高等数学解题中线性代数方法的运用

吕春燕

【摘要】线性代数作为高校数学课程中最为基础的一门数学课，在数学函数中有很重要的作用，很多高等数学都离不开线性代数的融合，通过线性代数方法能够在短时间内对线性代数方程组进行正确的求解，解决线性的变换和空间结构问题，提高高等数学解题效率.同时线性代数还能够很大程度上培养学生分析事情的逻辑思维能力，而由于线性代数课程最大的特点就是抽象性，因此，在教学的过程中，应掌握一定的策略，以提高学生的学习兴趣和知识应用能力.

【关键词】线性代数方法;高等数学解题;应用

引 言

数学在我们生活中无处不在，在大学期间，数学学习的难度有所增加，所以高等数学被分为了好多学科，其中就包括线性代数这一重要的学科.《线性代数》和《高等数学》是学生必学的基础课程，它很好地反映出了数学知识的精髓.线性代数相对较为复杂，对于高等数学来讲，运算思路和难易程度有很大的差异，在对实际问题进行解决时一定程度上有很好的互补性.线性代数的学习程度对高等数学是有一定的影响的，因为线性代数与高等数学是由相辅相成的作用的，在解决某些问题上，采用其中的一种方法是有可能比较困难的，这个时候就需要转变思维，换一个角度想问题，让自己的学习过程更加顺利，从而提高自己的成绩.

一、线性代数方法学习所需能力

1.需要有抽象的思维能力才能使学习更加高效

线性代数是需要学生通过抽象的思维进行想象的，可以说学习的过程中对于向量，矩阵等都需要自己通过抽象想象的.线性代数中这样的学习有很多种，例如矩阵与线性方程组，在矩阵与矩阵，矩阵与向量组，向量组与向量组等等，所以学生要了解他们之间的抽象关系，认真领会其中的知识点，对他们的概念以及性质的学习进行加强.在初中和高中的学习中，学生们已经接触过具有抽象能力的数学知识点了，比如说在向量的学习中，就需要将向量想象成一种抽象的东西，这个时候的数学还是很好学的，但是对于高等数学中的线性代数里面的思维想象能力的要求就相对来说比较高了，所以对于学生在这方面能力的锻炼与培养，需要教师多加引导，让学生养成自己思考，主动学习的好习惯，多做题，逐渐的就会把自己的抽象能力培养出来.

2.逻辑推理能力

不仅仅是线性代数需要逻辑推理能力，可以说整个的数学学习就是一个逻辑推理能力的培养从小学时，学生们便开始学习数学，数学的学习一直都在锻炼学生们的是逻辑推理能力.线性代数的各个知识点之间逻辑关系是非常紧密的，逻辑性是非常高的.其实我们在学习很多学科时都有这种体会，知识点不是单独存在的，教材在安排知识点的位置的时候也都会将有联系的知识点放在一起学，这样既对学生学习起来是一个方便，同时教师在教授的过程中也更加容易方便，这在一定程度上考验了学生的逻辑思维能力，所以线性代数在学习过程中一定要上下联系，找出其中关联的地方，把有关联的知识点放在一起仔细研究，找到他们在解题过程中的运用效果，能够在解题过程中显得不那么手足无措，同时要深刻理解其中的每个知识点之间的联系，从而提高学习效率.另一方面学习的过程中需要运用的推理能力不仅仅表现在知识点的上下联系，而且在解题过程中需要在读过题之后快速的找到体重的关键点，找出解题时所要用到的知识点，这也是对逻辑推理能力的一个考验.

二、线性代数在高等数学解题中的应用

1.二次型理论的应用

线性代数中二次型理论是重点内容，求二次函数的极值问题，可以运用二次型理论来解决.

例1

2.正交变换的应用

（1）在判断二次曲面类型的应用

根据几何知识二次方程：

a11x21+a22x22+a33x33+2a12x1x2+2a13x1x3+2a23x2x3+b1x1+b2x2+b3x3+c=0.

如果对空间二次曲面进行表现，需要确定曲面的类型，需要用到直角坐标消除交叉项，由于正交变换能够夹角和长度进行保持，因此最大的有点就是保持图形的不变.

例2 把二次曲面方程：3x2+5y2+5z2+4xy-4xz-10yz=1来作为标准方程，对该方程表示的曲面进行明确指出.

解 记f（x，y，z）=3x2+5y2+5z2+4xy-4xz-10yz.

得出二次型的矩阵，求|A-λE|=（-λ）（λ-2）（λ-11）得出A的特征值：λ1=0，λ2=2，λ3=11各个特征值对应的单位特征向量，

正交变换：x

在这种情况下，二次曲面方程化为标准方程2v²+11w²=1它表示椭圆柱面，且该方程表示的几何图形与原方程一模一样.

（2）正交变换在求曲面积分中的应用

对于计算三维空间中的曲面积分，如果已经知道积分曲面的参数形式，一般可以使用高等数学里介绍的方法进行计算，但是对于某些积分曲面，若不知道或很难使用参数形式表示出来，则不易计算.此时我们可以使用正交变换的方法进行尝试.首先给出利用正交变换理论解决曲面积分问题的方法.

假设S是三维欧式空间R3的光滑曲面，p（x，y，z）是s上的连锁函数，而x

w是欧式空间的一个正交变换，S`是曲面S在上述正交变换下的象，p-（u，v，w）是p（u，v，w）与正交变换的复合函数，此时有下列计算曲面积分的公式：∫sp（x，y，z）dS=∫sp-（u，v，w）dS′.

3.线性方程组知识的应用

例3 设：f（x）在a，+∞上n阶可导，limf（x）和limf（n）（x）存在，求：limx→+∞f（k）（x）=0（K=1，2，…，n）.

证明 设limx→+∞f（x）=A，limx→+∞f（n）（x）=B，根据Taylor公式可得： fx+k=f（x）+kf′（x）+k22！f″（x）+…+kn-1（n-1）f（n-1）（x）+knn！f（n）ξkx<ξk

（3）

则limx→+∞f（n）ξk=limx→+∞f（n）（x）=B.

根据函数极限得出：f（n）ξk=B+αk，其中limx→+∞αK=0（K=1，2，…，n）

把该式引入到上式得出关于f′（x），f″（x），…，f（n-1）（x），B的一个线性方程式：

（4）

得出系数行列式：

（6）

从方程组（4）中通过f（x），f′（x），…f（n-1）（x），B解出，可得一个fx+k-f（x）-knn！αk （K=1，2，…，n）的线性组合

limx→+∞fx+k-f（x）-knn！αk=A-A+0=0，B=0

即limx→+∞fk（x）=0（k=1，2，…，n）.

（7）

三、在线性代数教学需注意的问题

学习数学知识需要运用到很多规律性方法，线性代数的学习也是非常重要的，在实际的学习中，教师对学生的引导也不可忽视的一个环节，教师对学生知识点正确运用的引导和教学方法尤为重要，这是为线性代数知识在高等数学中更好运用的前提，所以，教师在教学中要做好首要工作.

教师在教学时，需要对每一个概念进行详细的讲解，使学生对概念全面的了解，概念是正确解题的基础.在进行例题讲解时应把需要用到的知识点一一列出对学生进行深入浅出的加深概念的理解，由此还可以延伸到之前学习的知识，对其进行必要的复习，让学生在新知识学习的过程中复习旧知识，能够在很大程度上适应抽象的思维模式.

在传统线性代数教学中，知识的学习和生活是两个独立的个体，很大程度上脱离了生活范畴，由于枯燥使学生在学习时没有更多的积极性，所以，教师需要在此方面加大教学力度，提高教学中的趣味性，很有必要在教学中引入一些生活中实实在在的例子，提高学生的学习兴趣.

由于数学课堂气氛有些枯燥，教师在讲解时应运用启发性的问题来提高教学质量，调动学生的好奇心，使其进行互动交流和主动对知识进行讨论，这样在很大程度上能够打破传统的教学方法，最大程度上以学生为主题，提高教学质量.

此外，学生在学习的过程中，也应注意把握好“由易而难，有低而高，由简而繁”的原则，加强对概念的理解，只有在正确概念理解的基础上进行试题的求解，才能够由浅而深接近问题的正确答案.同时还用认识到初等变换的重要性，由于运用初等变换方法需要较高的运算能力，日常学习中也应有意识地培养自己的运算能力.

六、总 结

综上所述，高等数学在学习的过程中是有一定的难度的，在学习过程中也不是那么好掌握的，里面的错综复杂在学习的过程中学生们也可以体会出来，这就使得有些学生在做题时无从下手，对于这些数学题无可奈何，而将线性代数引入到高等数学的学习中我们可以相对容易地解决问题，可以说，它为高等数学注入了股新的气流.因此，在学习过程中，一定要灵活运用，将线性代数方法在解高等数学的题目时灵活的运用进去，使学生们在学习过程中可以提高自己的学习效率.