根式及其教学研究（提高篇）

宋扬

【摘要】开方是数学的一种基本运算.本文阐明了2n次方根、2n+1次方根以及算术根的本质和运算性质，介绍了根式运算的要点和化简的方法.

【关键词】2n次方根;2n+1次方根;最简根式;共轭根式;分数指数幂

作为乘方的逆运算，开方是数学的一种基本运算.根式既可表示开方运算的过程，也能表示开方运算的结果，其应用领域十分广泛.从最简单的实际问题“已知直角三角形的两边，求第三边”，到二次方程的求根公式，高次方程、无理方程的求解等等，都要用到根式.

本文将二次方根、三次方根和算术根的概念平行推广到2n次、2n+1次方根和算术根，并加以统一定义，阐明了算术根的本质和运算性质，介绍了根式运算的要点和一些方法.

全文都是在实数域上讨论的.

一、正确理解方根和算术根的概念

1.方根和算术根的定义及其性质

定义1 若x2n=a（a≥0，n∈N），则称x为a的2n次方根，有时候称为偶次方根.

注：定义1中的a≥0不是外加的限制条件，而是式子本身固有的约束条件.因为对于任意实数x，恒有x2n≥0，所以a不可能为负数.

偶次方根的三条性质：

（1）若a>0，则a的2n次方根有两个，即为2na与-2na，二者互为相反数;

（2）若a=0，则a的2n次方根为0，即为2n0=0;

（3）若a<0，则a没有偶次方根，或者说2na没有意义.

定义2 非负实数a的非负的2n次方根，称为a的2n次算术根，或称为偶次算术根.

定义2° 当a>0时，a的2n次算术根为2na;当a=0时，a的2n次算术根为2n0=0.

注：以上定义2和定义2′是等价的.

由上可知，算术根的概念是建立在方根的概念基础上的.当a≥0时，a的2n次算术根存在而且唯一，即为2na;当a<0时，a没有偶次方根，当然也就没有偶次算术根.

定义3 若x2n+1=a（n∈N），则称x为a的2n+1次方根，记为2n+1a，或称为奇次方根.

注：任一实数a与它的2n+1次方根是相互唯一确定的.

奇次方根的三条性质：

（1）若a>0，则2n+1a是一个正数;

（2）若a=0，则2n+10=0;

（3）若a<0，则2n+1a是一个负数.

定义4 当a≥0时，a的2n+1次方根称为a的2n+1次算术根，或称为奇次算术根.

方根和算术根可以分别统一定义如下

定义5 若xⁿ=a（n∈N，n>1），则称x为a的n次方根.

定义6 非负实数a的非负的n次方根称为a的n次算术根，记作

na（a≥0，n∈N，n>1）.

注：约定na（a≥0）只表示a的n次算术根.当然，算术根也是方根;反之不然.

求a的n次方根的运算叫做开n次方，a叫做被开方数，n叫做根指数.

定理1 对于任一非负实数a，它的n次算术根na存在而且唯一.（证明略）

由方根和算术根的定义，根据定义的可逆性，容易得到以下两条性质：

1°（na）n=a（其中，当n为偶数时，自然以a≥0为为前提）

2°nan=a（n为奇数），nan=a（n为偶数）

注：上述1°、2°未必都是指算术根.

2.方根与算术根的联系与区别

方根与算术根的关系，可用如下示意图来表示：

a的2n

次方根a>0时，2na

-2na

a=0时，2n0=0

a<0时，2na无意义a的2n次算术根，

即2na（a≥0）

a的2n+1

次方根a>0时，2n+1a

-2n+1a

a=0时，2n+10=0

a<0时，2n+1aa的2n+1次算术根，

即2n+1a（a≥0）

3.算术根的本质及其作用

（1）算术根的概念确定了算术根的唯一性（单值性）.

（2）任一方根都可用算术根的形式来表示.

1°当a>0时，a的2n次方根中的-2na就是a的2n次算术根2na的相反数.

2°-a（a>0）的2n+1次方根2n+1-a=-2n+1a，即为a的2n+1次算术根的相反数.

（3）算术根有许多简便易行的运算性质（含运算法则），可以直接用于算术根的计算和化简.稍加处理，还可运用到一般的根式运算和化简中去.

（4）可以避免在根式运算或化简中容易发生的错误.

（5）求解某些实际问题，其结果为方根且是非负数，用算术根来表述会更简便明确.

二、根式的运算性质和变形

1.根式的运算法则

下列法则都是就算术根而言的，大写字母A、B可以是常数，也可以是解析式.

法则1（根式的基本性质）npAmp=nAm（A≥0，m，n，p∈N，n>1）

法则2（积的开方）nAB=nA·nB（A≥0，B≥0，n∈N，n>1）

法则3（商的开方）nAB=nAnB（A≥0，B>0，n∈N，n>1）

法则4（根式的乘方）（nA）m=nAm（A≥0，m，n∈N，n>1）

法则5（根式的开方）mnA=mnA（A≥0，m，n∈N，m>1，n>1）

法则6（根号内外移进移出）nAnB=AnB（A≥0，B≥0，n∈N，n>1）

法则7（通根指数）nA=nk1Ak1=pAk1（A≥0，n∈N，n>1），

mB=mk2Bk2=pBk2（B≥0，m∈N，m>1），其中p是n与m的最小公倍数，p=nk1=mk2

注：法则4、法则6的特例（nA）n=nAn=A（A≥0），当然，这个式子也可由n次算术根的定义直接得到.

2.根式的化简

定义7 若根式满足如下三个条件，就称为最简根式.

（1）被开方数的指数与根指数互素;

（2）被开方数的每一个因式的指数都小于根指数;

（3）被开方数不含有分母.

例如8a4b6c2=8（a2b3c）2=4a2b3c（a≥0，b≥0，c≥0）已经化成了最简根式.这里的被开方数（a2b3c）的指数1与根指数4互素，并不要求被开方数的每一个因子的指数与根指数互素.

根式化简的目标是最简根式.在根式的运算或化简过程中，式子里如果分母中含有根号，通常还要将分母有理化，而有理化的关键是找它的共轭根式.

定义8 若M与N是两个不恒为零的含有根式的代数式，其乘积MN不含有根式，则称M与N互为有理化因式，或共轭根式.

对于几类特殊根式，其共轭根式有规律可循，列举若干对如下：

（1）35与352;4xy3z2与4x3yz2;nAk与nAn-k.

（2）a-b与a+b;pA+qb与pA-qb.

（3）nA-nB与nAn-1+nAn-2B+…+nABn-2+nBn-1.

（4）nA+nB与nAn-1-nAn-2B+…-nABn-2+

nBn-1（n为奇数），

nAn-1-nAn-2B+…+nABn-2-

nBn-1（n为偶数）.

上述共轭根式的主要依据是应用乘法公式.

分母有理化，有时候也不能一步到位，需要分步骤进行.

例 将133+2分母有理化.

解 133+2=33-2（33+2）（33-2）=33-239-2

=（33-2）（392+239+22）（39-2）（392+239+22）

=（33-2）（333+239+4）.

根式化简的目的是朝着有利于解决问题的方向.如果分母有理化解决不了问题，有时候可以考虑分子有理化.其方法是将分子和分母同乘以分子的共轭根式，例如求函数的极限，就可能遇到这种情况.

3.根式的计算

根式的运算要遵循算术运算的一般定律以及算术根的运算法则来进行.

定义9 根指数与被开方数分别相同的两个根式称为同类根式;根指数相同的两个根式称为同次根式.

根式运算的要点

（1）若干个根式的加减运算，就是求它们的代数和.通常先将各个根式分别化为最简根式，然后合并同类根式.

（2）同类根式相乘除时，可将被开方数相乘除，根指数不变（即运算法则2和3）;异次根式相乘除时，可运用根式运算法则7，先化成同类根式，再相乘除.两个根式相除，可以将被除式与除式分别写成一个（广义的）分式的分子与分母，然后将它分母有理化，以求其商.

（3）根式的乘方和开方，按运算法则4和5进行.

（4）混合运算，按整式、有理式的运算性质、运算顺序和根式的运算法则进行.

（5）正确运用根式的运算性质，注意到是算术根的运算，还是要分情况加以讨论.对于运算法则有时要逆向使用，要善于灵活运用.以有意义为前提，应该是恒等变形.

（6）依据从几类具体例子的求解中总结出的一般形式，可作为公式（根式的运算性质）使用.

（7）依据开方和乘方互为逆运算的关系，利用乘方运算求方根，如平方法、立方法、n次方法.

以下介绍几种常见类型的根式的开方运算方法.

1° A±B的平方根的计算

A±B的算术平方根的计算公式为：

A±B=12（A+A2-B）±12（A-A2-B）（A>0，B>0，A2>B）.

注：证明略.当A2-B恰为一个完全平方式时，含有二重根号的代数式便化为只含单重根号的代数式.运算技巧上另有捷径，详见《根式及其教学研究（基础篇）》的复合二次根式.

2° AB±CD的平方根的计算

设x=AB，y=C2D，则AB±CD=x+y，归结为类型1°的计算.

例如，求42±26的平方根.

设x=42，y=24，则x2-y=8，按类型1°的计算公式不难求得42±26的平方根为±（418+42）.

3° A±B的立方根的计算

定理2 若3A+B=x+y成立，则3A-B=x-y也成立;反之亦然.

证 （这里只证逆命题）由3A-B=x-y两边立方得

A-B=x3-3x2y+3xy-yy，于是有A=x3+3xy，B=3x2y+yy.

从而有A+B=x3+3x2y+3xy+yy=（x+y）3，所以3A+B=x+y.

例如，求99+702的立方根.

解 设399+702=x+y，两边立方得99+702=x3+3x2y+3xy+yy，于是有99=x3+3xy ①，又有399-702=x-y（根据定理2），

从而3（99+702）（99-702）=（x+y）（x-y），即x2-y=1 ②.

由①和②得4x3-3x-99=0，解此方程得唯一实根x=3，从而y=8.

所以399+702=3+22.

4° AB±CD的立方根的计算

有的灵活变形后可直接归结为类型3°的计算.例如，求505-3015的立方根.

解 3505-3015=355（10-63）=5310-63，按A+B的立方根的计算方法可得310-63=1-3，所以3505-3015=5（1-3）=5-15.

不妨结合例子，看一看根式运算的一些具体方法.

例1 计算6x7a3x2x-y÷（3x7a2xx-y）（x>y）

解 原式=6x7a·7a3x6（x2x-y）2·（x-y2x）3

=2·6x4（x-y）3（x-y）2·（2x）3=2·6x（x-y）8=68x（x-y）.

例2 已知x=5+35-3，求x2+2xx2-2x-8的值.

注 本题如果x的值直接代入，运算量很大.应先分别化简（包括分母有理化），然后代入再计算.

解 x=5+35-3=（5+3）2（5-3）（5+3）=4+15.

所以x2+2xx2-2x-8=x（x+2）（x+2）（x+4）=xx-4=4+154+15-4=4+1515=1+415=1+41515.

三、根式与分数指数幂的关系

1.分数指数幂的定义及其性质

（1）正分数指数幂

定义10 amn=nam（a≥0;m、，n∈N，n>1）.

用语言叙述：非负数的mn次幂，等于这个数的m次幂的n次算术根.

注：1°a≥0这个条件不可少，否则会引起混乱.

例如（-1）13=3-1=-1 ;而（-1）26=6（-1）2=61=1.

这说明分数指数幂当底数小于零时没有意义.

2°在把根式化为分数指数幂时，要注意使底数为非负数.

例如5（-2）3=-523=-235; 3x2=3x2=x23.

（2）负分数指数幂

负整数指数幂的意义是：a-p=1ap（a≠0.p∈N）与此相仿，有：

定义11 a-mn=1amn=1nam（a≥0;m∈N，n∈N，n>1）.

（3）分数指数幂的运算性质

根据上述定义不难知道，关于正整数指数幂的运算性质（含运算法则），对于分数指数幂也同样适合.

2.两种运算间的相互转换

在建立了根式与分数指数幂的关系以后，两种形式可以相互转换.将根式表示成分数指数幂，应用幂的运算法则来作变形，往往更加方便、快捷.有的可将根式的运算归结为有理数的四则运算.

例如，当a>0时，a5a3a10a7=a·a35·a-12·a-710=a1+35-12-710=a25=5a2.

在实际运算中，采取哪种形式，应视具体情况而定.

【参考文献】

[1]余元希，田万海，毛宏德.初等代数研究.北京：高等教育出版社，1988.

[2]李长明，周焕山 编.初等数学研究.北京：高等教育出版社，1995.