马尔科夫链简介及其在经济领域的应用

陈静

摘 要： 本文通过梳理马尔可夫链自提出以来至今的一些理论发展和实际应用，让学者们对它能建立一个初步的认知，同时着重介绍了灰色马尔可夫链理论的优点和一般马尔可夫链建模的步骤，最后探讨了它在经济领域的一些具体应用，以及此模型本身的不足和缺陷，指出转移矩阵的确定才是马尔可夫链应用中最关键的步骤。

关键词： 马尔科夫链；建模；转移矩阵

1.国内外研究现状

从最早马尔科夫提出满足某一性质的特殊随机变量序列，经过百余年的发展，因其已知现在，将来与过去无关[1]的良好性质，马尔科夫链 在实践运用中逐渐发展了它的坚实理论基础。在这些理论研究过程中最为突出的是由德国数学家N.Winer在20世纪20年代提出的，到目前仍在探求的布朗运动。1951年左右，随着随机微分方程理论的建立，马尔可夫过程的研究取得了新的进展，在A.H.Kolmogorov的著作《概率论的解析方法》中，马尔可夫链第一次被应用到微分方程中。20 世纪50 年代我国著名数学家王梓坤院士率先将马尔可夫过程的理论引入国内，目前我国马尔可夫理论研究已经处于世界前沿水平，同时在平稳过程、极限定理、鞅论、多参数马尔可夫过程等方面也都有比较深入的研究。随着马尔可夫过程理论的不断丰富，在实际应用中也不断看到他的身影。这些应用通常是对系统已有信息的获取，通过建立系统的状态分类和转移概率矩阵，来预测在现有状态下，经过一段时间变化，系统将会达到的状态。比如将马尔科夫链综合应用到存储策略的库存优化模型中，通过构造转移概率矩阵，预测出产品未来的销售量和储存量[2]。

2.应用马尔科夫链建立数学模型解决相应问题的建模步骤

由于在马尔可夫理论中未来的情况只受当前的影响，而过去的状况无关，因此如何确定从现在状态到未来状态的转移矩阵至关重要。实证中，我们通常采用以下步骤来建立数学模型[3]。

（1） 结合实际问题，确定系统的初始状态及其处于初始状态的概率。数学上我们通常表示为：初始状态：S= {0，1，2，…}；初始概率：π0=（P0，P1，…，Pn，…）期中Pi≥0（i=0.1.2…）表示系统处在状态i的概率。

（2） 通过试验或者数据资料来计算状态之间的转移概率，同时基于转移概率确定一步转移概率矩阵，其中Pij表示经由状态i转移到状态j的一步转移概率。

其中Pij（n）=P{Xn=j│X0=i}即经由状态i，n步转移到状态j的概率。利用n步转移概率矩阵即可确定系统所处各状态的最终概率，即：πn=π0P（n）。

（3）对于某些性质优良的马尔科夫链，利用稳态收敛定理可以说明系统经过长期的运行后可以达到平稳分布，并且系统将保持此平稳分布。

（4）利用马尔可夫链得到的结果，对于未来的发展状况做出科学合理的预测，并采取措施来防范可能出现的不好的结果。

3.马尔科夫链在理论与实际中的应用

3.1 灰色马尔科夫预测模型 。自1982年邓聚龙教授提出灰色系统理论以来， 灰色预测模型作为其重要组成部分引起了国内外学者的广泛关注。灰色系统理论在概念上改变了随机性问题的处理方法，对那些信息不明确、不安全的灰色体系，灰色系统理论有很好的应用，其要点在于把系统中的随机性当作一个灰色的部分而不是一个随机信号，从而将灰色过程当作一定区间、一定时区上变化的随机过程。

马尔科夫链和灰色系统二者都可以直接对有关于时间序列的问题进行预测。基于灰色系统理论的以上优点，学者们将马尔科夫链和灰色系统两种预测模型相结合，形成了灰色马尔科夫预测模型。它兼顾了马尔可夫链和灰色理论模型两方面的优点，对具有无后效性以及那些信息不明确、不安全的“灰色体系”数据序列有着较高的预测精度。

3.2 马尔可夫链应用经济领域应用 。马尔可夫链在经济等方面的预测是国内外学者的主要研究内容，并已取得了多项学术成果，在经济领域上的应用主要集中在以下几个方面：

（1）马尔可夫链在预测产品销售，市场份额及企业利润中有广泛的应用。这一类应用的优点是预测结果与以前的历史数据无关，只与最近一段时间的数据相关，并结合马尔科夫转移矩阵来预测以后的状态。例如，曾维理应用加权马尔可夫链预测了金星电子产品的销售情况，为企业制定商品销售策略—即如何投入最小，收益最大提供了有力的依据[4]。

（2）马尔可夫链可以用来预测利率的变化。在当今市场经济中，汇率的波动一直很不稳地，为了规避风险，有效地控制和调节汇率的波动，马尔科夫链在利率的波动预测上有着广泛的应用。如使用马尔可夫链的相关模型对人民币的汇率变化作了预测和实证分析[5]。

（3） 马尔可夫链可以用来分析和预测股市的走势。中国股市的波动具有随机性，波动的幅度很大。经过学者们的检验证实发现我国整个证券市场的股票价格变化是一个马尔可夫过程，因此马尔可夫链被引入来讨论市场对证券投资的策略。如梁宝松等学者把马尔可夫链的预测方法和基金投资相结合，得到了一种依据基金价格偏离程度来预测基金走势的投资方法[6]。

（4）马尔可夫链还可以通过地理信息、遥感等知识对如何规划城市和农村的土地进行预测。例如，贾华、祝国瑞在1998年根据农产品单产影响的无后效性，用状态转移矩阵和灰色马尔可夫链对农作物土地的需求量进行建模并加以预测，得到了较好的结论[7]。

4.总结与展望

马尔可夫链模型进行预测的重点是确定转移概率矩阵，因此为了保证预测的精确度，此模型应用对原始数据有着较高的要求。然而在现实中要获得大量真实的原始数据是有一定难度的。同时虽然灰色马尔可夫链模型考虑到了信息不明确、不安全的灰色体系，在经济领域有着更广泛的运用，但是关于此预测模型的精准度还需要从理论和经验两部分进行补充完善。虽然如此，随着交叉学科的迅猛发展和自身理论的不断完善，相信未来马尔科夫链将会在更多领域中有着更广泛深入的应用。 （作者单位：同济大学经济与管理学院）

参考文献：

[1] 陆大金.随机过程及其应用[M].北京：清华大学出版社，1986.

[2] 于文，李静，吕小峰.基于马尔科夫链的库存策略研究[J].中国制造业信息化，2009

[3] 汲剑锐.马尔科夫链应用的一些探讨[D].华中师范大学，2012.

[4] 曾维理，李洁，谭湘花.加权马尔可夫链在市场预测中的应用[J].科技资讯，2007

[5] 刘岩，刘芳.马尔可夫链在人民币汇率预测中的应用[J].中国管理信息，2007

[6] 梁保松，温建，陈振，王建平，宁亚伟.马尔可夫过程在基金投资中的应用[J].河南农业大学学报， 2003

[7] 贾华，祝国瑞，土地利用规划农作物单产预测的灰色马尔可夫链方法[J].武汉测绘科技大学学报，1998