程（位移）之比等于它们的速度之比.

柯西中值定理中的应用：涉及两函数的导数、定积分之比的应用题、证明题可考虑运用柯西中值定理.

二、柯西中值定理的证明

（1）经典证明

简洁、经典、公认的证明还是教材中给出的，建立辅助函数，利用罗尔中值定理证明.可见各高等数学教材.

（2）物理引导反证

物理学中的路程（位移）、速度等同于数学中的函数、导数，不过也还是有区别的.我们知道任何物体有速度，并且还有速度的速度（加速度）;然而在数学中就达不到这一点，不是任何函数的导数都存在，更不用说二阶导数，但我们还是可以利用物理学中的速度对柯西中值定理进行引导.

给定两运动sf，sg在区间[a，b]上分别过点[a，f（a）]，[b，f（b）]和[a，g（a）]，[b，g（b）]，并假设k0=f（b）-f（a）g（b）-g（a），k=f′（x）g′（x），x∈[a，b].

我们以运动sg为基准，如果恒有k=k0，那么在同时段中，运动sf以速度f′（x）（其中f′（x）=kg′（x））从点[a，f（a）]开始运动到点[b，f（b）]处.

事实上：f（b）-f（a）=∫baf′（x）dx，g（b）-g（a）=∫bag′（x）dx，

那么S=∫bakg′（x）dx=∫bak0g′（x）dx=k0∫bag′（x）dx=k0（g（b）-g（a））=f（a）-f（b）.

柯西中值定理推导如下：（恒有k=k0时，定理成立）

反证，假设不存在这样一点，使得k=k0成立，那么变量k与常量k0相比不是大于就是小于.

如果存在一点k>k0，另一点k

证明时构造函数F（x）=f′（x）-k0g′（x）即可.

如果全部大于（或小于）k>k0，那么以运动sg为基准，运动sf以速度f′（x）（其中f′（x）=kg′（x））从点[a，f（a）]开始运动经过同时段后就会得到高于点[b，f（b）]的点.

S=∫bakg′（x）dx>∫bak0g′（x）dx

=k0∫bag′（x）dx=k0（g（b）-g（a））=f（a）-f（b）.

意味着同时段运动中速度快的与速度慢的路程（位移）数值一致，矛盾！故定理成立.

本文的推导与教材中的证明是无法相比的，但作为扩展思维，加强物理运用还是十分恰当的.

（3）错误证明

柯西中值定理中给出的两函数都满足拉格朗日微分中值定理，从而可知

f（b）-f（a）=f′（ξ）（b-a），g（b）-g（a）=g′（ξ）（b-a）.

两式比较就得f（b）-f（a）g（b）-g（a）=f′（ξ）g′（ξ）.注意证明是错误的.

（4）错误证明的运用

在（3）的证明过程中我们忽视了两等式中ξ是否要求一致，故不正确.然而我们可以反思，如果可以忽略ξ的共同性，上述证明就可行了.

我们补充条件：在点x=a处定义函数值f（a）=g（a）=0，f′（x），g′（x）具有连续性，则函数f（x）g（x）在点a的邻域内连续，那么在区间a，x（或x，a）上，f（x）g（x）满足拉格朗日微分中值定理的全部条件，因此有：

f（x）g（x）=f（x）-f（a）g（x）-g（a）=f′（ξ1）g′（ξ2），（a<ξ1，ξ2

其中虽然ξ1与ξ2数值不一定相同，但当x→a时，显然有ξ1→a，ξ2→a，于是求上式两边的极限得：

limx→af（x）g（x）=limξ1→a

ξ2→af′（ξ1）g′（ξ2）=A（或∞）.

证明补充了条件，无关大局，原因是个别点的函数值不影响极限的存在性;另初等函数在定义区间内都可导，其导数仍然可导.

证明放宽了极限条件，教材中要求limx→af′（x）g′（x）=A（或∞），证明只要求limξ1→a

ξ2→a f′（ξ1）g′（ξ2）=A（或∞）就可.

三、后 记

我们是先认知速度然后导数，用速度来加深导数的学习是理所当然的事，本文也是如此;牛顿的导数概念也渊源于速度的研究，今天的高等数学教材和我们的教学过程中，在导数学习时也没离开过物理学中运动、速度的牵引，但以后的内容更多的是用导数求速度，而不再求源，探究速度对导数学习、研究的引导.事实上，我们可以进一步利用速度和一些基本常识、熟悉的物理知识概念来缓冲我们大学生在学习和研究导数概念、导数应用时的认知、接受过程，引导学生认知到许多抽象的数学知识、公式就在我们身边.

本文用拉格朗日中值定理证明罗必达法则，那么在微积分教材中可回避柯西中值定理，因为许多微积分教材中的柯西中值定理就是为了证明罗必达法则而存在的.

【参考文献】

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[4]数学分析（华师大四版）[M].北京： 高等教育出版社，2012：127，154-155.